基于描述函數法的航天器非儲能噴氣控制器分析與設計*

鄧 雅 張錦江 馬艷紅,2 蔡 彪

1.北京控制工程研究所, 北京100190 2.空間智能控制技術重點實驗室, 北京100190

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基于描述函數法的航天器非儲能噴氣控制器分析與設計*

鄧 雅1張錦江1馬艷紅1,2蔡 彪1

1.北京控制工程研究所, 北京100190 2.空間智能控制技術重點實驗室, 北京100190

針對航天器噴氣發動機模擬式控制器中的非儲能型非線性控制系統進行分析設計。以Schmitt觸發器環節為例，基于描述函數法計算極限環交點，并利用系統穩態輸出，得到穩態極限環特性，計算描述函數意義下極限環頻率誤差界，給出控制器參數整定方法。通過仿真實例驗證該方法通用、有效，為工程應用提供參考。 關鍵詞 噴氣控制; 描述函數法; 非線性環節; Nyquist圖

作為航天器上重要的執行機構之一，噴氣發動機(或稱推力器)能夠提供較大的控制力矩，但通常只有開和關兩種狀態，使得控制輸出不連續，是一類典型的非線性系統，其控制器的分析和設計存在較大難度。

按照噴氣控制器的類別，可分為模擬式控制器與數字式控制器[1]。其中模擬式控制器主要以Schmitt觸發器為基本組件，附加校正環節，結構簡單，性能可靠，可采用模擬電路實現，是早期航天器控制的主要實現方式。在此基礎上，依據附加校正環節的不同，通常有PWPF(Pulse-Width Pulse-Frequency)調制器、PRM(Pseudo-rate Modulator)調制器等[2]。文獻[3]給出幾類調制器的結構及靜態特性，所得結果可以為控制器的設計提供參考。數字計算機出現后，數字式控制器應運而生，例如相平面控制器[4-5]，效率提升的同時也增加了復雜程度。文獻[6-9]分別給出了航天飛機和國際空間站俄羅斯艙段的反作用噴氣相平面控制系統結構。然而，無論是模擬式還是數字式控制器均不可避免地引入了非線性環節，工程上處理非線性的一個重要方法是描述函數法，也稱諧波平衡法，由P. J. Daniel于1940年首先提出。文獻[10-12]介紹了NASA開發的基于描述函數法的INCA (Interactive Controls Analysis)軟件，該軟件基于描述函數的定義，給出了描述函數的數值辨識方法，可以用來輔助帶撓性附件航天器的噴氣控制系統的分析和設計。文獻[13]基于描述函數的數值辨識，分析相平面噴氣控制器的穩定性并評估穩定裕度。

由于計算的復雜性，目前針對基于描述函數法的研究大多局限于定性分析，設計上仍依靠經驗試湊法，急需一種更加精確實用的分析和設計方法。

本文考慮模擬式噴氣控制器，以Schmitt觸發器構成的系統為例，對非儲能型非線性控制系統進行分析設計。計算描述函數意義下的極限環交點，分析極限環穩態特性。繼而分析極限環頻率誤差，給出控制器參數調整方法。最后通過仿真實例進行驗證，該方法具有通用性，能夠為工程應用提供參考。

1 描述函數法

圖1為典型非線性系統框圖，其中G(s)為系統的線性環節，具有低通濾波特性，N(A)為系統的非線性環節。對于非儲能型的非線性環節，其描述函數是輸入正弦信號幅值為A的函數[14]，記為N(A)。

圖1 非線性系統框圖

該閉環系統的穩定性分析采用將-1/N(A)和G(jω)繪制在同一個Nyquist圖中，若G(jω)曲線不包圍-1/N(A)曲線，則非線性系統穩定；若包圍，則不穩定；若存在交點，則可能形成極限環，需要進一步根據運動方向分析穩定性[14]。根據系統特征方程

N(A)G(jω)+1=0

產生極限環的條件為

(1)

2 以Schmitt觸發器為例的非儲能非線性環節描述函數分析和設計

Schmitt觸發器是構成模擬式噴氣控制器的重要元素，具有典型的非儲能型非線性特性，根據前述基于描述函數法的分析和設計流程，本節以Schmitt觸發器構成的控制系統為例進行分析。

2.1Schmitt觸發器控制系統結構

Schmitt觸發器為帶有死區和滯環的典型非儲能非線性環節，結構形式如圖 2所示，其中，uon和uoff分別為Schmitt觸發器的開門限和關門限電壓，ui和uc分別為輸入和輸出電壓，輸入輸出函數關系[1]見式(2)。

圖2 Schmitt觸發器

(2)

由Schmitt觸發器及帶有速度反饋的超前校正網絡構成的系統結構如圖3所示。

圖3 帶有Schmitt觸發器的航天器控制系統

其中，I為航天器慣量，u為Schmitt觸發器輸出，Tc為額定控制力矩，τ為速率反饋增益。輸入θr為期望姿態角度，輸出θ為實際姿態角度。

2.2 基于描述函數的頻域特性分析

首先將Schmitt觸發器構成的控制系統變換為圖 1所示的標準形式，系統回路中線性部分

(3)

非線性部分為Schmitt觸發器，其描述函數具有解析表達式[14]

(4)

定義

huon-uoff

針對該系統，給出描述函數意義下極限環交點的解析表達式。

定理1 考慮如圖3所示的系統，其描述函數意義下的極限環交點為SDF(ADF,ωDF)

(5)

(6)

其中，ΔDF

ωDF為極限環頻率，ADF為極限環幅值，即姿態角穩態誤差幅值。

(7)

(8)

聯立方程組(7)的第2式和式(8)，消去ξ，可得關于ω的方程，由于ω為實數，取方程實根

其中，ΔDF

相應的極限環幅值為將ωDF代入方程組(7)的第2式解得

2.3 基于極限環分析的穩態性能計算

由于Schmitt觸發器結構簡單，穩態信號確定，根據文獻[8]給出的結論，直接利用其穩態極限環時域特性，可以得到精確的極限環的解ST(AT,ωT)，其中AT為極限環幅值，表示姿態控制精度，ωT為極限環頻率，即2π/P，P為極限環周期。

引理1 考慮如圖 3所示的系統，其穩態極限環特性為

(9)

(10)

ωT為極限環頻率，AT為極限環幅值。

(11)

如圖4所示，其穩態極限環左右兩端為拋物線，中間段為平行于橫軸的直線，開關線方程在圖中標出，狀態運動軌跡沿實線箭頭方向，ta，tb，tc，td為狀態切換時刻。

聯立拋物線和開關線方程，可得ta和td時刻對應開關點的縱坐標xa 2和xd 2，二者相等，可解得極限環幅值為

從而

即為姿態角速度控制精度。

將ta和td時刻對應開關點的橫坐標xa1和xd1作差，由tda，tbc階段為勻速運動，得

故極限環周期為

頻率為

圖4 Schmitt觸發器穩態極限環示意圖

2.4 基于描述函數法和極限環分析的輔助設計

在所得極限環特性基礎上，描述函數法可以用來為控制器設計提供幫助，根據圖 3可以分別畫出線性部分和非線性環節描述函數的Nyquist圖，易知該交點為穩定極限環交點。由于描述函數法為近似方法，存在一定的誤差，通過比較式(5)和式(9)，可給出下面的定理。

定理2 考慮如圖 3所示的系統，其在描述函數下所求得的極限環頻率與頻率真值存在誤差，誤差上界為

Δω=ωT-ωDF

誤差絕對值下界為

證明 利用式(5)和式(9)計算頻率誤差可得

(12)

得到極限環頻率誤差上界。

研究誤差絕對值的下界，利用Minkowski不等式的伴隨不等式：若r>1，則

等號成立條件為ab…l=0。于是，

由于不等號右邊均為正項，因而不存在取等式的情形。進一步化簡可得

于是，

為得到適當的控制器參數，可依據以下步驟進行基于描述函數法的Schmitt觸發器設計：

步驟1：將閉環系統中的線性部分整理為一個環節G(jω)；

步驟2：選取一組初始參數，根據式(5)和式(6)計算初始極限環頻率ωDF和幅值ADF，在同一個Nyquist圖中繪出此時的G(jω)和-1/N(A)，初始交點處的系統性能通常是可能引發共振的且不滿足指標要求的；

步驟3：在初始參數處分別計算?ω/?uon，?ω/?uoff和?ω/?τ，得到參數調節的方向；

步驟4：根據步驟3的結果對參數進行調節和數學仿真。

該方法給出的是針對Schmitt觸發器回路的設計，但具有較強的通用性，其他非儲能非線性環節可采用類似的方法進行基于描述函數方法設計。

3 仿真實例

本節將針對某航天器模型，采用Schmitt觸發器構成的控制回路，驗證上述非儲能環節的描述函數方法。

3.1 被控對象

以某帶有撓性附件的航天器為例，其傳遞函數模型可寫成：

(13)

給定模型參數如下：

α=0.15，ωa=-0.0023±0.45j，Ka=1。

3.2Schmitt觸發器仿真

給定初始Schmitt觸發器參數如下：

uon=0.7，uoff=0.3，τ=0.7。

根據定理1和定理2分別計算極限環頻率，可得

ωT=0.4298rad/s，ωDF=0.4281rad/s。

振蕩環節頻率ωa=0.45rad/s，即所形成極限環的交點與振蕩頻率非常接近。仿真結果如圖5所示。

圖5 Schmitt觸發器共振情形下仿真結果

通過仿真可以看出，由于極限環頻率與撓性固有頻率接近，引發了明顯共振現象，對系統性能產生較大影響，需要通過調節參數使極限環頻率遠離撓性固有頻率。

經計算

根據上述規則調節參數為

參數調整前后的系統Nyquist圖如圖6所示，在不改變穩定性的前提下，將交點向遠離撓性固有頻率方向移動，調整后的極限環頻率為

圖6 參數調整前后的系統Nyquist圖

調整后仿真結果如圖(7)所示。從仿真結果可以看出，將極限環頻率移走后，共振現象明顯減弱，穩態誤差不變，系統動態性能提升。

4 結論

基于描述函數法，研究了模擬式噴氣姿態控制系統的分析和設計問題。考慮能夠寫出解析表達式的非儲能非線性環節的描述函數，以Schmitt觸發器為例，聯立方程，可求得其與線性環節交點的解析表達式。進一步通過時域下穩態極限環的特性，可求得極限環精確解，將二者進行比較，給出了描述函數法的誤差界。在此基礎上，給出了控制器參數調節步驟和依據。最后，通過仿真實例，驗證了算法的有效性和實用性。

圖7 Schmitt觸發器非共振情形下仿真結果

本文論述的控制器分析和設計方法，具有一定的通用性，可適應大多數非儲能型非線性環節的分析。同時，文中的設計準則，給出了參數調整的依據和方向，改進了以往僅依據經驗的試湊，為工程應用提供了參考。

[1] 屠善澄. 衛星姿態動力學與控制[M]. 北京: 宇航出版社, 1998.

[2]NavabiM,RangrazH.ComparingOptimumOperationofPulseWidth-PulseFrequencyandPseudo-RateModulatorsinSpacecraftAttitudeControlSubsystemEmployingThruster[C]//RecentAdvancesinSpaceTechnologies.Istanbul:IEEE, 2013：625-630.

[3]AnthonyTC,WeiB,CarrollS.Pulse-ModulatedControlSynthesisforaFlexibleSpacecraft[J].JournalofGuidance,Control,andDynamics, 1990，13(6): 1014-1022.

[4]XiaXiwang,JingWuxing,LiChaoyong,GaoChangsh-

eng.Time-SharedSchemeDesignforAttitudeControlSystemDuringSpaceSeparation[J].AerospaceScienceandTechnology, 2011，15(2): 108-116.

[5]JangJW,PlummerM,BedrossianN,HallC,JacksonM.AbsoluteStabilityAnalysisofaPhasePlaneControlledSpacecraft[R].NASAM10-0025, 2010.

[6]YangL,GriffithE.Flex-ControllerInteractionDuringSpaceStationReboost[C]//ProceedingsoftheAAS/AIAAAstrodynamicsConference.SanDiego,California：AAS, 2003：1515-1531.

[7]BennettGJ,SebeliusKP,BarthAL,NguyenLH.ISSRussianSegmentMotionControlSystemOperatingStrategyduringOrbiterRepairManeuver[C]//AIAAGuidance,Navigation,andControlConferenceandExhibit.SanFrancisco,California:AIAA, 2005. 1-10.

[8]WieB.SpaceVehicleDynamicsandControl[M].AlexanderBellDrive,Reston,VA:AmericanInstituteofAeronauticsandAstronautics, 2008.

[9]KirchweyCB,SackettLL.StabilityoftheShuttleOn-OrbitFlightControlSystemforaClassofFlexiblePayloads[C]//AIAAGuidance,Navigation,andControlConference.Gatlinburg,TN:AIAA, 1983:128-141.

[10]DowningJP,BauerFH,ThorpeCJ.ASTEC:ControlsAnalysisforPersonalComputers[R].NASA90N23052, 1990.

[11]WieB,AnthonyT.AComputer-AidedApproachtoNonlinearControlSysthesis[R].NASANAS8-36224, 1988.

[12]BauerFH,DowningJP,ThorpeCJ.NewMultivariableCapabilitiesoftheINCAProgram[R].NASAN90-23049, 1990.

[13] 張國琪, 劉潔, 董文強, 何英姿.基于描述函數法的相平面噴氣姿態控制的穩定性分析[J]. 空間控制技術與應用, 2015, 41(1): 15-20. (ZhangGuoqi,LiuJie,DongWenqiang,HeYingzi.StabilityAnalysisofPhase-PlaneJetAttitudesControlSystemUsingtheDescribingFunctionMethod[J].AerospaceControlandApplication, 2015,41(1): 15-20.)

[14] 胡壽松.自動控制原理[M].第五版.北京: 科學出版社, 2007.

Analysis and Design of Nonstorage Jet Controller of Spacecraft Based on Describing Function Method

Deng Ya1, Zhang Jinjiang1, Ma Yanhong1,2, Cai Biao1

1. Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190, China 2. Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory, Beijing 100190, China

Tosolvethenonlinearelementprobleminjetcontrollerofspacevehicleactuators,describingfunctionisemployedtostudytheanalyzinganddesigningmethod.Asatypicalnonstoragenonlinearelement, Schmitttriggerisusedasanexampletogivetheanalyticalsolutionoflimitcycle.Accordingtothesteadystateoutputofthesystem,thecharacteristicsoflimitcyclearegiven.Toestimatetheaccuracyofdescribingfunction,errorboundsoffrequencyarecalculated.Atlast,themethodisverifiedfromnonlinearsimulations.

Jetcontrol;Describingfunction;Nonlinearelement; Nyquistdiagram

*空間智能控制技術重點實驗室基金(9140C590107130C59211)

2015-05-21

鄧 雅(1988-)，女，石家莊人，博士研究生，主要研究方向為航天器控制；張錦江(1973-)，男，黑龍江人，博士，研究員，主要研究方向為航天器控制、制導與仿真；馬艷紅(1980-)，女，山西人，博士，高級工程師, 主要研究方向為大型航天結構體的姿態控制和魯棒控制；蔡 彪(1980-)，男，山西人，高級工程師，主要研究方向為航天器導航、制導與控制系統設計和集成測試。

V448

A

1006-3242(2016)01-0064-06