高動態GNSS信號多普勒模擬任意階直接數字合成器設計*

周　超，王躍科，喬純捷，戴衛華

(國防科技大學 機電工程與自動化學院， 湖南 長沙　410073)

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高動態GNSS信號多普勒模擬任意階直接數字合成器設計*

周超，王躍科，喬純捷，戴衛華

(國防科技大學 機電工程與自動化學院， 湖南 長沙410073)

摘要：為高精度模擬高動態條件下GNSS信號的多普勒特性，提出一種任意階直接數字合成信號合成器的設計方法。設計任意階直接數字合成信號合成器的結構；通過理論分析，推導各級累加器相位初值的計算公式；給出字長選擇方法。經仿真驗證，該方法能精確模擬GNSS信號的多普勒特性。此外，提出的直接數字合成器設計方法不受階數的限制，可普遍應用于各類信號模擬器的設計。

關鍵詞：高動態；GNSS信號；多普勒；任意階直接數字合成

全球導航衛星系統(Global Navigation Satellite System, GNSS) 的應用越來越廣泛，幾乎涉及各行各業和生活中的各個領域[1-2]。GNSS信號模擬器可根據接收機載體與衛星的相對運動關系，模擬產生接收機接收到的GNSS信號，用于接收機的功能測試、測量精度鑒定等[3-4]，為接收機的研發、生產和測試提供低成本而有效的手段[5-6]。在高動態使用條件下的導航過程中，例如高速飛行器導航、低軌衛星定位等，衛星與接收機載體間高速、復雜的相對運動會使得接收信號產生明顯的多普勒效應[7]。接收信號相對于發射信號往往存在多普勒頻偏、多普勒加速度及更高階的多普勒特征，是影響導航接收機性能的關鍵要素之一。因此，為了測試和評估導航接收機對高動態條件下接收信號多普勒特性的處理能力，需要利用信號模擬器精確仿真GNSS信號的多普勒特性，以模擬真實的高動態運動環境。

目前，信號合成通常采用傳統直接數字合成(Direct Digital Synthesis, DDS)的一階合成方法[8-9]。由于每個控制周期內的信號頻率被看作是固定值，所以它只能模擬衛星信號多普勒頻移量，無法滿足高動態環境下的應用要求。為了模擬多普勒特性更高階的特征，提高信號模擬精度，齊巍等[10]采用了二階DDS結構，劉芊岑等[11]和Zhang等[12]采用了三階DDS結構。然而，這些研究工作都是在特定的階數下討論DDS合成器的設計方法，并無文獻考慮普遍問題，展開對任意階數下DDS信號合成器設計方法的研究。

1高動態GNSS信號模型

不考慮引入的噪聲，GNSS信號模型通常可

表示為：

(1)

式中，c表示信號傳播速度，Ω0表示載波頻率，A(t)表示信號幅度，PN(t)表示調制的偽隨機碼，D(t)表示信號中調制的電文比特，d(t)表示接收機與衛星間的徑向距離。GNSS信號多普勒模擬最為關鍵的就是載波相位φ(t) =-Ω0d(t)/c的高精度實時計算與合成。在高動態條件下，徑向距離d(t)的函數表達式比較復雜，通常用多項式模型進行逼近，表示為：

d(t)=p0+p1t+p2t2+…+pNtN

(2)

式中，多項式系數pn(n= 0, 1, 2, …,N)具有實際物理意義，分別代表接收機與衛星間運動學模型的各階特征量，例如：p0等價于初始距離，p1等價于速度，p2等價于加速度的二分之一等。由此，載波相位φ(t)也可用如式(3)所示的多項式模型進行表示：

(3)

式(3)是DDS合成器模擬合成載波相位的數學基礎，多項式階數N即為DDS的階數。給定時間區間，采用分段多項式對載波相位φ(t)進行逼近，其中多項式的分段時間間隔稱為DDS合成器的控制周期。

載波相位的高精度模擬有兩種方式：一種是保持較小控制周期，增大DDS的階數，其優點是信號參數只需進行少量的計算和更新，但過高的階數會急劇增大DDS合成器的硬件規模；另一種是保持較低的階數，縮小DDS的控制周期，其優點是硬件規模相對較小，但要求硬件必須具備較高的計算能力，對各控制周期的信號參數進行實時計算和更新。

因此，DDS階數及控制周期的確定需要綜合考慮信號模擬精度和硬件資源情況兩個方面的因素。一種可行的方案是：首先根據信號模擬器硬件的參數實時計算能力和參數配置接口的帶寬，確定可接受的最小控制周期，即多項式逼近的分段時間間隔；然后根據給定的信號模擬精度要求(等同于多項式逼近的容許誤差)，取滿足精度要求的多項式階數最小值作為最終的DDS階數。

2任意階DDS信號合成器

給定DDS階數N，設計的DDS信號合成器結構如圖1所示，共包含N+1級相位累加器(ACCumlator, ACC)。向量Φ(0)=[φ(0)(0),φ(1)(0), …,φ(N)(0)]T表示各級累加器的相位初值，在各控制周期的初始時刻，需要對Φ(0)進行實時更新。在時鐘驅動下，各級累加器開始工作，Φ(k) = [φ(0)(k),φ(1)(k), …,φ(N)(k)]T表示第k個時鐘周期各級累加器的相位狀態值，其狀態轉移方程可由式(4)進行表示。

圖1　N階DDS合成器結構圖Fig.1　Structure of N-order DDS synthesizer

(4)

當一個時鐘周期結束時，除了最后一級累加器狀態始終不變外，即φ(N)(k)≡φ(N)(0)，其余各級累加器的相位狀態都會發生變化，并且相位狀態值由前一個時刻此累加器與前一級累加器的相位狀態值求和得到。φ(0)(k)是DDS信號合成器的相位輸出，其作為正弦表的查表輸入導出信號波形值。

3相位初值的計算

如圖1所示的DDS信號合成器設計，首先要討論的是各級相位累加器初值Φ(0)的計算問題。

定理對N級DDS信號合成器，第k個時鐘周期的相位輸出與各級累加器的相位初值滿足如式(5)所示關系：

(5)

并且當N給定時，式中的系數是確定的，可通過簡單計算得到。

證明：利用數學歸納法證明定理。首先，由式(4)可導出DDS各級相位狀態的計算公式：

(6)

當給定階數N，由式(6)最后一行逐次代入前一行即可得到相位輸出φ(0)(k)的表達式。

顯然，對1階DDS有相位輸出：

φ(0)(k)=φ(0)(0)+kφ(1)(0)

(7)

假設對N階DDS有式(5)成立，則對N+1階DDS，第2級相位狀態φ(1)(k)可表示為：

(8)

結合式(6)可得：

(9)

根據Bernoulli自然數求冪和公式[13]：

(10)

聯合式(9)和式(10)可導出N+1階DDS的相位輸出可表示為：

(11)

至此，定理證明完畢。

假設驅動DDS合成器的時鐘周期為TS，由式(3)可知，在一個控制周期內，要模擬的載波相位φ(k)為：

(12)

由于定理中的式(5)成立，所以通過待定系數法可建立如式(13)所示的線性方程組：

B·Φ(0)=P

(13)

式中，矩陣B和向量P均確定已知，

(14)

由此可得如圖1所示DDS結構的各級累加器相位初值的計算公式為：

Φ(0)=B-1·P

(15)

4字長選取方法

DDS合成器以二進制定點數表示各階相位狀態量，字長選擇是DDS設計的又一重要問題，其包括兩個方面：一是各級相位初值量化字長；二是各級累加器字長。前者用于DDS啟動前對式(15)計算得到的相位初值Φ(0)進行量化，其長度取決于GNSS信號各階特征量的仿真精度要求；后者用于DDS啟動后存儲各級累加器的相位狀態值。在選定量化字長的基礎上，累加器字長取決于各相位狀態值的動態范圍。

相位初值量化字長的選擇等價于初始相位量化誤差的確定問題。假設W1=[W10,W11, …,W1N]T表示各級相位初值的量化字長，則對應的各級量化誤差e=[e0,e1, …,eN]T與W1應滿足：

(16)

量化誤差e直接影響了GNSS信號各階特征量的仿真精度，因此e的確定取決于設計者對各階特征量的仿真精度要求。若給定式(2)中各階特征量精度要求ε=[ε0,ε1, …,εN]T，則由式(13)可知，量化誤差必須滿足不等式：

(17)

考慮最低要求，量化誤差正好滿足仿真精度約束，則此時相位初值量化字長的選擇方法可表述為：由e=B-1ξ計算各級量化誤差，導出量化字長的最低要求W1=ceil{log2(2π/e)}；為簡化硬件實現過程，各級統一采用W1中的最大值max{W1}作為量化字長。

DDS各級累加器的作用是存儲信號合成過程中各級相位的狀態值，累加器字長的大小決定了各級累加器開辟的存儲空間容量。而當量化字長選定后，存儲空間的容量直接影響各級相位狀態的動態范圍，累加器存儲空間越大，能承受的相位動態范圍也就越大。因此，累加器字長的選擇完全取決于各級相位狀態的動態范圍要求。在一個控制周期內，若給定動態范圍區間長度ΦL，則累加器字長W2= [W20,W21, …,W2N]T由式(18)進行計算：

第一級累加器的相位狀態就是DDS合成器的相位輸出，其累加器字長W20就等于選擇的量化字長。

現將提出的任意階DDS合成器的設計步驟總結如下：

1)設計者根據要模擬的多普勒特性需求確定相位多項式的分段間隔、階數，以及各段區間的函數表達式；

2)計算各級DDS累加器的相位初值；

3)根據各階特征量的模擬精度要求確定各級相位初值的量化字長；

4)根據各級相位狀態的動態范圍確定各級DDS累加器字長。

5仿真與驗證

在高動態環境下，載體接收機與導航衛星之間存在復雜的相對運動。在一個控制周期內，假設用3階多項式描述其徑向距離的變化：

(19)

式中：d0，v，α，α′分別表示初始時刻載體接收機與衛星間的徑向距離、速度、加速度、加加速度。若從零時刻開始，則接收到的GNSS信號的載波相位表示為：

(20)

假設具體場景：載波頻率Ω0=2πf0，f0=1.555 GHz；控制周期為100 ms，時鐘周期為50 μs；運動模型初始參數d0,v,α,α′分別為1000 km, 2000 m/s, 1 m/s2, 60 m/s3；各特征量模擬精度要求分別為1 mm, 10 mm/s, 10 mm/s2, 100 mm/s3。為合成如式(20)所示的載波相位，按照所提出的設計方法可得DDS合成器的設計參數如表1所示。

表1　DDS合成器的設計參數

圖2給出了所設計的3階DDS信號合成器的多普勒仿真誤差。由圖表明，設計的合成器可以精確模擬多普勒特性的變化，在一個控制周期內，偏差不大于0.1 mHz。隨著時間的推移，多普勒仿真誤差呈現增長趨勢，這是DDS累積誤差逐漸增大所致，但此累積誤差是受控的，在下一個控制周期參數更新后將被消除。

在高動態條件下，DDS合成器的階數是GNSS信號多普勒模擬精度的決定性因素。式(19)是一個包含加加速度的運動模型，若用低于3階的DDS合成器進行信號合成，多普勒仿真精度將會急劇下降，并且時間累積越長，差異越明顯。如圖3所示，在一個控制周期內，2階DDS的多普勒仿真誤差接近1.5 Hz，相對于3階DDS增大了近15 000倍；而1階DDS的多普勒仿真偏差接近2 Hz，相對3階DDS增大了近20 000倍。此外，由于采用低階DDS導致的多普勒仿真誤差還會隨著高階特征量的增大而增大。如圖4所示，當加加速度的取值分別為20 m/s3, 60 m/s3, 100 m/s3時，2階DDS的多普勒仿真誤差隨著加加速度的增大而不斷增大，并且時間累積越長，差異越明顯。

圖3　不同DDS階數下多普勒仿真誤差Fig.3　Doppler simulation error in different DDS orders

圖4　二階DDS在不同加加速度下多普勒仿真誤差Fig.4　Doppler simulation error based on 2-orderDDS in different acceleration rates

6結論

高動態GNSS信號多普勒特性的精確模擬是信號模擬器必須要面臨的一個關鍵問題，故提出一種任意階DDS信號合成器的設計方法。基于相位多項式數學模型，設計了任意階DDS信號合成器的結構；給出了各級累加器相位初值的計算公式；討論了各級相位初值量化字長和各級累加器字長的選取方法。仿真實驗表明，該設計方法能精確模擬GNSS信號的多普勒特性，在一個控制周期100 ms內，多普勒偏移的仿真誤差不大于0.1 mHz。此外，提出的DDS設計方法不受階數的限制，可普遍應用于各類信號模擬器的設計。

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Design of any-order direct digital synthesizer for high-dynamic GNSS signal Doppler simulation

ZHOU Chao, WANG Yueke, QIAO Chunjie, DAI Weihua

(College of Mechatronics Engineering and Automation, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Abstract：In order to accurately simulate the Doppler characteristics of high dynamic GNSS signals, a method for designing any-order DDS (direct digital synthesis) signal synthesizer was proposed. An any-order DDS synthesizer structure was designed; a formula for calculating the initial phase of every accumulator in DDS synthesizer was derived by using theoretical analysis; a technique to determine the DDS word length was developed. Finally, the simulation accuracy of the proposed method for the Doppler characteristics of GNSS signals was validated through simulations. In addition, since the proposed method for designing DDS synthesizer has no order limitation, it can be widely used in different types of signal simulators.

Key words：high dynamic; GNSS signal; Doppler; any-order direct digital synthesis

doi:10.11887/j.cn.201603002

收稿日期：2016-01-18

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61201031)

作者簡介：周超(1988—)，男，貴州貴陽人，博士研究生，E-mail：zhouchaowhu@126.com； 王躍科(通信作者)，男，教授，博士,博士生導師，E-mail：wangyueke@139.com

中圖分類號：TN967.1

文獻標志碼：A

文章編號：1001-2486(2016)03-007-05

http://journal.nudt.edu.cn