在軌加注過程中組合體航天器動力學建模與分析*

楊雅君，廖　瑛，文援蘭

(國防科技大學 航天科學與工程學院， 湖南 長沙　410073)

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在軌加注過程中組合體航天器動力學建模與分析*

楊雅君，廖瑛，文援蘭

(國防科技大學 航天科學與工程學院， 湖南 長沙410073)

摘要：針對在軌加注過程中質量分布隨時間變化的組合體航天器，研究動力學建模問題并對其動態特性進行分析。將航天器系統分為剛性組合體平臺和貯箱內燃料兩部分，貯箱內的燃料視為質量、外形和位置連續變化的質量塊，將航天器系統抽象為一組有固定邊界的變質量質點系；在推導出變質量質點系一般力學方程的基礎上，通過對航天器結構進行一定限制消除方程中的反沖力和失調力矩，以組合體平臺主軸作為參考坐標系，建立在軌加注過程中組合體動力學模型；該模型除了參數時變的特點外，與普通剛體動力學相比還含有阻尼項；基于李雅普諾夫穩定判據，對該時變動力學系統的動態特性進行分析。仿真計算展現了不同結構參數對姿態運動軌跡的影響，也證明了理論分析的正確性。

關鍵詞：在軌加注；時變參數；變質量系統；航天器動力學；穩定性分析

在軌加注技術是空間在軌服務的重要組成部分，通過對在軌運行的航天器進行推進劑加注補給，不僅可以延長使用壽命、提高軌道機動能力，還為增加有效載荷比重和降低發射成本提供了可能，具有良好的經濟效益和廣泛的應用前景，因此備受各航天大國的重視。現有的在軌加注技術要求服務航天器與目標航天器進行空間對接，形成新的組合體后再將加注貯箱內的燃料經管路連續不斷地傳輸到目標航天器貯箱中。

雖然在軌加注技術早已用于實踐，但相關文獻卻并不多見，特別是在軌加注過程中的航天器動力學建模和分析，僅查閱到文獻[1]和文獻[2]有所涉及。文獻[1]考慮轉動慣量的時變效應，通過對角動量方程直接求微分得到姿態動力學方程，所得到的方程與描述剛體姿態運動的歐拉方程相比多出一項與轉動慣量變化率有關的項。文獻[2]將貯箱內的燃料視為外形變化的勻質剛體，詳細推導了系統轉動慣量隨時間變化的公式，將計算得到的系統轉動慣量直接代入到歐拉方程中建立姿態動力學模型。上述兩篇文獻并沒有對系統的運動特性進行分析。加注過程中，燃料從加注貯箱轉移到目標貯箱，服務航天器質量隨之減少，目標航天器質量持續增加，可以借鑒變質量體系統的建模方法。文獻[3]建立了考慮燃料消耗時質量和轉動慣量隨時間變化的飛艇的6自由度運動方程。文獻[4]以固體火箭為背景，分析了有大量質量損耗時的自旋體姿態運動特性。文獻[5]研究了在時變慣量矩和黏滯阻力影響下的非對稱航天器的姿態運動，并對運動的混沌現象進行了深入分析。楊雅君等在文獻[2]提出的簡化條件基礎上，對在軌加注過程中航天器系統的動力學建模和分析進行深入研究。

1力學原理

對于加注過程中的組合體航天器，由于燃料傳輸造成系統質量分布持續變化，航天工程中常用的單剛體或多剛體建模方法不再適用，有必要重新審視建模所基于的力學原理。考慮一組有固定邊界的變質量質點系[6]，如圖1所示，R0為固連參考坐標系原點的絕對位置矢量，Ri為質點mi的絕對位置矢量，ri為質點mi相對參考坐標系原點O的位置矢量。因為質量分布隨時間變化，系統質心位置也是時變的，因此體固連參考坐標系的原點選擇在任意非系統質心的固定點上。

圖1　邊界固定的變質量質點系Fig.1　System of particles with varying mass andfixed boundary

在t時刻，系統相對參考坐標系原點O的角動量為：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

圖2　質點m在t和t+Δt時刻角動量Fig.2　Angular momentum of element m at t and t+Δt

用式(5)減去式(2)并除以Δt，求Δt→0的極限并忽略高階小量，得到系統角動量變化率為：

(6)

將式(6)代入式(4)，得到質量變化時的力矩方程為：

(7)

質點絕對加速度的一般表達式為：

(8)

(9)

邊界固定的變質量質點系的在外力作用下，瞬時質心的加速度和質量流的線動量會發生改變，外力方程為：

(10)

可見，對于變質量質點組成的系統，其力方程(10)和力矩方程(9)是相互耦合的。

2動力學模型與分析

2.1系統特點與假設

加注中的組合體航天器具有以下特點：通過剛性對接機構的連接，服務航天器殼體與目標航天器殼體之間沒有相對運動，形成一個剛性組合平臺；在液體管理裝置的作用下貯箱內氣-液完全分離，燃料被氣液分離面和貯箱壁約束成規則的幾何體；加注貯箱內的燃料通過管路向目標貯箱轉移，各貯箱內燃料的形狀和質量持續變化。因此，考慮將整個系統分成三個部分：剛性組合體平臺(整個系統除去燃料的部分)、加注貯箱內的燃料、目標貯箱中的燃料。

①假設燃料為不可壓縮流體；②參考當前三軸穩定航天器對接技術和文獻[2]的模型，假設組合體平臺的主軸系的x軸與對接軸重合，且加注貯箱和目標貯箱縱軸也與對接軸重合；③假設加注貯箱燃料出口處的法線方向與目標貯箱燃料入口處的法線方向同向且與對接軸平行；④假設燃料出口截面積與入口截面積相等。系統結構如圖3所示。

圖3　組合體航天器結構Fig.3　Configuration of assembled spacecraft

2.2動力學模型

(11)

(12)

其中，系統總質量為：

m=Mb+m1+m2

(13)

系統質心位置及其速度、加速度分別為：

(14)

(15)

(16)

系統轉動慣量為：

(17)

(18)

其中，m10和m20分別表示加注和目標貯箱內燃料的初始質量。 對于轉動慣量，需要明確受約束燃料的幾何形狀，考慮貯箱為圓柱體，根據均質圓柱體轉動慣量計算公式，貯箱內燃料的慣量矩為：

(19)

其中：i=1,2；R1和R2為貯箱底面半徑；l1和l2為圓柱體母線長度。對于均質燃料，設密度為ρ，則母線長度隨時間變化的公式為：

(20)

根據式(20)并考慮貯箱的安裝方式，貯箱內燃料的質心位置及其變化率分別為：

(21)

(22)

其中，r10=[r100]T和r20=[r200]T分別為加注貯箱和目標貯箱內燃料的初始質心位置。

設參考坐標系O-xyz中組合體平臺的慣量矩為Jb=diag(Jbx, Jby, Jbz)，將式(19)～(22)代入式(12)～(17)中并展開，整理出狀態方程形式的數學模型。

(23)

其中，

從式(23)可見，姿態變量ω=[ω1ω2ω3]T的變化不受線位移變量R=[RxRyRz]T的影響，可以單獨對其進行研究。

2.3姿態自由運動分析

無外力作用情況下，加注過程中組合體的姿態動力學方程為：

(24)

其中，η1(t)=-(Jbz-Jby)/J1(t)，

如果組合體質量分布相對x軸對稱，即Jbz=Jby時，則η1(t)≡0，J(t)=J2(t)=J3(t)，η(t)=η2(t)=-η3(t)和λ(t)=λ2(t)=λ3(t)，且角速度ω1為常數，設Ω(t)=η(t)ω1，姿態動力學方程(24)具有線性時變系統的形式。

(25)

顯然該系統具有一個平衡點[ω2ω3]T=[00]T，下面討論這個線性時變系統(25)的運動特性。

(26)

證明：略，參見文獻[7]。

□

對于式(25)所示系統，設P(t)=I，根據式(26)構造Q(t)為：

=-2λ(t)I

可見，當λ(t)<0, ?t>t0時，Q(t)是連續的正定對稱矩陣，此時ω2(t)和ω3(t)軌跡將指數收斂到0。當λ(t)>0時，ω2(t)和ω3(t)軌跡不確定，可能是周期變化或發散的。

通過分析可以明確，由于質量分布隨時間改變，加注過程中的航天器姿態運動與剛體航天器姿態運動相比存在本質差異。自旋單剛體航天器在不受外力作用時，角速度軌跡呈周期變化，而質量分布時變航天器動力學方程中存在阻尼項λ(t)，在時變阻尼項λ(t)的影響下角速度軌跡可以收斂到0，但也存在發散的可能性。

3仿真算例

通過兩個仿真場景，展現不同貯箱安裝位置對角速度軌跡的影響。仿真中設定的模型參數見表1。

以角速度ω(t0)=[0.1,0.141 4,0.141 4]T作為初值進行數值積分，得到角速度隨時間變化軌跡如圖4所示，同時也給出了時變阻尼系數的變化軌跡如圖5所示。在場景1中，加注貯箱安裝在x軸負半軸，目標貯箱安裝在x軸正半軸，整個仿真時間內阻尼系數λ1(t)隨時間連續變化但保持為負，此時ω1收斂到一個定值，ω2和ω3收斂到0。場景2與場景1貯箱安裝方式相反，此時，阻尼系數λ1(t)保持為正，角速度軌跡振蕩發散。

表1　仿真參數設置

圖4　姿態角速度時間歷程Fig.4　History of angular rate

圖5　阻尼系數λ1(t)時間歷程Fig.5　History of damping coefficient λ1(t)

圖6和圖7分別為t=100s，ω1=0.01rad/s時，場景1和場景2的ω2-ω3流場圖。從圖6、圖7可以清晰地看出，在場景1中ω2-ω3平面的原點為穩定焦點，而場景2中原點為非穩定焦點。

圖6　場景1的流場圖Fig.6　Map of flow field in scene 1

圖7　場景2的流場圖Fig.7　Map of flow field in scene 2

從以上仿真分析中可以看出，燃料傳輸涉及的參數會對航天器姿態的動態特性帶來直接影

響，而且這種影響所造成的結果并不唯一，既可能使姿態角速度穩定收斂，也可能使角速度振蕩發散。

4結論

基于變質量質點系一般力學原理建立了在軌加注過程中組合體航天器的動力學模型，利用該模型可實現對運動參數的數值計算，進而分析系統的動態特性。通過仿真分析可以看出，燃料傳輸對系統動態的影響是明顯且復雜的,既可能使角速度穩定也可能使之發散。這為在軌加注航天器的結構和控制系統設計提供參考為加注過程中的控制系統設計奠定了基礎。

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KhalilHK.Nonlinearsystem[M].Beijing:PublishingHouseofElectronicsIndustry, 2011.(inChinese)

Dynamics modeling and analysis of on-orbit refueling assembled spacecraft

YANG Yajun, LIAO Ying, WEN Yuanlan

(CollegeofAerospaceScienceandEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,China)

Abstract：Aresearchwaspresentedtosolvetheproblemofdynamicsmodelingandcharacteristicsanalysisinthecaseofthemassdistributionofthespacecraftchangesobviouslyduringtheon-orbitpropellantrefuelingprocess.Thevariable-massvehiclewasconsideredtoconsistoftwoparts:arigidplatformandtheliquidpropellantconfinedintanks.Theliquidintankswasregardedasafinitenumberoflumpedmasseswithtime-varyingmass,configurationandposition,sothat,theactualphysicscouldbeabstractedasasetofvariablemassparticleswithfixedborder.Then,thedynamicsmodelofrefuelingspacecraftwasestablishedbyusingthegeneralequationsofmass-varyingparticlesset.Basedonsomereasonableassumptionsaboutthestructureofvehicle,themisalignmentmomentandthereactiveforcewereeliminatedfromequations.Itisremarkablethattheestablishedmodelincludetime-varyingparametersanddampingterms.Besides,thedynamicscharacteristicsofthemodelwereanalyzedbyusingtheLyapunov′sstabilitycriterion.Simulationresultsdemonstratethatthedifferencestructureofthevehicleeffectthestatetrajectoriesdramatically,andprovethattheoreticanalysisiscorrect.

Keywords：on-orbitrefueling;time-varyingparameters;variablemasssystem;spacecraftdynamics;stabilityanalysis

doi:10.11887/j.cn.201603015

收稿日期：2015-04-08

基金項目：上海航天科技創新基金資助項目(SAST201251)

作者簡介：楊雅君(1987—)，男，云南勐臘人，博士研究生，E-mail：yajunsand@163.com； 廖瑛(通信作者)，女，教授，博士，博士生導師，E-mail：liaoying1104@163.com

中圖分類號：V443.5

文獻標志碼：A

文章編號：1001-2486(2016)03-088-06

http://journal.nudt.edu.cn