對促進學生發展的數學學習評價方案的探索

孔企平

對促進學生發展的數學學習評價方案的探索

孔企平

隨著數學教育改革的深入，建立與國家課程標準目標和方法相一致的多元評價體系，對我國在數學教育領域推進素質教育具有重大的價值。要構建與課程標準相一致的評價方案，首先必須解決以下幾個問題：

第一，如何使評價目標與國家課程標準目標體系保持一致？

第二，如何發揮評價的診斷性和形成性的功能，以促進學生數學知識與能力的發展？

第三，如何評價創新思維等高層次的思維？

第四，如何關注學習過程？

第五，如何建立定量與定性相結合的多元的評價方法體系？

圍繞上述問題，本文基于《全日制義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》），對學校內部的多元評價方案的基本特點進行討論，其要點包括以下幾個方面。

一、設計目標多元的數學學習評價的基本構架，建立以評價學生數學素養為重點的評價目標體系，體現《標準》的基本要求

評價方案與《標準》保持一致性，是設計新的評價方案的基礎。《標準》頒布5年來，我國的中小學數學學習評價發生了積極和重要的變化，但也存在一些問題，數學學習評價的研究在一定程度上還相對滯后。在教育實踐中，我們時常可以看到這樣的現象，有部分學生通過了數學考試，甚至成績優良，但并沒有具有我國教育目的所要求的和21世紀公民所需要的數學素質。有研究者尖銳地指出，在可貴的數學高分下隱含著危機［1］。傳統的數學測驗成績不能完全反映學生真正的數學能力，主要有以下三個方面的原因。第一，傳統的數學測驗往往把數學知識看作一套孤立的技能和概念，而不是把它作為一個整體。第二，傳統的數學測驗主要面向事實性的知識和程序性的技能，而不是重點考察高層次的思考。第三，傳統的數學評估側重的是問題的答案而不是學生解決問題的思路、策略的合理性和獨創性等品質，側重的是解題結果而不是學生思考的過程。這三個方面與《標準》的要求形成明顯的反差，也不符合數學學科素質教育深入發展的要求。

實際上，在數學教育中已經出現了一種課程的表面達成現象。這種現象的具體表現是：學生雖然通過了考試，甚至成績良好，但沒有形成社會所期望的數學素養；表面上看教學任務完成了，實際上課程要求并沒有達成，從目標到教學再到評價的循環是在淺層次中完成，并沒有涉及素質教育的深層次目標。這種現象造就了大量“高分低能”的學生。顯然，這種情況不利于學生真正的發展。針對上述情況，我們認為《標準》背景下的評價方案的一個首要特點就是評價要關注學生的全面發展，尤其是關注學生的數學素養的發展。

《標準》明確了義務教育階段數學課程的總目標，并從知識與技能、數學思考、解決問題、情感與態度四個方面作出了具體闡述。《標準》從情感與態度、知識與能力、過程與方法三個基本維度出發，把具體內容分成數與代數、空間與圖形、統計與概率、實踐與綜合應用四個方面，并與四個目標領域有機地整合起來進行闡述。這樣設計目標，目的是在數學課程中切實落實促進學生的全面、持續、和諧發展的要求。根據《標準》的要求，構建《標準》背景下的數學學習評價方案，首先要研究多元化的評價目標，并以簡潔的形式呈現這種目標體系。在文獻分析和實地調查的基礎上，我們嘗試把評價方案分成兩個相互聯系的基本部分。第一部分，考察學生在數學教學過程中情感與態度的發展，包括興趣與動機、行為與態度、合作精神、自信心四個基本的因素。第二部分，考察學生的數學認知領域的學習情況。這部分內容又分成兩個方面，其一是考察學生在數學教學過程中對數學知識的掌握與應用，目的是了解學生在知識與能力方面的發展。對此，我們分別從概念性知識、程序性知識和數學應用三個維度進行研究，把考察數學知識與思維能力整合起來。其二是從過程和方法的角度考察學生的學習方式和高層次的思維品質。具體如下表。

表1　目標多元數學學習評價的基本構架

同時，要有條件地吸收國外研究的一些成果，建立評價與內容標準相一致的具體判斷工具。例如，有研究者以美國的數學學科為例指出，要從知識的種類、知識的深度、知識的廣度和知識樣本平衡四個方面考察評價與標準在內容上的一致性［2］。在表1的基礎上，還要形成分年級的評價方案。由于《標準》是分學段呈現知識目標，所以我們應結合現行的教材制定相應的《學業成就評價意見》。同時，針對不同的目標，還需要研究使用不同的評價方法。比如，對情感與態度、過程與方法，主要側重于用過程性評價方式進行觀察和分析。

二、研究分層評價的理論，發揮評價的診斷性功能，設計多層次的命題體系考察學生的數學理解和對數學知識的掌握情況

命題設計是數學學習評價的重要內涵，也是考察知識和能力目標的基本方法。《標準》指出，對基礎知識和基本技能的評價，以該學段的知識與技能目標為基準，考察學生對基礎知識和基本技能的理解與掌握程度。合理地、多層次地設計數學命題，是有效地考察學生對知識掌握情況的一條重要途徑。

分層的評價理論對設計《標準》背景下的數學命題，考察學生理解、掌握和應用知識的能力具有重要意義。心理學家Entwistle等提出了5種理解的形式：1.從教師講述的記錄中獲得知識，而學生自己無任何結構；2.從教師的知識結構中獲得知識；3.針對考試的問題產生自己的結構；4.在考試要求的范圍內，調整自己的結構，達到對這些知識的理解；5.通過廣泛的閱讀和反思，發展個人的學科概念［3］。這5種理解的形式表達了關于由淺到深的理解層次的基本構想。

在研究理解層次的基礎上，研究者在評價學生對知識的理解程度方面作了嘗試。Biggs和Collis提出了SOLO（structure of the observed learning outcome）模式［4］。Biggs等認為，必須評價學習的質性方面，學習者掌握知識的結構組織（strutural organization）是研究學習者學習質量的重要線索。Biggs和Collis從Piaget的兒童智力發展階段（前運算、早期具體運算、中期具體運算、后期具體運算和形式運算）入手，對學習者的知識結構進行分析，對應地提出了5種反應水平，即擴展抽象（Extended Abstract）水平（能用所學的概念概括沒有經驗過的情境）、關聯（Relational）水平（能用所學的概念概括經驗過的或某些特定的情境）、多元結構（Multistructural）水平（能在有限或獨立的情境中對所學概念進行概括）、單一結構（Unistructural）水平（只能在一個方面對所學的概念進行概括）和前結構（Prestructure）水平。SOLO模式在評價學生數學理解程度上應用比較廣泛。為了評價學生的數學理解，對每一個要考察的知識的范圍還需要制定具體的表現標準。

Collis&Romberg根據SOLO理論也提出了數學知識分層評價的思想。第一，每一種數學技能都是以某一個層次為基礎的。如簡單的計算技能可能與較低的層次相對應。每一種數學問題所評價的內容在層次上有一定的指向。有些指向較高的層次，有些則指向較低的層次。這種認識和Lange的三層次評價理論是一致的。第二，學生在運用某一種技能解決一個實際問題時，必定產生一定的模式。概括起來有四種模式：第一種，具體的模式；第二種，具體-符號模式；第三種，形式化的模式；第四種，后形式化的模式。數學學習評價不僅涉及不同的層次，還和解決數學問題時的模式有聯系。

上述分層次評價的思想可以用于具體知識內容的設計。例如，學生是否理解一元一次方程，可以分為以下幾個方面（層次）設計相應的數學問題。A學生能表述方程是含有未知數的等式，并理解方程的解的含義。B學生能根據具體問題中的數量關系列出一元一次方程。C學生能熟練地解一元一次方程，并能檢驗方程的解。D學生能在問題情境中靈活地應用一元一次方程解決問題，并能根據問題情境檢驗問題答案的合理性。通過上述四種情況，教師可以了解學生對知識的理解和掌握的情況，進一步指導他們改善學習。第一種情況表明學生掌握了方程的基本含義。第二種情況表明學生掌握了方程解的含義。第三種情況表明學生具有解方程的基本能力。第四種情況表明學生已經達到靈活應用的程度，能根據實際情況檢驗答案的合理性，說明學生在學習這部分內容時在一定程度上能做到理論聯系實際。

三、引進研究性、開放性問題，考察學生的高層次思維與創新能力

在數學教育中，培養學生的高層次思維能力是重要的任務。這些高層次的能力包括推理、交流、概括和解決問題等方面的能力，它集中表現為學生的創新能力方面的發展。因此，在數學學習評價中，如何評價學生的創新思維等高層次的思維形式是一個重要的課題。

研究表明，研究性、開放性問題對評價創新思維等高層次的能力具有重要作用。日本數學教育學會曾經對“什么樣的學生行為可以反映出高層次的數學能力”進行了調查，結論可以被概括為：當面臨一個新的問題情境，學生能夠把這個情境數學化并加以處理，換言之，學生用他們喜愛的方法對新的問題運用數學知識進行思考、重新解釋并加以處理［5］。由于開放性問題要求被試創造一個反應而不是回憶或者選擇一個反應，其結果往往是不唯一的，所以它可以反映常規測驗所遺漏高層次思維的目標和學生的思考過程。在運用開放性問題評價學生高層次的思維形式時，建立一套量化和質化相結合的評價學生思維過程的體系是必要的。

研究表明，解答傳統的封閉問題的成績并不能較好地反映高層次思維的成績，高層次思維成績的方差比傳統成績大得多［6］。實際上，許多封閉式問題提供了所有答題所需要的完整條件，這足以使學生回憶學過的知識并選擇合適的知識進行解答。在數學學習評價中加強整體性、思考性和過程性的評估是必要的。美國加利福尼亞教育部（California State Department of Education）指出了開放性問題的五個功能：一是開放性問題為學生提供了自己進行思考并用他們自己的數學觀念來表達的機會，這和他們在數學學習中的發展是一致的；二是開放性問題要求學生構建他們自己的反應而不是選擇一個簡單的答案；三是開放性問題允許學生表達他們對問題的深層次的理解，這在多項選擇中是無法做到的；四是開放性問題鼓勵學生用不同的方法解決問題，反過來要求老師用不同的方法解釋數學概念；五是開放性問題的模式是數學課堂教學的基本成分［7］。

與封閉性問題不同，在解答開放性問題的過程中，從現實條件到用數學語言表述是一個真正的抽象化、意念化和簡單化的過程，其中涉及的思維包括：把原來的知識和技能分組以形成解決目前問題的一種整體的技能，或者對原來的技能進行修正以解決目前的問題。學生通過對問題的觀察，不斷檢驗上述技能能否解決問題，并不斷地修正假設。如果已有的知識和技能并不能解決問題，就會對新的方法提出假設并進行嘗試。如果成功，學生會考慮是否有類似的例子并發展新的理論。因此，開放性問題涉及學生的高層次的思維。

目前，在國外的教材中，研究性、開放性問題的形式主要有開放題和研究性項目兩種。基于《標準》的評價方案應該為開放性、研究性問題留有一席之地。《標準》非常重視培養學生的數學思維，把數學思維作為一個重要的目標領域。當然，評價學生的高層次思維能力的方法是多樣的，使用研究性、開放性問題也是一個行之有效的方法。我們認為，對開放性問題學習的評價應該主要以平時的過程性評價為主，但也要積極研究如何在測驗命題中適當體現這類問題以及相應的評分標準。

四、使用觀察、談話等基本方式，關注學生的學習過程，考察學生學習方式的合理性

《標準》指出，數學學習評價中既要關注結果，也要關注過程。具體地說，要在評價學生知識與能力的同時，關注學生的情感體驗與認知方式。這種過程性的評價對促進學生素質的發展具有十分重要的意義。因此，在評價中必須把學生的情感體驗和認知方式作為基本目標。過程評價可以引入多種定性評價的方式，其中觀察和訪談是重要的和有效的評價途徑。

在學生的數學學習過程中，首先要關注他們的情感體驗。研究表明，學生在數學學習過程中的情感體驗是多種多樣的，至少有這樣幾種情況：第一，對數學學習內容和過程感到有趣；第二，雖然談不上對數學學習感到有趣，但完成學習任務或取得好的成績會感覺到愉快和滿足；第三，對考試和測驗的焦慮，對考試成績很擔心；第四，厭倦數學或數學學習活動。

其次，要考察學生的認知方式。研究表明，學生的數學認知策略也是有較大差異的，具體如下表。

表2　學生認知策略的三個方面

實際上，學生這三種策略表現體現了三種思維的層次和特點，反映了學生認知參與的基本情況。淺層次的策略、深層次的策略和依賴（教師或者家長）的策略，實際上體現了三種不同的認知水平。淺層次的策略表現的是死記硬背和機械的認知水平；深層次的策略是具有理解和反思性的認知水平。依賴教師或者家長（在課堂教學的情境下，主要體現為依賴教師）策略，實際上體現了學生認知策略仍不成熟，從而認知水平并不穩定。當教師使用較好的教學策略時，學生的學習策略會比較好，當教師使用不夠好的教學策略時，學生的學習策略也不夠好。在后繼的相關研究中我們發現，依賴的策略更多地與淺層次的策略有關。我們在研究中發現，這種情況在中國的學生中較為普遍。

五、建立方法多樣和定量與定性相結合的數學學習評價體系

構建《標準》背景下的數學評價方案的一個重要方面是建立方法多樣和定量與定性相結合的數學學習評價體系。評價方案從評價的方式上來說，存在定量和定性兩種情況。定量評價的范式，試圖用自然科學的實證主義的方法，用數量單位為標準對評價對象作出判斷。定性的評價則是用自然主義的方法對評價對象的性質和狀態作出分析與評價。從評價的目標來說，也存在著多個方面。在數學教育中，學習結果包括知識與技能、數學思考、解決問題與情感態度等方面。對學生進行評價時，應把教師評價與同伴互評和家長評價相結合。對學生學習情況的評價應注意多種形式相結合，采用課堂觀察、課后訪談、作業分析、操作、實踐活動等形式。教師在評價學生學習時，應讓學生開展自評和互評，而不僅局限于教師對學生的評價，也可以家長和社區有關人員參與評價。評價的手段和形式應當多種多樣，既可以用書面考試、口試、活動報告等方式，也可用課堂觀察、課后訪談、作業分析、建立學生成長記錄袋等。

用不同的方法評價學生不同的學習結果也成為世界數學教育改革的一個重要特點。2000年頒布的《美國數學課程標準》提出了要用不同的方法評價不同的目標達成情況，如“用簡單的解答題和選擇題進行小測驗，能測查學生應用程序性知識的情況。用解答題或操作題可以很好地表明學生把數學應用于復雜或新情境的能力。課堂觀察和對話能了解學生的思維。用反思性日記和收集代表作能了解學生的思維，教師能夠考察學生在這段時間內思維與推理能力的變化”［8］。如何建立方法多元、目標多元的數學教學評價體系，對分層評價的實施十分重要。

建立多元方法，關鍵是要把方法和目標對應起來，用合適的方法評估不同目標。Lange根據數學教學內容把評價目標分成三個層次［9］。第一層次是低層次評價。在這一層次中，評價主要表現為傳統的數學考試的方法，關注的是學生是否掌握數學概念的定義、操作性技能和標準化的算法。第二個層次稱為中級層次評價。這一層次的評價是要了解學生能否把兩個以上的概念或者方法聯系起來，關注的是學生在數學知識方面建立聯系、整合以及解決問題。第三個層次是高層次的評價。這一類評價目的在于涉及更復雜的高層次的思維：數學思維、交流、反思、創造性、概括能力和數學化。Lange的三個層次的評價理論為數學知識分層評價架構提供了重要基礎。

《標準》指出：“在呈現評價結果時，應采用定性與定量相結合，以定性描述為主的方式。定量評價可采用等級制的方式。定性描述可以采用評語的形式，更多地關注學生已經掌握了什么，獲得了哪些進步，具備了什么能力。使評價結果有利于樹立學生學習數學的自信心，提高學生學習數學的興趣，促進學生的發展。”定性描述是以陳述方式給出的“被評價者數學學習的認知與非認知特點，以及需要進一步從事的數學學習活動”等對學生學習成效的描述，它的基本形式是評語。通過描述的語言，簡明地敘述被評價對象的學習過程以及結果。定性的描述性評價要求語言力求簡明扼要、具體，避免一般化，盡量使用鼓勵性的語言，客觀、較為全面地描述學生的學習狀況，充分肯定學生的進步和發展，同時指出學生在哪些方面具有潛能，哪些方面存在不足。定性的描述性評價方式有利于幫助學生樹立學習數學的自信心，提高學習數學的興趣，明確自己努力的方向，促進進一步的發展。學生在閱讀了這個評語之后，獲得的是成功的體驗和學好數學的自信心，同時也知道了自己在哪些方面存在不足，明確了自己今后繼續努力的方向。

（作者單位：華東師范大學課程與教學系）

［1］張奠宙等.代前言—數學素質教育設計（草案）［M］.載張奠宙等（編）.《數學教育研究導引》，1-5.南京：江蘇教育出版社，1994.

［2］劉學智.論評價與課程標準一致性的構建：美國的經驗［J］.全球教育展望，2006年第9期，36-37.

［3］Biggs，J.B.Assessing Learning Quality: Reconciling Institutional，Staff and Educational Demands.Assessment&Evaluation inHigh Education，1996.

［4］Biggs，J.B.&Collis，K.F.Evaluatingthe Quality of Learning:The SOLO Taxonomy.New York: Academic Press Inc，1982.

［5］Becker，J.P.The Open-ended Approach: Anew proposal for teachingmathematics.Reston: National Council of Teachers of Mathematics，1997.

［6］Becker，J.P.，Shimada，S.The Open-ended Approach:A new proposal for teaching mathematics. Reston，Virginia:National Council of Teachers of Mathematics，1997.

［7］California State Department of Education. A Question of Thinking:A first look atstudents' performance on open-endedquestions in mathematics. Sacramento:California State Department of Education，1989.

［8］全美數學教師理事會.美國學校數學教育原則和標準［M］.蔡金法等譯.北京：人民教育出版社，2004.

［9］Lange，D.Assessment:No change without problems.InT.A.Romberg（Ed.）.Reformin School Mathematics and Authentic Assessment. Albany:State University of New York Press，1995.

華東師范大學教育學部教授、博士生導師，教育部人文學科重點研究基地課程與教學研究所專職研究員。擔任國家數學課程標準實驗教材數學（1～6年級）（北京師范大學出版社出版）主編，教育部首批國培計劃專家庫成員。國家義務教育數學課程標準（實驗稿）研制組核心成員，參與國家教育質量監控（數學學科）的研究工作。研究成果曾獲教育部和上海市教育科研成果獎。主持和參與多項國家級和省部級研究課題。研究方向為小學數學教育，數學課程與教學、課堂教學理論與策略研究等。出版學術著作10余部，發表學術論文數十篇。