電磁成形線圈電感計算

鄧將華，黃伍平，王威

(福州大學機械工程及自動化學院，福建福州350116)

電磁成形線圈電感計算

鄧將華，黃伍平，王威

(福州大學機械工程及自動化學院，福建福州350116)

采用解析法和有限元方法對電磁成形線圈電感進行計算并測量.研究結果表明，解析法和2D有限元法計算線圈電感與實測值誤差較大，且只能計算少量的軸對稱線圈的電感，具有較大的局限性.而基于增強型能量增量法原理的3D有限元法求解電感精度較高，可以較好地計算實際結構線圈的電感，對于異形線圈電感也可以方便建模求解，為線圈的設計奠定了基礎.

電磁成形;電感計算;解析法;3D有限元法

0 引言

電磁成形是將強脈沖電磁力作用于金屬毛坯使其產生塑性變形的一種高能率成形工藝.相對于傳統金屬壓力加工方法而言，它具有生產率高、工藝重復性好、工裝簡單、材料極限變形能力高且利于實現復合工藝等優點，故廣泛應用于航空、航天、汽車、電子等領域.電磁成形過程中電容器儲存的電能通過線圈放電瞬間轉變為工件的塑性變形能［1－5］.線圈是電磁成形的關鍵元件，對工件成形效率及質量具有重要影響［6－8］.線圈電感的精確計算是電磁成形過程放電回路分析和工藝參數優化的基礎.目前，線圈電感的計算主要有解析法和數值法.解析法一般是通過畢奧－薩伐爾定律或引入矢量磁位，結合分離變量法、積分變換法或格林函數法等首先給出磁場的解析解，進而求得電感的解析表達式［9］.但解析表達式一般較復雜，難以直接應用，需要通過查表、結合數值計算或通過計算機編程來輔助求解［10－13］.近幾十年來，隨著有限單元法(FEM)、邊界元法(BEM)、有限差分法(FDM)等方法的發展，數值方法得到了廣泛應用.FEM作為數值方法的一種，建模時考慮了線圈結構的實際分布、具體形狀和電磁材料的非線性等因素，為線圈電感的精確計算提供了一種有效的方法［14－15］.本研究在分析線圈電感計算原理的基礎上，分別采用解析法和有限元法對電磁成形線圈電感進行計算.通過與實測值比較，確定電感計算的有效方法，并將該方法應用于異形線圈電感的計算.

1 線圈電感計算原理

1.1 解析法

當線圈中通入恒定電流時，在線圈周圍產生靜磁場.可以直接利用畢奧－薩伐定律，或引入矢量磁位A、標量磁位φm，通過求解滿足一定邊界條件的泊松方程(2A=－μJ)和拉普拉斯方程(2φm=0)進行恒定磁場的計算.其中:2為拉普拉斯算子，μ為介質磁導率，J為電流密度矢量.然后根據磁鏈法(L=ψ/I)或磁能法(W=LI2)求解線圈電感，其中:ψ為磁鏈，I為線圈電流.

解析法能明確表示常量與參數的關系，計算量小、精度高，可以大量簡化數學過程.但解析法僅能求解少量具有規則邊界形狀的邊值問題，并不是所有問題都有解析解.另外解析解很難直接應用，需要通過查表、計算機編程或其他輔助方法進行求解.

1.2 有限元法

根據模型的不同，計算電感主要有二維(2D)和三維(3D)有限元法.對于二維靜態磁場可以采用磁矢量法(MVP)求解，而三維靜磁場除了可以采用磁矢量法，還可以采用磁標量法(MSP)和棱邊單元法(EFE)求解.基于磁場的計算結果，線圈電感則可以通過磁鏈法或磁能法求解.但是對于3D有限元法，特別是形狀復雜的線圈，因為積分路徑的選取會比較繁瑣，所以磁鏈法并不適用.而能量法不需要考慮積分面的選取，而且有限元法中關于能量或共能的計算是基于最小磁能原理，故有較高的計算精度［14］.為了提高能量法的計算精度和計算效率，Gyimesi和Ostergaard對能量法進行了改進［16］，提出了增強型能量增量法(EIEM)，減少了計算所需的求解數，使基于EIEM的有限元法計算電感更加可靠.

以單個線圈組成的系統為例，當線圈中的電流從工作點i0變化到i1，產生Δi的電流增量時，根據法拉第電磁感應定律則會產生自感電動勢u:

在整個變化過程中，電源將反抗電動勢做功有:

根據能量守恒，這部分功將以能量的形式儲存在線圈內.對于各向同性非鐵磁物質，B=μH，由電流擾動引起的磁場變化可以表示為:

其中:H0、B0是工作點的磁場量，ΔH、ΔB是電流擾動引起的增量.則磁場能量的變化可以表示為:

對比(2)、(4)兩式各項，ΔH、ΔB是電流擾動Δi引起的場量變化，故可得電感的表達式:

與能量法相比該改進方法求解線圈電感只需要一個增量分析，電流增量的選取可以更加靈活，而且不需要計算絕對磁能，計算效率好，精度高，故本研究的有限元計算都采用這種方法.

2 平板線圈電感計算

平板線圈是電磁成形最常用的一種線圈結構，利用平板線圈可實現板材沖裁、粉末壓實、電磁鉚接等工藝.線圈材料為紫銅.線圈結構如圖1所示，導線截面為矩形，用線切割的方法在紫銅板上加工出的線圈實物如圖2所示，線圈結構具體參數如表1所示.

表1 線圈結構參數Tab.1Structural parameters of pancake coil

2.1 解析法計算電感

對于如圖1所示的電磁成形用軸對稱矩形截面平板線圈，為了簡化計算，忽略其線圈的螺旋性和絕緣層厚度，并認為其電流沿截面均勻分布，故可將其等效為空心圓柱線圈，其電感計算采用文［11］中的方法.該方法引入矢量磁位A，認為空心圓柱線圈是由無窮多個同軸圓環線圈組成的，并將其矢量磁位作為一個邊值問題用分離變量法求解.圓柱線圈的矢量磁位可以通過對圓環線圈矢量磁位的積分和疊加原理求得.然后根據磁感應強度B和矢量磁位A的關系B=×A求得空心圓柱的磁感應強度.通過能量法或磁鏈法求得電感的解析表達式［11］:

類貝塞爾函數;μ0為真空磁導率;N為線圈匝數;函數T(p，q)的值可通過Matlab編程計算，其計算結果為26.847 1，則線圈電感解析解為6.87 μH.

2.2 有限元法計算電感

1)2D有限元法

由于線圈滿足軸對稱關系，可以簡化為二維磁場進行計算.對二維磁場的有限元分析采用磁矢勢法(MVP)，即以矢量磁位A為節點自由度進行磁場的計算.對恒定磁場的麥克斯韋方程為［17］:

通過變分方法即可得出有限元方程組，寫成矩陣形式為:

式中:K為系數矩陣;A為矢量磁位矩陣;F為電流源密度值的常數項矩陣.

根據線圈形狀，在有限元商用軟件ANSYS中可建立如圖3所示1/2有限元模型，磁場有限元區所需激勵通過施加電流密度進行加載.有限元區域中單元矢量磁位可表示為:

式中:Ai為節點i的矢量磁位;Ni為其標量形狀函數.

對于x=0的邊界，應滿足磁力線平行，施加AZ=0的邊界條件.對于y=0的邊界，應滿足磁力線垂直，默認條件下自然滿足.對于線圈周圍近場空氣網格劃分較密，遠場空氣則采用映射劃分.磁場的求解完成后可以通過ANSYS中的宏LMATRIX利用EIEM方法進行電感的求解，求解結果為5.67 μH.

2)3D有限元方法

線圈三維模型的磁場可采用棱邊單元法進行求解.棱邊單元法與矢量位法相似，都是利用矢量磁位A進行磁場的計算，區別在于棱邊元的單元自由度Al與單元邊l(棱邊)相關，即是磁矢量A沿單元邊的切向分量的積分，其形狀函數為矢量函數Nl［18］，單元中的矢量磁位為:

線圈的激勵電流源可以采用非剖分單元SOURC36模擬，此時可以將其視為單元的實常數而不必進行網格剖分.對于本研究使用的平板線圈可建立如圖4、圖5兩種模型.圖4將線圈等效成空心圓柱不考慮間隙，圖5考慮線圈間隙，兩種有限元模型采用相同的網格劃分.不考慮SOURC36單元數，網格剖分后共產生單元數11 280，節點數34 545.對模型外表面上全部節點施加通量平行邊界條件AZ=0.完成磁場的有限元計算后調用ANSYS的宏LMATRIX，通過能量增量法進行電感計算，其計算結果分別為5.27和5.14 μH.

3 分析和討論

通過解析法和有限元法計算得到的電感值和實測值如表2所示.電感測量儀器為TH2810D LRC數字電橋，測量頻率為100 Hz.通過比較可知，解析法和2D有限元法的計算誤差較大，分別為37.4%和13.4%，而3D有限元法誤差均在6%以下，如考慮線圈間隙，其誤差僅為2.8%，大大提高了計算精度.其原因主要為解析法和2D有限元法在計算過程中做了過多的假設，且兩種方法都沒有考慮到線圈絕緣層的影響，而電磁成形用線圈一般都是在較高的電壓下工作，為了保證耐壓等級需要纏繞較厚的絕緣層.3D有限元法考慮了磁場的端部效應，其結果較為精確，特別是當考慮線圈絕緣層的影響時，結果更為精確.誤差產生主要是因為線圈在內外兩端面部分扭曲嚴重且需要較長的引線，從而使測量結果和計算結果有一定的偏差.

表2 計算及測量結果Tab.2Results of computation and measurement

為了進一步驗證線圈電感計算的準確性，將測試用線圈接入低電壓電磁成形設備，通過電阻分流法測量空載時的放電電流.設備相關參數為:系統內阻15.2 mΩ，系統電感為5 μH，電容為73.13 mF.線圈電感計算結果為5.14 μH，線圈實測電阻為2.4 mΩ，不同放電電壓下線圈電流隨時間的變化如圖6所示.通過對比可知，模擬結果和實測電流分布基本吻合，因此，可利用該方法求解線圈電感，并可用于電磁成形設備放電電流分析.

在電磁成形中，根據零件形狀的不同需要采用不同形狀的異形線圈.而異形線圈由于其形狀的復雜性，其電感計算困難.利用3D有限元方法可以考慮線圈的實際形狀，因此可用于異形線圈電感的計算，而其他方法難以完成.為了驗證其可行性，纏繞一個如圖7所示的矩形螺旋線圈.材料為紫銅導線，其截面尺寸為2 mm×7 mm，匝數為17匝.由于此線圈的絕緣層較薄，忽略其影響后可建立如圖8所示1/4有限元模型.計算結果為L=19.38 μH，實測電感L=20.0 μH，計算結果與實測值基本一致，誤差較小.

4 結語

1)解析法和2D有限元法對電磁成形用平板線圈的計算誤差較大，且只能計算少量的軸對稱線圈的電感，有較大的局限性.

2)基于EIEM原理的3D有限元法求解電感精度較高，可以較好模擬線圈的實際結構.當考慮線圈的實際形狀時模擬結果更加接近實測值，對于異形線圈也可以較方便進行建模求解，為線圈設計奠定了基礎.

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(責任編輯:沈蕓)

Inductance computation for electromagnetic forming coil

DENG Jianghua，HUANG Wuping，WANG Wei
(College of Mechanical Engineering and Automation，Fuzhou University，Fuzhou，Fujian 350116，China)

Coil inductance is calculated using the analytical method and finite element method and measured.The result shows that the error of coil inductance between the calculation and measurement is big and only a few coil inductance of axial symmetry can be calculated with the analytical method and 2D finite element method.It is limited to the calculation of coil inductance.The calculation precision of coil inductance is high and the coil inductance considering coil structure can be obtained with 3D finite element method based on enhanced increment energy method.At the same time，the inductance of special－shape coil can be calculated by the 3D finite element method and the method establishes the foundation for the coil design.

electromagnetic forming;inductance calculation;analytical method;3D finite element method

TG391

A

10.7631/issn.1000－2243.2016.06.0789

1000－2243(2016)06－0789－06

2015－06－25

鄧將華(1980－)，副教授，主要從事電磁成形理論和工藝研究，jhdeng@fzu.edu.cn

福建省自然科學基金資助項目(2013J01181);輕合金加工科學與技術國防重點學科實驗室開放基金資助項目(gf201201001)