結構和材料參數對一類可壓縮超彈性圓柱管翻轉變形影響

趙 　 巍，　袁 學 剛*，　張 洪 武

( 1.大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室, 遼寧 大連　116024；2.大連民族大學 理學院， 遼寧 大連　116600 )

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結構和材料參數對一類可壓縮超彈性圓柱管翻轉變形影響

趙 巍1,2，袁 學 剛*1,2，張 洪 武1

( 1.大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室, 遼寧 大連116024；2.大連民族大學 理學院， 遼寧 大連116600 )

摘要：翻轉管作為一種理想的防碰撞吸能元件在工程設計、航空航天等領域有著很廣泛的應用．研究了由一類可壓縮超彈性材料組成的薄壁圓柱管的翻轉有限變形問題，并將其歸結為求解一類二階非線性常微分方程邊值問題．由于無法得到該邊值問題的解析解，并且傳統的數值求解方法也不適用，提出一種改進的打靶法對其進行有效數值求解，并分析解的定量行為．數值結果顯示翻轉后圓柱管厚度和軸向伸長率隨著初始厚度的增大而增大，且圓柱管處于壓縮狀態；軸向伸長率隨著泊松比的增大而減小．此外，還與不可壓縮材料的圓柱管翻轉問題進行了對比．

關鍵詞：可壓縮超彈性材料；圓柱管；翻轉；改進打靶法

0引言

翻轉，即由內向外翻轉或者由外向內翻轉，可以認為是一種可控行為，翻轉管作為理想的能量吸收元件，在工程設計、航空航天等領域得到了廣泛的應用．利用翻轉管技術制造零件具有工藝簡單、工序少、成本低、使用可靠、輕量化等一系列優點．1966年，美國宇航局使用翻轉管作航天飛行器軟著陸的保護吸能裝置，相關內容見文獻[1]．

關于超彈性材料組成的圓柱管翻轉問題的理論研究首先是由Rivlin[2]和Chadwick等[3]進行的，作者主要討論管翻轉后仍保持圓柱形的假設下翻轉解的存在性和唯一性．但是對于不同材料及不同結構，翻轉問題的力學行為是多種多樣的．對于不可壓縮材料，Haughton等[4]考慮由一類Ogden材料組成的不可壓縮超彈性圓柱管的翻轉有限變形問題，并研究了初始厚度為參數時，翻轉解的穩定性．作者發現薄壁圓柱管翻轉后仍為圓柱形，厚壁圓柱管翻轉后會出現分岔．趙巍等[5]研究由一類橫觀各向同性不可壓縮neo-Hookean材料組成的翻轉圓柱管的有限變形問題．作者揭示了初始厚度對有限變形的影響，并且討論了徑向橫觀各向異性參數對軸向伸長率的影響．一般地，對于不可壓縮材料，由不可壓縮條件和積分變換可以得到翻轉問題的解析解．Haughton等[6]發現當材料滿足Blott-Ko不等式時，對于任意厚度的球殼都存在唯一的球對稱翻轉解，并且理論上討論了圓柱管和球殼翻轉問題的相似點和不同點．然而對于可壓縮材料，解析解的存在性嚴格依賴于應變能函數的形式．Carroll等[7]研究一系列可壓縮材料結構體有限變形的封閉形式的解，其中也得到了在不考慮邊界條件和端部條件的情況下，關于Blatz-Ko材料組成的圓柱管和球殼翻轉問題的封閉形式解．Haughton和Orr[8]考慮了幾類各向同性可壓縮超彈性厚壁圓柱管的翻轉問題，得到了對于Varga材料，只能利用數值模擬，定量分析翻轉解的行為．Haughton和Chen[9]利用WKB方法研究由Varga材料組成的翻轉圓柱管和球殼的分岔行為，得到詳細的分岔準則．Haughton[10]考慮了近似可壓縮超彈性厚壁圓柱管的翻轉問題，主要研究充分厚的圓柱管翻轉后的有限變形以及相對薄的圓柱管的失穩問題．上述翻轉問題都可以歸結為一類非線性常微分方程邊值問題．問題的非線性，增加了求得解析解的難度．Zhao等[11]研究由一類特殊的可壓縮材料組成的圓柱管的翻轉問題，得到該問題的精確解．作者利用數值模擬，揭示材料參數和初始厚度對翻轉后的軸向伸長率和內外半徑的影響．上述翻轉問題都可以歸結為一類二階非線性常微分方程邊值問題．但由于可壓縮材料的特殊性，能夠通過傳統方法求得的翻轉解析解很有限，所以利用數值方法求解此類問題、分析解的定量行為就顯得尤為重要．

本文的目的是將薄壁可壓縮超彈性圓柱管翻轉問題的數學模型歸結為二階非線性常微分方程和相應的邊界條件問題，利用一種改進的打靶法求解，并利用數值模擬，分析該翻轉解的定量性質，討論初始厚度和材料參數對結構翻轉有限變形的影響．

1控制方程和邊界條件

假設翻轉前后的圓柱管在柱坐標系下的初始構形、現時構形以及在軸對稱變形假設下的變形模式分別為

0

(1)

0

(2)

r=r(R)，θ=Θ，z=-λZ

(3)

式中：r(R)為翻轉后的半徑，λ為軸向伸長率，且a=r(B)，b=r(A)．

伸長張量主值、Cauchy應力主值以及簡化后的平衡微分方程如下：

λ1=-r′，λ2=r/R，λ3=λ

(4)

Jσii=λiWi(i=1，2，3，不求和)

(5)

Rr″W11+(λ1+λ2)W12-W1-W2=0

(6)

式中：r′=dr/dR，Wi=?W/?λi，Wij=?2W/?λi?λj(i，j=1，2，i≠j)．對于可壓縮材料，由J=λ1λ2λ3>0可知r′<0．

C1(j1-3)+C2(j2-3)+C3(j3-1)

(7)

其中j1=i1，j2=i2/i3，j3=i3；C1、C2和C3是材料常數，有如下定義：

其中μ和υ是在無窮小變形下的剪切模量和泊松比，μ>0，0<υ<1/3．作者研究了關于此類可壓縮材料組成的球體的空穴分岔問題．本文擬研究此類可壓縮超彈性材料組成的圓柱管翻轉有限變形問題．

由于翻轉后圓柱管內外表面無應力，得到邊界條件

σ11(a)=σ11(b)=0， 0≤θ≤2π， -λL≤z≤0

(8)

假設端部合力為零，近似平均端部條件為

(9)

2數值求解及算例

將式(7)代入方程(6)及邊界條件(8)和(9)，得到下面方程：

(10)

(11)

(12)

(13)

將式(13)代入方程(10)～(12)，并利用Ci(i=1，2，3)的表示式，可得

r′(A)=-{[r(A)2-r(B)2+A2-B2]/

[r(A)2-r(B)2+(A2-B2)×

(λ-2+(λ-λ-1)r(A)/A)]}1/2；

r′(B)=-{[r(A)2-r(B)2+A2-B2]/

[r(A)2-r(B)2+(A2-B2)×

(λ-2+(λ-λ-1)r(B)/B)]}1/2

(14)

顯然，方程(14)構成了一個典型的二階非線性常微分方程邊值問題．經典的打靶法是利用一個邊界條件和微分方程聯立，將問題化為初值問題進行求解，然后再通過另一個邊界條件修正，從而得到達到精度要求的數值解．而邊值問題(14)的邊界條件非常規，是關于翻轉后內、外半徑以及軸向伸長率三者之間的關系式，所以經典打靶法不適用．本文提出一種改進的打靶法，其主要思想是先給定兩個變量，利用第一邊界條件和微分方程聯立，運用四階龍格-庫塔方法，得到第三變量，修正上述變量中的一個；同時利用第二邊界條件和微分方程聯立，運用四階龍格-庫塔方法，得到另一個第三變量，從而修正另一變量．這樣，通過兩次修正得到關于翻轉后內、外半徑以及軸向伸長率三者之間的關系．數值上討論了結構參數和材料參數對有限變形的影響，參見圖1～3，其中δ=A/B，η=a/b．

圖1揭示了初始厚度對圓柱管翻轉后厚度的影響．由圖1(a)可見，對于給定的υ，翻轉厚度η隨著初始厚度δ的增加而增大，而泊松比υ對變形厚度的影響不大；圖1(b)是局部放大圖．對比趙巍等[5]研究的不可壓縮材料組成的翻轉圓柱管的有限變形問題，發現初始厚度對圓柱管翻轉后厚度的影響是類似的．

(a) η - δ

(b) 局部放大

圖1不同υ下的η-δ曲線

Fig.1Curves ofηversusδfor various values ofυ

圖2揭示了軸向伸長率和翻轉前后圓柱管厚度的關系．由圖可見，軸向伸長率λ隨著厚度的增加而增大，隨著泊松比的增加而減小，且λ<1．即圓柱管處于壓縮的狀態．進一步地，可以看出翻轉后圓柱管的厚度變小，這與不可壓縮材料在變形過程中的狀態改變是不同的．

圖3揭示了不同υ下的應力分布．容易看出翻轉后圓柱管的內部σ11<0，圓柱管表面σ11≤0，這與邊界條件相吻合．σ22和σ33隨著翻轉后半徑的增加而增大．應力的性質與文獻[7]中的可壓縮材料的相應性質相似．而且，可以看出泊松比υ對于翻轉后應力的影響不大．

圖2　不同υ下δ，η-λ曲線

圖3　不同υ下的應力分布

3結語

本文得到了由一類可壓縮超彈性材料組成的薄壁圓柱管翻轉有限變形邊值問題的數值解：

(1)初始厚度δ越大，翻轉后圓柱管厚度η越大；

(2)初始厚度δ越大，軸向伸長率λ越大，且圓柱管處于壓縮狀態；

(3)泊松比越大，軸向伸長率λ越小．

與文獻[11]中所考慮的可壓縮材料(可求得翻轉精確解)相比，可以發現初始厚度、軸向伸長率以及翻轉后厚度之間的關系具有比較類似的性質．與此同時，與文獻[5]中考慮的不可壓縮材料相比，翻轉變形前后圓柱管厚度的關系相類似．

本文考慮的是穩定狀態下圓柱管翻轉后的有限變形問題．針對可壓縮材料，通過比較，證明了改進的打靶法的有效性．這也為解決其他可壓縮材料組成的結構體的翻轉問題提供了一種方法．在此基礎上，后續可以考慮利用增量方程的方法研究翻轉失穩問題，討論導致失穩的控制參數的臨界值．

參考文獻：

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文章編號：1000-8608(2016)04-0331-04

收稿日期：2015-12-10；修回日期: 2016-05-28．

基金項目:遼寧省教育廳省高校優秀人才支持計劃資助項目(LR2012044)；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(DC201502050203).

作者簡介:趙 巍(1982-)，女，博士生，E-mail: zhaowei1982122@126.com；袁學剛*(1971-)，男，教授，E-mail:yxg1971@163.com；張洪武(1964-)，男，教授，E-mail:zhanghw@dlut.edu.cn.

中圖分類號：O343.5

文獻標識碼：A

doi:10.7511/dllgxb201604001

Influences of structure and material parameter on everted deformation for a cylindrical tube composed of compressible hyperelastic materials

ZHAOWei1,2,YUANXue-gang*1,2,ZHANGHong-wu1

( 1.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2.School of Science, Dalian Nationalities University, Dalian 116600, China )

Abstract：The everted tubes, which can be regarded as an ideal anti-collision energy absorbing component, are widely applied to engineering design, aerospace and many other fields of real life. The problem of finite deformation is examined for a thin-walled everted cylindrical tube composed of a class of compressible hyperelastic materials, and then it is described as a class of boundary value problems (BVPs) of a certain second-order nonlinear ordinary differential equation (ODE). Since the exact solution can not be obtained, and the classical numerical methods are not suitable, a modified shooting method is proposed to solve this class of BVPs effectively, and the quantitative behaviors of the solutions are analyzed. The numerical results reveal the thickness and the axial stretch rate of the everted cylindrical tube increase with the increasing initial thickness, and the cylindrical tube is in the state of compression; the axial stretch rate decreases with the increasing Possion′s ratio. Moreover, the obtained conclusions are also compared with those for the incompressible cases.

Key words：compressible hyperelastic material; cylindrical tube; eversion; modified shooting method