新課標(biāo)全國卷立體幾何考題分析及2016備考建議

胡浩 馬林

[摘 要] 從2016年開始，安徽等省份將采用全國卷進(jìn)行高考. 全國高考卷與分省高考卷有什么異同？如何適應(yīng)全國卷高考？如何開展2016年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)？本文從立體幾何模塊展開具體論述，并提出2016年立體幾何的備考建議.

[關(guān)鍵詞] 全國卷；立體幾何；試題分析；備考建議

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識.課程標(biāo)準(zhǔn)下的高中數(shù)學(xué)教材螺旋式地安排了兩部分內(nèi)容：《數(shù)學(xué)2》（必修）；《數(shù)學(xué)》（選修2-1）. “空間幾何體”、“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”、“空間直角坐標(biāo)系”和“空間向量與立體幾何”作為高考必考內(nèi)容，在歷年的試卷中已成保留“節(jié)目”. 筆者以2013-2015年新課標(biāo)全國高考數(shù)學(xué)卷（理科）為例，分析立體幾何試題的命題特點(diǎn)與規(guī)律，并提出幾點(diǎn)備考對策，供各位同仁高三復(fù)習(xí)參考.

新課標(biāo)全國卷立體幾何試題歸納

縱觀2013—2015年新課標(biāo)全國高考數(shù)學(xué)卷，從年份、卷號、題號、分值、問題的載體、考查的知識點(diǎn)與方法等幾個方面，制成下面的表格（見表1），從中可以透視近三年立體幾何的命題視角和考查方向.

新課標(biāo)全國卷立體幾何試題分析

？搖？搖從2013—2015年新課標(biāo)全國高考數(shù)學(xué)卷匯總表可以看出，立體幾何注重能力考查，題型題序相對穩(wěn)定.一般命制兩個選擇題，一個解答題，合計(jì)22分. 選擇題一易一難，難易相間；解答題一般在18或19題的位置，屬容易題或中檔題，難度不大. 下面從命題立意、考查重點(diǎn)等技術(shù)層面分析近三年立體幾何高考題.

1. 創(chuàng)設(shè)實(shí)際情境，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用

高考中考查應(yīng)用題已成為常態(tài).創(chuàng)設(shè)一個實(shí)際情境，考查學(xué)生閱讀審題和數(shù)學(xué)建模的能力，呈現(xiàn)“數(shù)學(xué)來源于實(shí)際”的課程理念. 這類題題號靠前，承載的幾何體較簡單，難度適中偏易，學(xué)生容易得分.

例1 （2013年Ⅰ卷題6）有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（ ）

【試題分析】 立體幾何應(yīng)用問題在近三年中均在第6題中考查不是偶然的巧合，反映出命題者的立意：考查數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，但又不想增加試題的難度，保持該型題難度的相對穩(wěn)定中等略偏下，要求學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力. 另外，2015年Ⅰ卷考題6（例2）滲透了數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史，這是全國高考數(shù)學(xué)命題的新動向，值得我們關(guān)注！

2. 堅(jiān)持通性通法，考查主干知識

所謂通性通法，是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法. 全國高考數(shù)學(xué)命題的基本原則是淡化特殊技巧，注重通性通法，強(qiáng)調(diào)對具有普遍意義的方法和相關(guān)知識的考查. 通性通法不僅能全面透視出立體幾何的本質(zhì)與內(nèi)涵，而且對全國考生來講背景也是公平的. 立體幾何中的核心概念、主干知識、常規(guī)思想方法是常考并力求創(chuàng)新.

圖3？搖？搖

【試題分析】 用幾何法或向量法求空間角：異面直線所成角、線面角、二面角，證明線面平行或垂直、面面平行或垂直，求幾何體的體積等都是全國高考立體幾何的“常客”，命題者的意圖在于用主干知識挑大梁，但在知識點(diǎn)的分布上力求均衡，即：線面平行或垂直只考其一，空間角只考其一，且都是“一拖二”型，一題證明推理，一題計(jì)算求空間角或體積.

3. 揭示邏輯關(guān)系，考查推理能力

數(shù)學(xué)能力的核心是邏輯思維能力，突出考查的是理性思維，而思想的過程是靠邏輯推理來完成的，因而推理論證能力是高考考查的著力點(diǎn). 說一個命題為假，只需要舉出一個反例；判斷一個命題為真命題，必須給出證明過程，這是進(jìn)行邏輯推理的基本范式. 在推理過程中，要求理由充分、層次清楚、書寫規(guī)范. 清晰而規(guī)范的解題思路來自對立體幾何相關(guān)定義、定理、公理的準(zhǔn)確理解和靈活應(yīng)用.

例6 （2013年Ⅱ卷題4）已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β. 直線l滿足l⊥m，l⊥n，l？埭α，l？埭β，則（ ）

A. α∥β且l∥α

B. α⊥β且l⊥β

C. α與β相交，且交線垂直于l？搖

D. α與β相交，且交線平行于l

例7 （2013年Ⅰ卷題18）如圖4，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

（1）證明：AB⊥A1C；

（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.

【試題分析】 全國高考對推理能力的考查是客觀題和主觀題雙管齊下，考查的對象是立體幾何中的主干知識——空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系. 必須要指出的是2015年Ⅱ卷題19，要求畫出兩個相交平面的交線，此類題在消失多年后又“卷土重來”，絕非只是命題者的一時興起，它與人民教育出版社章建躍博士“作圖是立體幾何學(xué)習(xí)的第一大事”的理念遙相呼應(yīng)，這個變化也值得關(guān)注！

4. 重視動態(tài)問題，考查探究能力

運(yùn)動、變化是幾何的重要特征之一，在運(yùn)動、變化中探究幾何性質(zhì)，在變化中尋求規(guī)律，在變中探究不變，在動中探索不動，是對學(xué)生高層次思維能力的考查. 這類問題常在解答題中出現(xiàn)，但也有年份在客觀題中出現(xiàn).？搖

例10 （2015年Ⅱ卷題9）已知A，B是球O的球面上的兩點(diǎn)，∠AOB=90°，C為該球面上的動點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為

（ ）

A. 36π B. 64π？搖

C. 144π？搖？搖？搖？搖？搖 D. 256π

【試題分析】 解決立體幾何中的“動態(tài)問題”，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生探究圖形運(yùn)動過程中的“不變量”，抓住它，問題就能得到解決. 在例10中，動點(diǎn)C運(yùn)動的不變量是點(diǎn)C到球心O的距離即球半徑，當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑端點(diǎn)時，三棱錐O-ABC體積最大，據(jù)此得到球半徑的大小，問題獲得解決. 讓學(xué)生的思維在關(guān)鍵處閃光，能力在要害處增長，弱點(diǎn)在隱蔽處暴露，意志在細(xì)微處磨礪，這是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的根本任務(wù).