股價異常波動及波動集聚性
——基于近似熵－小波變換的實證研究

郭建華

（邵陽學院，湖南 邵陽422000）

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金融市場

股價異常波動及波動集聚性
——基于近似熵－小波變換的實證研究

郭建華

（邵陽學院，湖南 邵陽422000）

摘要：以2001年1月1日至2015年7月31日上證綜指日收盤價為樣本，運用近似熵-小波變換方法，對上證綜指時間序列進行了多尺度復雜性分析。通過計算樣本數據序列的近似熵值發現，股票市場的波動性與股指時間序列的近似熵值密切相關：近似熵值越大，股市波動性越大。通過引入小波變換對近似熵序列進行分解和重構，發現股價波動具有階段聚集性，而且股價變化過程中的異常波動伴隨著重大經濟事件或突發事件而發生。

關鍵詞：近似熵；小波變換；股價波動；波動集聚性

股市異常波動即股價的大幅度、不連續變動。預料之外的重大信息發布（如股票分紅、公司兼并、宏觀經濟政策調整）和突發事件的發生都會引起市場的異常波動，表現為股價的跳躍變化。理論和實踐研究表明，不同于股價的連續變化或小幅波動，股價異常波動有其在金融領域上的顯著含義，異常波動反映的是市場變化的不穩定性和復雜性，隱含的是市場風險，股價演化進程中的異常波動檢測和識別是風險度量與風險管理的出發點。[1]

一、文獻綜述

很多學者對股價異常波動的檢驗方法進行了研究。如Barndorff-Nielsen and N.Shephard（2006）提出雙冪變差檢驗；[2]Lee and Mykland（2008）提出非參數滾動檢驗；[3]At-Sahalia and Jacod（2009）提出基于不同數據頻率計算截取冪變差的價格跳躍檢驗；[4，5]Yi Xue等（2014）基于小波變換方法，利用高頻數據對股市跳躍變化進行了檢測；[6]Limiao Bai等（2015）基于系統適應框架理論，并利用小波方法對歐洲、美國和中國大陸股票市場的突變性進行了研究。[7]

近年來，國內學者發現我國股市存在明顯的異常波動，如陳浪南、孫堅強（2010）[8]，歐麗莎、袁琛、李漢東（2011）[9]，沈根祥（2012）[10]等。也有很多學者運用參數模型對股價變化過程中存在的跳躍現象進行檢測。如郭文旌等（2013）應用動態Jump-Garch模型進行股價跳躍行為檢測，并分析了股價跳躍現象和重大事件的關聯性；[11]黃苒和唐齊鳴（2014）通過構建門限效應下狀態變量依賴自回歸強度跳躍-GARCH模型，對我國股市跳躍現象進行了研究，并通過對不同類型中國上市公司股票市場數據的實證分析，表明該模型對各類上市公司股票資產價格跳躍特征都具有較好的辨別和預測能力；[12]趙滌非和唐勇（2015）則借助跳躍強度模型，從經濟信息釋放對跳躍影響的角度，探討了上證綜指跳躍現象產生的原因。[13]

從現有研究看，國內外學者大多是通過參數模型的設定進行股價異常波動行為的檢測研究，關于非參數方法進行股價異常波動檢測的研究文獻甚少。近年來，有學者從系統動力學結構突變的角度出發，引入了近似熵方法，為時間序列的突變分析提供了新的途徑。近似熵（Approximate entropy，簡稱ApEn）是最近發展起來的一種度量序列的復雜性和統計量化的規則。它是在20世紀90年代由Pincus為了克服混沌現象中求解熵的困難而提出的。[14]他根據K氏熵的定義，將近似熵定義為相似向量在由m維變化到m+1維時保持相似性的條件概率，其物理意義是維數變化引起新模式產生的概率大小，近似熵值越大，序列越復雜，產生新模式的概率越大。[15]近似熵方法具有所需數據量小、抗噪能力強、檢測結果準確等優點，該方法在醫學、交通流預測、水文氣象突變和故障檢測等方面得到諸多應用。如，郭興明等基于定量遞歸分析和近似熵對心音信號進行分類識別。[16]張亮亮等基于近似熵對北京四環一路段的交通流序列趨勢進行了檢測。[17]何文平[18]，孫永東等[19]基于近似熵對降水突變情況進行了分析。張振海等利用模糊近似熵方法對傳感網數據故障進行了檢測。[20]

綜上所述，近似熵方法在醫學、水文氣象、工程故障檢測等方面有了較為廣泛的應用。然而，據作者所掌握的文獻來看，關于近似熵方法在金融時間序列變化尤其是股價異常波動分析方面的應用甚少。為此，本文首先采用近似熵計算分析股價變化的復雜性和股價的異常波動，然后引入小波變換對近似熵序列進行分解和重構，探究股價發生異常波動的內在原因。

二、研究方法

（一）近似熵（ApEn）

近似熵具有對確定性信號和隨機信號都有效的特點，其基本原理是用一個非負數來表示時間序列的復雜性，時間序列越復雜，對應的近似熵值也越大。[14]換言之，近似熵是從序列復雜性的角度來度量數據序列發生模式改變的概率大小，產生新模式的概率越大，近似熵值越大，說明系統越趨近于隨機狀態，系統越復雜；反之，近似熵值越小則表明數據信號越平穩。

設{x（i）；i=1，2，…，n}表示樣本數據序列，則基于樣本數據的近似熵（ApEn）可以按如下步驟求得：

（1）針對{x（i）；i=1，2，…，n}構建m（>0）維向量：

（2）對坌i，j（=1，2，…，n)，定義向量y（i）和y（j）的歐氏距離為：

（3）給定容許偏差r（r>0），對i=1，2，…，n-m+ 1，計算：

（6）對樣本序列{x（i）；i=1，2，…，n}的近似熵定義為：

給定樣本長度參數n，則有：

從近似熵的計算過程來看，對給定的樣本數據序列，近似熵的大小受m和r的影響，實際應用中，一般取m=2，r=0.1滓～0.25滓（滓表示樣本標準差）。[14]

根據近似熵值的計算原理可知，各階段的近似熵值反映數據序列在各時段保持自相似性的能力，平穩數據序列對應的近似熵值也相對穩定，數據發生突變時近似熵值也會隨之發生顯著的變化。據此，我們可以通過采用滑動窗口法從原數據序列選取不同子序列，計算各子序列的近似熵，通過檢驗近似熵值的顯著變化進行數據異常波動性分析。具體步驟如下：

（1）選擇滑動窗口長度l、滑動步長h以及m，r。

（2）對每個i-1，…，n-l+1，選取子序列：{x（i），x（i+1），…，x（i+l-1）}。

（3）計算子序列的近似熵。

（4）保持窗口長度l不變，以滑動步長h移動窗口，重復步驟（2）～（3）。這樣，可以得到一個長度為n-l+1的近似熵序列。

根據動力學理論，具有相同動力學結構的時間序列的復雜性差異不大，[17]對上述近似熵序列進行檢驗，如果近似熵序列值在某一點開始發生顯著變化時，則可以認為該點就是時間序列變化趨勢的轉折點，即異常波動點。

（二）小波變換（WT）

本文中，我們采用 Mallat算法[21]對近似熵ApEn序列進行小波分解和重構，分析股市異常波動情況。具體算法如下：

三、實證分析

相對西方發達國家的證券市場，我國股票市場的發展歷史較短，市場相對不成熟而且投機色彩濃厚，因而市場價格波動相對較大，甚至因為受外部因素的影響常常伴隨有異常波動現象，而股價異常波動正是股市風險的體現。因此，本文對股價異常波動進行研究，以便為監管者完善市場交易機制和投資者進行風險管理提供一定的參考依據。

（一）樣本數據及初步統計分析

本文的樣本數據選取了上證綜合指數的日收盤價格，時間跨度為2001年1月1日至2015年7 月31日，涵蓋了2007年前后一個完整的牛熊市輪回。數據來自“網易財經——行情中心”。

表1是上證綜指樣本數據的日漲跌幅度概況，在整個樣本期內，指數日波動超過1%、3%、5%的天數分別為1122天、179天、55天，分別占樣本期的31.77%、5.07%、1.56%。由此看來，我國股市的波動現象較為頻繁。

從樣本數據統計結果可以看出：指數大幅波動時常發生，而且主要集中在2007～2009年和2014年下半年至2015年上半年，這兩個時段剛好是經歷了中國股市罕見的牛熊市大輪回，各路資金涌入股市，市場情緒高漲，當然，也有其他諸多因素影響股市大幅波動。

表1　上證綜指分時段日波動幅度概況（括弧內數字表示階段內占比：%）

（二）上證綜合指數的近似熵序列分析

基于一年正常交易天數為252天，一周正常交易天數為5天，對上證綜合指數日數據，我們首先分別選取滑動窗口長度l=252天和滑動步長h=5天（也可根據需要，調整滑動窗口長度和滑動步長），m=2，r=0.25滓，按照近似熵（ApEn）方法的步驟（1）～（6）計算，結果如圖1-1所示。

圖1　上證綜指及ApEn值序列圖

由圖1-1可知，上證綜合指數在不同時段呈現出不同的波動特征，尤其是在2007年的牛熊市輪回階段，波動特征更明顯。具體來說，上證綜合指數的ApEn值大體呈現出六個階段性的變化過程，分別為：（1）第一階段t=1～350（對應于2001年1月至2002年6月）。該階段近似熵值盡管不大，但變化不平穩，這表明上證綜合指數有一定的波動性，事實上，從圖1-1（上）可以看出，該階段的上證綜合指數從2200點跌至1400點，波動幅度達700多點。（2）第二階段t=351～1400（對應2002年7月至2006年10月）。該階段近似熵值較小而且平穩變化，表明上證綜合指數波動性不強，圖1-1（上）也表明上證綜合指數基本位于1400點與1700點的振蕩區間波動，變化相對平穩。（3）第三階段t= 1401～1930（對應2006年11月至2009年1月）。該階段近似熵值很大而且變化極不穩定，表明上證綜合指數處于劇烈波動時期，該階段正好是2007年前后的牛熊市輪回階段，指數值在不到一年的時間從1800點躥升至6092點，又在一年時間內跌至1900點，如此大幅波動可謂絕無僅有。（4）第四階段t=1931～2800（對應2009年2月至2012年7月）。該階段近似熵值較大也不平穩，表明上證綜合指數處于較大幅度波動期，事實上，該階段上證綜指漲跌幅度達1200點。（5）第五階段t=2801～3300（對應2012年8月至2014年8月）。該階段上證綜合指數基本位于2000點至2300點的區間震蕩，波動很小，從圖1-1（下）的近似熵序列圖也可以看出，該階段的近似熵值較小且變化平穩。（6）第六階段t= 3301～3530（對應2014年9月至2015年7月）。該階段的近似熵值較大而且變化不平穩，說明上證綜合指數處于較強波動期，圖1-1（上）的指數序列圖也說明了這種波動特征，事實上，該階段的上證綜合指數值在不到一年的時間內從2300點突漲至5166點，而后迅速跌至3600點，波動劇烈。總之，近似熵值及其變化特征與上證綜合指數的變化關系如表2所示。表2的結果與表1的統計分析結果基本一致。由此看來，近似熵確實可用于對時間序列的波動性研究，是檢測股市波動的良好工具。

表2　上證綜合指數階段性波動及近似熵值

由此看來，對投資者來說，大且變化不平穩的熵值，意味著股價異常波動，需謹慎投資，對監管部門來說，需要加強市場監管，盡量避免大幅漲跌的發生而影響市場的正常運行；反之，小且平穩變化的熵值，說明股價相對平穩，是投資的可選時機。

考慮到ApEn檢測結果與滑動窗口選取的長度有關，選擇的窗口長度過大或過小都會對檢測結果造成一定的影響。[22]在此，我們就滑動窗口長度l和滑動步長h對ApEn檢測結果的影響進行分析。首先假定l或h中的一個固定不變，對另一個進行調整以檢測其對ApEn值的影響。譬如檢驗滑動窗口長度l對檢測結果的影響時，則假定滑動步長h不變，分別選取l=504天和l=756天，結果如圖1-2和圖1-3所示。由此可以發現，對于固定的滑動步長h，在l=504天的ApEn值的變化規律和l=252天的結果基本一致，原始數據序列異常波動的檢驗結果較為穩定。但如果滑動窗口長度過大，如圖1-3中當l=756天時，數據序列熵值的階段性變化不明顯，從而難以檢測異常波動點。由此看來，合理選擇滑動窗口長度對于數據序列異常波動檢測結果準確與否具有重要意義。實踐中，通常首先選取較長的滑動窗口長度檢測序列的異常波動點或異常波動區間的大致范圍，然后逐步縮小窗口長度，直到數據序列異常波動點或異常波動區域穩定為止。對于上證綜合指數序列的異常波動檢測來說，建議取滑動窗口長度l=252天或l=504天，在此滑動窗口長度下，通過計算序列的ApEn值，能夠較好地識別波動情況。同樣，滑動步長h的選取也不宜過長或過短，滑動步長過長容易造成異常波動點的淹沒；反之，滑動步長過短則導致計算量過大。

（三）近似熵序列的小波變換分析

為了進一步分析上證綜合指數波動變化及其影響因素，我們基于小波變換中Symlets小波基中的sym8，利用Matlab R2009a中的“小波分析”工具包對l=252天和h=5天的ApEn熵序列進行多尺度分解分析。首先對熵值序列進行初步小波分析發現，小波分解的低頻系數對應的是數據信號在最高尺度的加權平均，反映的是信號的總體趨勢，其變化規律類似于原始信號數據；高頻系數對應的則是信號加權平均的廣義差分，代表的是數據信號在不同分解尺度的波動細節。我們對上證綜合指數日數據序列的近似熵分解重構得到6個高頻分量，每個分量表示了不同時間尺度上的股市變化情況。結果如圖2所示。

在圖2中，上證綜合指數近似熵值的sym8分解得到的d5分量的演變趨勢特征和近似熵值演變的變化規律基本一致，反映了近似演變的平均狀態。說明上證綜合指數的周期波動性與d5這一時間尺度的上證綜合指數變率有密切關系，所以這種密切關系可能也就是周期性“波動集聚”效應的體現。另外，我們選擇的樣本中包括了2007年前后的牛熊市輪回和2014年下半年的股市大漲時期，數據具有一定的對稱性。從圖1的熵值序列圖和圖2的小波分解圖也可以看出，在牛熊市輪回和股市大幅漲跌前后（第一、三、四、六階段），股市波動顯著增大。

接下來進一步對異常波動點進行分析，數據信號中異常波動點的位置，可能反映在小波變換的過零點或者小波變換的峰值點上。然而過零點極容易受白噪聲的干擾，根據小波變換峰值點檢測信號異常波動較為穩健，所以我們僅對小波變換系數峰值點以及峰值點之間的過零點進行統計，尋找上證綜合指數的異常波動點。表3是運用近似熵－小波變換分析檢測到不同時段上證綜合指數部分異常波動點的具體發生時間及對應的波動原因（重大經濟事件或突發事件）。

圖2　上證綜合指數近似熵值得小波分解

表3　上證綜合指數異常波動時間及波動原因

四、結論

股市是一個國家或地區實體經濟運行的晴雨表，實體經濟的運行趨勢和狀態變動很容易導致股票市場的異常波動，因此檢測股市運行過程中的異常點，為研究金融危機預警提供了依據。本文基于近似熵和小波變換相結合的金融時間序列異常波動分析，研究結果表明：

第一，與現有關于股價異常波動研究文獻相比，近似熵－小波變換方法不僅可以得到股價在不同時間尺度和不同階段的波動特征，還可以揭示股價發生異常波動的內在演變機理和辨別誘發異常波動的外在宏觀因素。

第二，近似熵值與股價時間序列的幅值變化無關，對數據序列的分析效果優于均值、方差、標準差等統計參數。相對于參數方法，近似熵方法無需繁瑣的參數設定和估計，而且通過滑動窗口技術，近似熵要求的數據量小，具有較強的抗噪和抗干擾能力等優點。

第三，從實證分析結果看，近似熵值的變化確實反映了股價的實際波動情況，無論是對監管部門還是投資者，都具有較好的參考價值。當近似熵值增大且不平穩變化時，說明股價有大幅波動，對監管機構來說，應該加強市場監管，分析波動原因；對投資者而言，應該謹慎投資。反之，近似熵值較小且平穩變化，說明股價相對平穩，波動較小，是投資的可選時機。

第四，樣本數據序列近似熵值的計算結果受滑動窗口長度和滑動步長的影響，目前關于滑動窗口長度和滑動步長的確定沒有成熟的理論依據，主要通過人工調整和試算來確定，如何從理論上確定滑動窗口長度和滑動步長或通過計算機優選確定是一個值得思考的問題，也是一個具有理論研究價值和實際應用價值的課題。

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（責任編輯：龍會芳；校對：盧艷茹）

Abnormal Volatility and Volatility Clustering of Stock Price——an Empirical Study Based on Approximate Entropy and Wavelet Transform

Guo Jianhua

（Shaoyang University,Shaoyang 422000,China）

Abstract:The paper selected daily closing price of shanghai composite index from January 1st 2001 to July 31st 2015 as samples,adopted the method of approximate entropy of wavelet transform and carried out multi-scale analysis of the time series of Shanghai Composite Index’complexity.After calculating data series’approximate entropy,it could be concluded that there is a close connection between stock market volatility and approximate entropy of stock index’s time series.The greater the approximate entropy is,the more volatile of the stock market will be. Through the introduction of wavelet transform,the paper tries to disintegrate and rebuild approximate entropy series,and discovers that there are phased clustering with the stock price volatility.And the occurrence of abnormal volatility of stock price is always accompanied with major economic incidents or emergent incidents.

Key words:approximate entropy;wavelet transform;volatility of stock price;volatility clustering

中圖分類號：F224

文獻標識碼：A

文章編號：1006－3544（2016）03－0039－07

收稿日期：2016-03-11

基金項目：教育部人文社會科學研究青年基金項目（15YJC630026）；湖南省教育廳資助科研項目（14B160）

作者簡介：郭建華（1975-），男，湖南邵陽人，博士，邵陽學院副教授，研究方向為金融風險管理。