嘗試　聯想　發現
——從一道題的多解談起

王國榮

（浙江省義烏第二中學）

嘗試聯想發現
——從一道題的多解談起

王國榮

（浙江省義烏第二中學）

蘇霍姆林斯基說：“在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者?！钡聡逃业谒苟嗷菡f：“一個好的教師應該教人去發現真理。”數學教學的核心就是要教會學生怎樣分析問題，怎樣探索解題思路。無論是新授課還是習題課，教師講題始終要堅持分析地講，要充分暴露解題途徑的尋找過程，“為什么要這樣做”比“這樣做”更重要，并注重優化，注意反思，突出題目的本質，優化解題過程與方法，逐步培養學生思維的靈活性、深刻性和創造性，提升學生的思維品質。下面筆者從一道題出發，對它進行多角度的思考和挖掘，以求拓寬學生思維的廣度和深度。

一、常規解法

分析1想到求函數最值，最容易想到的是利用單調性。但這個函數中，第一部分是減的，第二部分是增的，整個函數究竟是減還是增？

本題利用單調性求最值，首先要求出導數，再求出單調區間，最后利用單調性求出最值。思路清晰，但是運算量較大，費時且較易出錯。

分析2注意到4-x+x+5=9，而且右邊是非負的，因此可以通過兩邊平方把右邊的兩個根號減少為一個，轉化為熟悉的二次函數最值問題再解決。

一題多解要“見機行事”，一般通性通法要講，而且要著力落實。但多數高考題都有一個顯著特征：求解入手較寬。因此方法往往就呈多樣性，不同方法的選擇將會產生不同的解題效果。而我們都希望學生能在最短的時間內用相對較好的方法解決問題，這就需要在平時養成優化解法的習慣，著力于培養優秀的數學思維。

而數學是充滿聯想的，因此，數學解題教學應該引導學生對題目隱含條件或者結構特征進行分析，為學生解決問題提供“機會和可能”，教師適時給予學生必要的數學學習方法指導，培養學生思維的靈活性。

二、聯想遷移

聯想遷移是通過對同一表達式或問題的不同解釋，將參數視為常數、變數、未知數等多種角度，這樣就可以獲得各種解題方法。而每種方法都有它的思維切入點，一題多解，不僅豐富了解題思路，同時也使一些基本知識點、基本應用方法等得到了充分地展示，對于培養學生思維的靈活性會起到積極的影響作用。

在本題中注意到（4-x）+（x+5）=9，聯想a2+b2=9，可以利用不等式求最值、利用三角函數進行等價轉換、利用圓的方程轉化為解析幾何問題，再分別利用均值不等式、三角換元、數形結合等來解決它。

解法3利用基本不等式解題

解法4通過換元，把問題轉化為三角函數問題解決。

解法5利用圓的方程進行轉化

已知a2+b2=9，a≥0，b≥0求y=a+b的最大值。

從而可以得到多種解題思路。

思路2：利用直線與圓位置關系d≤r，可以求得ymax=3。

思路3：可以考慮利用數形結合解決。

如圖所示，可以求得ymax=3

三、思維拓展

解題教學中，有的問題有多種解題方法，有些解題方法新穎，解題思路獨特，多角度地分析和挖掘問題的解決方法，有利于開闊學生的思路，引導學生靈活地掌握知識的縱橫聯系，培養思維的靈活性。在本題中，我們還可以進一步進行思維拓展，構造出相應的式子解題。

解法6構造向量解題

可以看出當前電力系統在我國人民的日常生活中有十分重要的作用，因此很有必要增強電力系統運行的自動化和智能化程度，以更好滿足當前人民的使用需求?？梢酝ㄟ^試用各項電氣工程自動化技藝和電力設施，進一步增強電力系統的運行質量和運行效果，并且也為后期的維修和檢修工作提供了便利。與此同時，也極大地節省資金和人力資源的投入，對系統的發展有積極的促進作用。

解法7構造對偶函數

另外，還可以利用對稱性直觀處理，利用柯西不等式等多種方法解決本題。

變式該題可以從已知求證變，也可以從隱藏條件、式子結構進行變式。

該題的變式題可以設計出如下一些，供大家參考使用：

總之，在尋求解題思路時，要讓學生逐步學會怎樣分析、怎樣判斷、怎樣推理、怎樣選擇方法、怎樣解決問題，通過充分暴露解題的思維過程，使學生的思維與教師的思維產生共鳴，使教師的思維為學生的思維過渡到科學的思維架起橋梁，變傳授過程為發現過程。更重要的是在嘗試、探索、發現的過程中，把失敗的過程和失敗到成功的過程暴露出來，使學生看到轉變思維的方式、方法和策略，在體驗和領悟中提煉出思想和方法，并逐步形成用思想方法進行思維的習慣，碰到問題能自覺地“往這方面想”，提升解題能力。

一題多解可以培養學生從不同角度思考問題的能力，找出題目中不同的關建點，從不同的關鍵點發散出去，用不同的方法解決問題變式題更是學好數學的一件法寶，通過變換已知條件或所求結論，可以衍生出相類似但又不同的各種題目，讓學生在原題的基礎上逐步去拓展，既不會出現思維掉鏈，又能讓學生有發揮的空間。因此，讓學生思考一題多解可以增強學生對原題條件的運用能力和探究能力，而變式題可以提高學生的創新思維能力，幫助學生培養發散思維。在教學中，教師就應該多用這樣的方式來講解課本上的例題，充分利用好教學資源，為學生帶來更大的收獲。

·編輯溫雪蓮