解排列組合綜合問題的基本方法

彭春齊

求解排列組合的綜合問題，首先要認真審題。只有認真審題，才能把握問題的實質，分清是排列還是組合問題，并注意結合分類加法與分類乘法兩個計數原理，要按元素的性質確立分類的標準，按事情的發生過程確定分步的順序。以下是解排列組合綜合問題的一般思路：

一、四項基本原則

一是“先選后排原則”：在既有取出又需要對取出的元素進行排列時采取此原則，即先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進行排列。

例1.從0，2中選一個數字，從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為 （ ）

解析：根據所選偶數位0和2分類討論求解。

（1）當選數字0時，再從1，3，5中取2個數字有C23種選法，將其排在個位與百位有A22種排法，則排成三位奇數有C23A22=6個。

（2）當選數字2時，再從1，3，5中取2個數字有C23種選法，然后將選中的兩個奇數數字選一個排在個位有C12種選法，其余兩個數字全排列有A22種排法，則排成的三位奇數有C23C12A22=12個。

由分類加法計數原理，共有18個三位奇數。

二是“特殊優先原則”：如果問題中有特殊元素或特殊位置，就優先安排特殊元素或特殊位置，再安排無特殊要求的其他元素或位置。

例2.有5個男生和3個女生，從中選出5人擔任5門不同學科的科代表，求分別符合下列條件的選法數。

（1）某男生必須包括在內，但不擔任數學科代表；

（2）某女生一定要擔任語文科代表，某男生必須擔任科代表，但不擔任數學科代表。

解析：（1）這名男生必須選擇，除他之外還需選擇4人，有C47種選法，由于該男生不擔任數學科代表，故先安排該男生有A14種方法，而其他4人沒有特殊要求，則任意作全排列，故符合題意的共有C47A14A44=3360種不同的選法。

（2）這名男生和女生必須選擇，因此先從除去該男生和該女生的6人中選3人，有C36種選法，該女生一定擔任語文科代表故不需安排，則先安排該男生，有A13種方法，其余3人作全排，有A33種方法，故符合題意的共有C36A13A33=360種不同的選法。

點評：有特殊要求的元素一般優先安排，然后再對其他的元素作全排列。

三是“正難則反原則”：就是從正面直接考慮分類情況比較復雜或求解比較困難時，則從其反面考慮用間接法求解。

例3.已知M、N是兩個平行平面，在M內取4個點，在N內取5個點，這9個點中再無其他4點共面，則以這些點為頂點，能作多少個三棱錐？

解析：以這9個點中4個點為頂點要組成三棱錐就是要求這4點不共面，直接從9個點中選4個點不共面，應分三類：平面M取3個點平面N取1個點，平面M取2個點平面N取2個點，平面M取1個點平面N取3個點，故可組成C34C15+C24C25+C14C35=120個三棱錐，但若從反面考慮，從9個點中任選4個點有C49種，再只需去掉其中4點共面的情況，而由題意可知只有平面M和平面N中有4點共面，故以這些點中4個點為頂點能作C49-C44-C45=120個三棱錐。

點評：直接考慮選4個不共面的點作三棱錐分三類，其中容易漏選，但從反面間接考慮，在9個點中任取4個點之中去掉4點共面的情況即可，顯然這種方法更便捷。

二、五種常見解法

1.分排問題“直排法”

把幾個元素排成前后若干排的排列問題，若沒有其他的特殊要求，可采用統一排成一排的方法來處理。

例1.7人坐兩排座位，第一排坐3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種？

解析：7個人可以在兩排中隨意就座，再無其他條件，故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有A77種。

2.相鄰問題“捆綁法”

排列問題中要求幾個元素相鄰就把幾個相鄰的元素捆綁在一起作為一個整體視為一個元素，待整個問題排好之后，再考慮它們“內部”的排列。

例2.有3名男生，4名女生排成一行，其中男生必須在一起有多少種不同的排法？

解析：將男生看作一個整體，進行全排列，再與其他元素進行全排列，共有A33C55=720種不同的排法。

3.不相鄰問題“插空法”

先排好其他一般元素，再把要求不相鄰的元素插入其他元素之間或兩端的空當中就可確保其不相鄰。

例3.有3名男生，4名女生排成一行，要求男、女各不相鄰，有多少種不同的排法？

解析：先排好男生，然后將女生插入其中的4個空位中有A33A44=144種不同的排法。

4.順序固定問題用“除法”

對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行排列，然后用總的排列數除以這幾個元素的全排列數。

例4.五人排隊甲在乙前面的排法有幾種？

解析：若不考慮限制條件，則有A55種排法，而甲、乙之間排法有A22種，故甲在乙前面的排法只有一種符合條件，故符合條件的排法有種。

5.用比例法解排列問題

有些排列應用題，可以根據每個元素出現的機會占整個問題的比例，直接求得問題的解。

例5.由數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中小于50000的偶數共有多少種？

解析：全排列為A55種，由題意可知滿足條件的五位數的個位數上出現2或4的可能性為，在余下的四個數字中，萬位上出現滿足條件的數字的可能性為，故滿足條件的五位數共有A55=36種。

排列問題千變萬化，沒有一成不變的方法，在求解過程中關鍵是抓住問題本質，并遵循兩個原則：（1）按事情發生的過程進行分步；（2）按元素的性質進行分類，靈活處理就能找到適當的解題方法。

參考文獻：

徐應仙.排列組合解題技巧的研究[J].科技信息，2011（30）.

編輯 李建軍