基于增益分配的航天器高精度指向跟蹤控制

董天舒 何英姿,2

1.北京控制工程研究所，北京 100190 2.空間智能控制技術重點實驗室，北京 100190

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基于增益分配的航天器高精度指向跟蹤控制

董天舒1何英姿1,2

1.北京控制工程研究所，北京 100190 2.空間智能控制技術重點實驗室，北京 100190

研究剛體衛星的高精度大角度指向跟蹤控制問題。為保證姿態描述的全局性，由修正Rodrigues參數描述相對姿態。設計PD型姿態指向跟蹤控制器，可同時實現角度跟蹤和角速度跟蹤。為提高控制精度，同時避免控制輸出進入飽和域，本文在控制器的基礎上設計了增益分配律。通過數值仿真，在存在初始指向偏差和輸出飽和約束條件下，控制器可實現大橢圓軌道衛星對靜止軌道衛星的高精度姿態指向跟蹤。當轉動慣量存在常值誤差時，控制器仍然適用。 關鍵詞 姿態指向跟蹤；PD型控制；增益分配

在一些空間任務中，需要航天器對合作或非合作目標進行大角度指向跟蹤，例如進行監視、抓捕或者加注任務。其中難度較大的是大橢圓軌道衛星對靜止軌道衛星進行姿態指向跟蹤任務，在任務中衛星本體系X軸要實時指向靜止軌道上的目標衛星。由于兩星軌道交會時間短、視線方向變化大、變化快，衛星指向跟蹤過程需要進行大角度快速機動，對控制器要求具備高精度的大角度跟蹤和角速度跟蹤能力。

文獻[1-2]說明了非線性狀態反饋控制方法能實現剛體航天器姿態rest-to-rest 型機動控制。文獻[3]指出了利用期望姿態和航天器實際姿態的相對姿態建立的運動學和動力學方程，可將姿態跟蹤問題轉化為對相對姿態的調節問題。文獻[4]給出一種基于四元數的PD型控制器，可實現角度跟蹤和角速度跟蹤。文獻[5]針對剛體衛星受外力矩干擾時的姿態跟蹤控制問題，設計了在一定條件下相對姿態可全局漸進穩定的PD型控制器。文獻[6]對近地軌道小衛星的跟蹤控制問題進行了研究，對輸出力矩存在飽和約束，給出一個近似全局收斂的PD型姿態跟蹤控制器。文獻[7]針對剛體衛星，給出基于磁力矩器和單/雙反作用輪的PD型姿態跟蹤控制器。

本文在相對姿態運動學和動力學方程的基礎上，設計了PD型姿態指向跟蹤控制器，實現衛星大角度跟蹤和角速度跟蹤。由于控制輸出存在飽和約束，本文設計了增益分配律，可在提高控制精度的同時避免控制輸出進入飽和域。通過仿真表明，該控制器能實現大橢圓軌道衛星對靜止軌道衛星高精度姿態指向跟蹤，同時對轉動慣量常值誤差有很好的魯棒性。

1 問題描述

1.1 剛體衛星姿態運動學和動力學模型

本體系下，衛星姿態運動學方程為：

(1)

其中，C為衛星本體系相對慣性系的方向余弦矩陣，ω為衛星本體相對慣性系的角速度。(·)×運算定義為：

剛體衛星姿態動力學方程為：

(2)

其中,J為轉動慣量矩陣，Td為空間環境干擾力矩，uc為控制力矩。

1.2 指向跟蹤期望姿態描述

與姿態跟蹤不同的是，指向跟蹤中的期望姿態有明確的定義。根據任務要求，跟蹤衛星的本體X軸要實時指向目標衛星，首先在軌道系下定義指向方位角α和仰角β。

圖1 期望姿態的定義

圖1中,Ooxoyozo系為衛星的第二軌道坐標系，zo軸由衛星質心指向地心，xo軸在軌道平面內與zo軸垂直并指向衛星速度方向，yo軸與xo和zo軸右手正交并垂直于軌道平面的法線；rbt為由衛星質心指向目標衛星質心的單位向量；方位角α為rbt在xoOozo平面上的投影與xo軸的夾角，仰角β為rbt與rbt在xoOozo平面上的投影之間的夾角。

指向跟蹤期望姿態可通過2次主軸轉動得到，方向余弦矩陣Cro：

(3)

相對慣性系的期望角速度可表示為

(4)

其中，ωo為衛星第二軌道系相對慣性系的角速度。

1.3 相對姿態運動學和動力學模型

描述相對姿態有多種方法，例如歐拉角法、四元數法、Rodrigues參數法和修正Rodrigues參數法(MRPs)。但是，歐拉角法在姿態轉角為π/2時，存在奇異點，不適用于描述相對姿態大范圍變化的情況；四元數法不存在奇異點，有很好的全局性，但在SO(3)空間內不連續，可能引起unwinding現象[8]；Rodrigues參數在姿態轉角為π時，存在奇異，同樣不適用于描述相對姿態大范圍變化的情況。MRPs是剛體姿態近似全局的最小描述方法，不存在四元數的單位約束條件，易于實現。其在姿態轉角為2π時存在奇異，在實際應用中相對姿態不容易達到這一點，可認為是近似全局的，因此本文采用MRPs描述相對姿態。定義MRPs：

(5)

其中，q0，qi(i=1,2,3)為四元數參數。

方向余弦矩陣表示相對姿態，可表示為：

(6)

式中,Cbo為衛星本體系相對軌道系的方向余弦矩陣，δσ為由MRPs描述的相對姿態。根據MRPs定義，δσ與四元數[δq0,δqv]有如下關系：

(7)

式(7)等號兩側對時間求導數

(8)

(9)

δω為航天器角速度誤差，定義為：

δω=ω-Cbr(δσ)ωri

(10)

其中，ω為衛星本體相對慣性系的角速度，ωri的定義參見式(4)。

將式(7)和(9)帶入式(8)，可得到相對姿態運動學方程：

(11)

式(10)等號兩側對時間求導數，有

式(12)等號兩側乘以衛星轉動慣量矩陣J，再將式(2)帶入式(12)，可得到相對姿態的動力學方程：

JCbr(δσ)ωri-J(Cbr(δσ)ωri)×δω-

(13)

2 姿態指向跟蹤控制律設計

2.1 輸出飽和約束

考慮到衛星能提供的輸出力矩是有限的，為貼近實際情況，這里對控制力矩設定飽和約束條件。控制力矩uc在本體系下表述為：

(14)

其中,ucx，ucy和ucz為投影在本體系主軸上的控制力矩，統一表示為uci,i=x,y,z。

輸出飽和約束可表示為：

(15)

2.2PD型控制器設計

本節設計了PD型控制器，并嚴格證明控制器可使相對姿態δσ和相對角速度δω漸進穩定。式(15)可見，輸出力矩的飽和約束為強非線性，本節假設控制器輸出是在線性域內。參考文獻[4]的PD型控制器設計思路，定義中間變量ωc和ωt,

(16)

其中，kv,kp為正實數。

ωt定義為：

(17)

假設ωt滿足以下條件：

(18)

為使ωt滿足式(18)條件，將式(17)等號兩側乘以轉動慣量J并對時間求導，有

(19)

并將式(11)和(13)帶入式(19)，可得到控制律uc為

(20)

下面利用Lyapunov理論證明控制器(式(20))可使相對姿態δσ和相對角速度δω漸進穩定。選擇Lyapunov函數為：

(21)

式(21)等號兩側對時間求導數，并將式(11),(17)和(18)代入，有

(22)

(23)

(24)

證畢。PD型控制器可使相對姿態δσ和相對角速度δω漸進穩定，說明控制器能夠實現姿態指向跟蹤。

3 增益分配律

當航天器指向跟蹤存在初始指向偏差時，若控制器參數kp和kv的取值較大，控制輸出會進入飽和域；如果控制器參數選取的數值較小，使控制輸出保持在線性域內，當指向跟蹤穩定后，控制器又難以敏感小角度偏差，無法實現高精度的指向跟蹤。為解決這一矛盾，本文設計了增益分配律：

(25)

其中，t0，tt為增益切換時刻，(kv 0,kp0)和(kvt,kpt)分別為初始控制參數和穩態控制參數。

通過初始控制參數(kv 0,kp0)的選取，可實現初始指向誤差的收斂，并且避免控制輸出進入飽和域；通過穩態控制參數(kv t,kpt)的選取可實現指向跟蹤進入穩態后高精度指向跟蹤。增益分配律則提供了控制參數從(kv0,kp0)到(kvt,kpt)的途徑，保證在參數切換過程中閉環系統穩定，同時控制輸出在過程中不發生跳變，這一結論可通過仿真證明。

4 數值仿真

4.1 仿真參數

為驗證控制器的有效性，利用Simulink軟件搭建閉環系統，對大橢圓軌道衛星(跟蹤星)指向跟蹤靜止軌道衛星(目標星)進行數值仿真。下面給出仿真中的關鍵參數。

跟蹤星和目標星軌道要素如表1。

表1 衛星軌道要素

跟蹤星轉動慣量矩陣為：

為驗證控制器的魯棒性，設定轉動慣量誤差陣δJ，主軸誤差取1%：

跟蹤星初始角速度ω(0)設為0，初始姿態由初始指向偏差設定，初始指向偏差為：初始方位角α0=2°，初始仰角β0=1°。控制器飽和約束設定為：ucimax=60N·m,ucimin=-60N·m,i=x,y,z。

控制器參數kv與kp的對應關系見圖2(a)，kv隨時間的變化曲線見圖2(b)。

圖2 控制器參數變化曲線

4.2 仿真結果及分析

仿真結果可見圖3～9。圖3為跟蹤星與目標星相對距離隨時間的變化曲線。圖4為期望姿態、期望角速度曲線。從圖3和4中可見兩星交會時間很短，從初始時刻到兩星距離10km處僅65s，整個指向跟蹤過程僅130s，在整個跟蹤過程中，期望姿態的變化在俯仰軸方向有范圍大、變化快的特點。

圖5為由修正Rodrigues參數描述的相對姿態的變化曲線。圖6為相對角速度變化曲線。圖7為跟蹤過程中控制力矩輸出曲線。由圖5～7可見，存在初始指向偏差和輸出飽和約束的條件下，控制器能實現大橢圓軌道衛星對靜止軌道目標衛星的指向跟蹤，相對姿態δσ和相對角速度δω可在20s內收斂，說明控制器具有良好的跟蹤性能。通過增益分配律的設計，控制輸出力矩沒有進入飽和域，并且始終為平滑曲線。

圖3 大橢圓軌道衛星與目標星相對距離曲線

圖4 期望姿態及期望角速度曲線

為比較不同控制器的控制精度，在相同仿真環境內對文獻[4]中的“PD+型姿態跟蹤控制器”進行仿真，并與本文設計的控制器仿真結果對比，見圖8，“PD+”表示文獻[4]的仿真結果，“MRP”為本文設計的控制器的仿真結果。定義指向夾角ε為衛星本體X軸與rbt(見圖1)的夾角，由ε衡量指向跟蹤精度。從圖8(a)可見，兩種控制器均能實現指向跟蹤，初始指向誤差收斂并一直保持；圖8(b)為ε的放大圖， 40s后本文設計的控制器的跟蹤精度可達到2″，可見在精度上要明顯優于“PD+”控制器。

為貼近實際情況，考慮航天器質量會發生變化，對無慣量誤差、1倍、6倍、10倍、20倍、30倍、40倍和50倍慣量誤差δJ的情況進行仿真。由圖9可見，盡管指向夾角ε隨慣量誤差的增大而降低，但仍可進行角秒級精度的指向跟蹤控制，說明指向跟蹤控制器仍然適用。

圖5 相對姿態曲線

圖6 相對角速度曲線

圖7 控制輸出曲線

圖8 不同控制律的指向夾角曲線和放大圖

圖9 不同慣量誤差指向夾角放大圖

5 結論

采用修正Rodrigues參數描述相對姿態，給出一種可實現角度跟蹤和速度跟蹤的PD型姿態指向跟蹤控制器，并應用Lyapunov理論嚴格證明相對姿態和相對角速度漸進穩定。對控制中經常遇到的輸出飽和約束問題，本文設計了增益分配律，可在提高精度的同時避免控制器輸出進入飽和域。仿真結果表明，在存在初始指向偏差和飽和約束的情況下，該控制器能實現大橢圓軌道衛星對靜止軌道衛星高精度姿態指向跟蹤，穩態跟蹤精度達到2″。當存在慣量誤差時，控制器仍能實現高精度指向跟蹤。

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A High Precision Attitude Pointing Tracking Control for Spacecraft Based on the Gain Schedule

Dong Tianshu1, He Yingzi1,2

1. Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190, China 2. Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory, Beijing 100190, China

Itisinvestigatedthatthehighprecisionandlargeangleofattitudepointingtrackingcontrolproblemforrigidspacecraftinthispaper.Forensuringtherepresentationofattitudeisgloballydefined,weusethemodifiedRodriguesparameterstorepresenttherelativeattitude.AkindofPDtypeattitudepointingtrackingcontrollerisdeveloped,whichcanguaranteetherelativeattitudeandrelativeangularvelocitybeasymptoticallystable.Furthermore,akindofgainscheduleisdesignedtoimprovetheaccuracyofcontrolandavoidthesaturationlimits.Numericalsimulationresultsthatthecontrolalgorithmisabletokeepthehigheccentricobitsatellitepointingtrackingthegeostationarysatelliteunderthesituationofexistinginitialpointingerrorandthesaturationlimits.Thecontrolalgorithmperformsrobustness,duringchangingofsatelliteinertiamatrix.

Attitudetrackingcontrol; PDtypecontrol;Gainschedule

2015-06-18

董天舒(1991-)，男，北京人，碩士研究生，主要研究方向為航天器控制技術；何英姿(1970-)，女，湖南人，博士，研究員，主要研究方向為航天器制導、導航與控制系統方案設計。

V448

A

1006-3242(2016)01-0050-07