面向可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化的響應(yīng)面偏差修正方法

詹振飛　楊俊祺　舒雅靜　楊仁杰

1.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，4000442.美國福特汽車研究院被動(dòng)安全部門，密西根州，美國，48124

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面向可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化的響應(yīng)面偏差修正方法

詹振飛1楊俊祺1舒雅靜1楊仁杰2

1.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，4000442.美國福特汽車研究院被動(dòng)安全部門，密西根州，美國，48124

在基于仿真的汽車設(shè)計(jì)中，針對響應(yīng)面模型普遍存在的精度不高的問題，研究了基于貝葉斯推斷的模型外推預(yù)測方法，提出了模型不確定性下基于偏差修正的模型外推及可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化方法，并通過一個(gè)汽車輕量化設(shè)計(jì)實(shí)例驗(yàn)證了所提方法的有效性。

響應(yīng)面；偏差修正；可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化；模型外推

0　引言

在基于仿真的汽車設(shè)計(jì)過程中，不考慮設(shè)計(jì)變量的不確定性將直接影響設(shè)計(jì)性能指標(biāo)的可靠性，從而不能滿足實(shí)際使用要求。因此，考慮仿真模型固有不確定性的可靠性設(shè)計(jì)技術(shù)至關(guān)重要?？煽啃栽O(shè)計(jì)優(yōu)化(reliability-based design optimization, RBDO)[1-3]方法是一種在參數(shù)化設(shè)計(jì)過程中考慮設(shè)計(jì)變量等不確定性因素及其對目標(biāo)和約束函數(shù)影響的一種設(shè)計(jì)優(yōu)化技術(shù)。可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化一般包括三方面內(nèi)容：質(zhì)量、成本與可靠度?？紤]各種不確定性因素對性能參數(shù)的影響，將可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化方法應(yīng)用到汽車設(shè)計(jì)過程中，既能保證產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)效益，又確保產(chǎn)品實(shí)際運(yùn)行中的安全可靠性。

在實(shí)際的優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，基于仿真模型的優(yōu)化迭代是優(yōu)化過程中的核心步驟。隨著有限元(finite element, FE)技術(shù)的迅速發(fā)展，基于高精度FE模型的設(shè)計(jì)成為各大汽車企業(yè)解決復(fù)雜設(shè)計(jì)問題的一種有效工具。然而，即使計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力不斷增強(qiáng)，通過高精度有限元模型進(jìn)行優(yōu)化仍然會(huì)花費(fèi)大量時(shí)間。此外，RBDO過程包含兩層嵌套循環(huán)，優(yōu)化迭代需要同時(shí)在設(shè)計(jì)域以及設(shè)計(jì)變量不確定性空間中進(jìn)行。將FE模型用于需要成千上萬次迭代的RBDO中顯得不切實(shí)際。

為了縮短開發(fā)時(shí)間，基于數(shù)學(xué)表達(dá)式的響應(yīng)面模型(response surface model,RSM)常被用于替代要求大量計(jì)算時(shí)間的有限元模型。多年來，學(xué)者們開發(fā)和改進(jìn)了多種RSM[4-6]。然而，無論采用哪種RSM建模技術(shù)，在實(shí)際FE模型和RSM之間始終會(huì)有偏差。特別是當(dāng)RSM模型用于外推來預(yù)測新設(shè)計(jì)時(shí)，偏差的影響尤其顯著。

模型更新方法不但可以量化數(shù)據(jù)不確定性大小，而且可以進(jìn)一步提高模型的預(yù)測能力。目前該方法在模型驗(yàn)證領(lǐng)域取得較快發(fā)展，已成為國內(nèi)外研究的前沿和熱點(diǎn)[7-17]。

目前，大多傳統(tǒng)基于RSM的RBDO未考慮來自于數(shù)值模型的不確定性，該RBDO過程在RSM能精確預(yù)測高精度FE模型輸出的假設(shè)下進(jìn)行。而在實(shí)際運(yùn)用中，若模型精度不高且受大量不確定性影響時(shí)，RBDO將難以得到可靠的優(yōu)化解。因此，在執(zhí)行RBDO尋優(yōu)前運(yùn)用模型更新技術(shù)對模型偏差進(jìn)行修正至關(guān)重要。

本文首先介紹基于貝葉斯推理的偏差修正方法，然后提出一種基于響應(yīng)面模型偏差修正的RBDO流程，最后通過一個(gè)汽車輕量化設(shè)計(jì)實(shí)例說明所提方法的有效性。

1　基于貝葉斯推理的偏差修正

Zhan等[11,18]綜合貝葉斯推斷理論的優(yōu)勢和響應(yīng)面模型的缺陷，提出了一種基于貝葉斯推理的模型外推預(yù)測方法。首先根據(jù)設(shè)計(jì)空間中的試驗(yàn)設(shè)計(jì)(design of experiment，DOE)矩陣運(yùn)行相應(yīng)的CAE仿真及響應(yīng)面仿真，二者之間的差作為偏差先驗(yàn)信息。得到先驗(yàn)分布后，基于貝葉斯推理預(yù)測偏差超參數(shù)(hyper-parameter)的后驗(yàn)分布。

令x表示設(shè)計(jì)變量，Yf和Ym分別代表FE和RSM模型輸出。ε表示隨機(jī)誤差，δ表示響應(yīng)面模型與FE仿真模型間的偏差。因此輸出的“真實(shí)值”，即Yture，等于FE仿真輸出值減去隨機(jī)誤差，同時(shí)也等于響應(yīng)面模型預(yù)測值加上模型偏差，表達(dá)式如下：

Ytrue=Yf(x)-ε(x)=Ym(x)+δ(x)

(1)

因此， Yf(x) 和Ym(x)之間的關(guān)系可進(jìn)一步描述為

Yf(x)=Ym(x)+δ(x)+ε(x)

(2)

在式(2)中，假設(shè)偏差τ(x)=δ(x)+ε(x)服從一個(gè)已知方差的正態(tài)分布:

(3)

θ～N(μ,σ2)

(4)

對偏差均值進(jìn)行正態(tài)分布的假設(shè)是出于兩方面的考慮。一方面，正態(tài)分布是一種常見且合理的偏差假設(shè)。特別是當(dāng)樣本數(shù)量足以滿足大數(shù)定律等要求時(shí)，觀測量常近似于正態(tài)分布。另一方面，在貝葉斯理論中，當(dāng)后驗(yàn)分布p(θ|x)與先驗(yàn)分布p(θ)為相同分布時(shí)，則稱先驗(yàn)分布與似然函數(shù)是共軛的，而正態(tài)分布是一種常見的有共軛性質(zhì)的分布類型。在該假設(shè)下，貝葉斯推斷過程難度將極大降低。因此，不論從合理性角度還是推導(dǎo)難度角度考慮，正態(tài)分布都是一種理想的假設(shè)。

根據(jù)貝葉斯理論，后驗(yàn)分布等于似然函數(shù)與先驗(yàn)分布p(θ)的乘積除以p(x)的全概率，表達(dá)式如下：

(5)

式(5)中分母全概率可寫作：

∫p(x|θ)p(θ)dθ=

(6)

其中，n表示在每一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)處的樣本數(shù)。從而根據(jù)共軛性質(zhì)，式(5)可進(jìn)一步表示為一個(gè)正態(tài)分布，表達(dá)式為

(7)

因此，θ后驗(yàn)分布可表示為

(8)

基于所得每一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)處的后驗(yàn)偏差分布，分別為預(yù)測偏差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差建立一個(gè)響應(yīng)面。得到外推域新設(shè)計(jì)的響應(yīng)面預(yù)測結(jié)果后，根據(jù)均值和方差響應(yīng)面計(jì)算偏差預(yù)測結(jié)果的置信度區(qū)間。結(jié)合原始低精度響應(yīng)面預(yù)測結(jié)果以及推斷所得的偏差預(yù)測區(qū)間，響應(yīng)面的預(yù)測能力得以提高。基于所得結(jié)果，決策者可以決定接受或者拒絕預(yù)測結(jié)果。如果接受則進(jìn)行進(jìn)一步的可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化。若預(yù)測結(jié)果被拒絕，則增加DOE樣本點(diǎn)重復(fù)此過程，直到得到好的預(yù)測結(jié)果[11]。

2　參數(shù)和模型不確定性下的RBDO

RBDO在考慮設(shè)計(jì)變量不確定性下獲取最優(yōu)設(shè)計(jì)方面有其獨(dú)特優(yōu)勢，因此在不確定性下優(yōu)化設(shè)計(jì)中被廣泛應(yīng)用。典型的RBDO數(shù)學(xué)公式定義如下：

min E[f0(X)]

s.t. P(fi(X)≤0)≥ai,i=1,2,…,k

其中，X為包含不確定性的輸入隨機(jī)變量，E[·]代表方程的期望，P(·)為概率，fi(x)為目標(biāo)函數(shù)，ai為可靠度。

然而，基于RSM的RBDO需要考慮來自于數(shù)值模型的不確定性，對模型偏差進(jìn)行修正，以得到可靠的優(yōu)化解。圖1為綜合考慮變量和模型不確定性的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)示意圖?；谄钚拚憫?yīng)面的RBDO流程始于對RBDO問題的定義，隨后構(gòu)建DOE矩陣，基于貝葉斯推理構(gòu)建的偏差模型用以修正原始RSM。然后，將修正的RSM用于RBDO優(yōu)化的迭代尋優(yōu)流程中，以求得到可靠優(yōu)化解。最后，基于FE模型進(jìn)行若干次蒙特卡羅仿真(Monte Carlo simulation，MCS)以驗(yàn)證優(yōu)化解的可靠性。如果所得優(yōu)化解滿足各性能指標(biāo)約束可靠度要求，則此尋優(yōu)過程完成，否則改善DOE矩陣，反復(fù)以上過程直到得到滿意結(jié)果。

圖1　可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)示意圖

3　實(shí)例分析：汽車前部結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

所提方法被應(yīng)用于一個(gè)需滿足碰撞安全性能的汽車輕量化設(shè)計(jì)實(shí)例之中。汽車輕量化設(shè)計(jì)被視為解決目前嚴(yán)峻能源危機(jī)及環(huán)境污染的有效方案之一。然而，輕量化設(shè)計(jì)絕不僅僅是汽車重量的減輕，它是一個(gè)系統(tǒng)性的多學(xué)科優(yōu)化問題。在車重減輕的同時(shí)需要保證其他性能，如汽車的耐撞性以及NVH(noise，vibration and harshness)性能等，不會(huì)惡化甚至得到一定的提升[19]。目前，通過兩種主要途徑可以實(shí)現(xiàn)汽車的輕量化設(shè)計(jì)。其一是輕量化材料的應(yīng)用。然而輕質(zhì)材料的成本以及工藝缺陷是阻礙其發(fā)展的最大障礙。另一種途徑是汽車結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，通過零部件的尺寸優(yōu)化最終實(shí)現(xiàn)車重減輕的目的。本文即是將所提優(yōu)化流程運(yùn)用于汽車前部結(jié)構(gòu)的優(yōu)化中，在保證汽車耐撞性的同時(shí)實(shí)現(xiàn)輕量化設(shè)計(jì)。在此，美國NCAC(national crash analysis center)的Ford Taurus模型用于驗(yàn)證本文所提方法的有效性。

正面碰撞是汽車耐撞性評估中最典型的一種碰撞方式。依據(jù)美國新車碰撞評估規(guī)程(new car assessment program，NCAP)標(biāo)準(zhǔn)，汽車以56.6 km/h的初始速度與剛性墻發(fā)生100%正面碰撞。該正碰模型已通過實(shí)車碰撞數(shù)據(jù)與仿真輸出間的比較得以驗(yàn)證。圖2所示為整車碰撞試驗(yàn)及CAE仿真變形情況。從比較結(jié)果可以看出有限元仿真與物理試驗(yàn)變形基本一致。因此，該FE模型在優(yōu)化設(shè)計(jì)中被視作實(shí)車試驗(yàn)的高精度替代模型，以在其基礎(chǔ)上進(jìn)行驗(yàn)證計(jì)算。

(a)實(shí)車

(b)有限元模型圖2　實(shí)車與有限元模型碰撞驗(yàn)證試驗(yàn)對比

該模型在擁有32個(gè)CPU的高性能計(jì)算機(jī)上運(yùn)算一次大約需要5 h。因此，雖然該FE模型能夠保證在優(yōu)化設(shè)計(jì)中響應(yīng)量的預(yù)測精度，然而在成千上萬次的優(yōu)化迭代中基于FE模型尋優(yōu)顯得不切實(shí)際。針對這個(gè)問題，所提基于偏差修正響應(yīng)面的RBDO流程被應(yīng)用在輕量化設(shè)計(jì)中。

3.1變量描述及DOE

在正碰耐撞性設(shè)計(jì)中，車身前部結(jié)構(gòu)的吸能性能直接影響碰撞過程中乘員艙的完整性。合理的車身前部結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)能夠避免因乘員艙變形過大而對乘員產(chǎn)生嚴(yán)重的損傷。圖3所示為選取的車身前部典型構(gòu)件，將其8個(gè)厚度參量作為研究對象。設(shè)計(jì)變量的范圍以及初始設(shè)計(jì)值如表1所示。

1.發(fā)動(dòng)機(jī)艙內(nèi)側(cè)邊梁　2.發(fā)動(dòng)機(jī)艙左側(cè)外邊梁　3.發(fā)動(dòng)機(jī)艙右側(cè)外邊梁　4.發(fā)動(dòng)機(jī)艙邊梁加強(qiáng)件前端　5.發(fā)動(dòng)機(jī)艙邊梁加強(qiáng)件后端　6.副框架內(nèi)臂　7.副框架前端　8.前指梁圖3　車身前部典型構(gòu)件

表1　設(shè)計(jì)變量的范圍及初始設(shè)計(jì)　mm

根據(jù)變量的變化范圍以及變量數(shù)目，在設(shè)計(jì)空間中通過均勻拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)法生成了60組DOE[12,20]。根據(jù)生成的60組DOE對FE模型的k文件中對應(yīng)的關(guān)鍵字卡片 (*SECTION_SHELL_TITLE) 中的厚度進(jìn)行修改。生成的新k文件被提交至高性能運(yùn)算中心計(jì)算。在數(shù)據(jù)后處理過程中，提取Chest G(假人胸部加速度)以及Crush Distance (整車碰撞有效距離)作為正碰性能響應(yīng)指標(biāo)。所提取的數(shù)據(jù)中前50組DOE樣本用于構(gòu)建RSM，剩下的10組用于評估外推設(shè)計(jì)預(yù)測精度。

3.2基于修正模型的RBDO

該設(shè)計(jì)優(yōu)化的目標(biāo)是在滿足Chest G(CG)和Crush Distance(CD)的可靠度指標(biāo)的前提下，通過結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化減輕車身重量。RBDO的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(9)

其中，Uxi和Lxi是設(shè)計(jì)變量的上下界，Weight是所設(shè)計(jì)的前部結(jié)構(gòu)總重量。CG和CD的設(shè)計(jì)目標(biāo)界限值分別為60g (g為重力加速度)和740 mm，可靠度為98%。根據(jù)式(9)可以看出，Weight、CG和CD三個(gè)響應(yīng)量均通過多項(xiàng)式響應(yīng)面建模技術(shù)來近似表示設(shè)計(jì)變量與響應(yīng)量間的擬合關(guān)系。根據(jù)所提方法建立的優(yōu)化流程如圖4所示。為了比較，分別使用兩種方法進(jìn)行優(yōu)化：一種是傳統(tǒng)RBDO，即采用低精度的原始多項(xiàng)式響應(yīng)面模型進(jìn)行優(yōu)化迭代，優(yōu)化過程中只考慮設(shè)計(jì)變量的不確定性；另一種是基于修正響應(yīng)面模型的RBDO，兼顧設(shè)計(jì)變量的擾動(dòng)以及響應(yīng)面模型的固有偏差。

3.3結(jié)果與討論

通過多目標(biāo)遺傳算法(multi-objective genetic algorithm, MOGA),基于未修正模型的修正模型的RBDO分別在第977次和第1189次迭代得到第一組可靠優(yōu)化解。圖5為以CG為收斂參考指標(biāo)的迭代圖。由圖可知， 基于未修正和修正RSM模型的優(yōu)化幾乎同時(shí)得到相對穩(wěn)定的收斂值，收斂效率差別不大。然而，基于未修正模型的優(yōu)化解即使在達(dá)到收斂條件后仍然存在較為劇烈的波動(dòng)。原始模型的過擬合與欠擬合均能導(dǎo)致這樣的結(jié)果。而修正后的模型則呈現(xiàn)出更好的收斂穩(wěn)定性。由兩種模型所得最終可靠優(yōu)化解如表2所示。

圖4　汽車前部構(gòu)件參數(shù)RBDO流程

圖5　基于修正和未修正模型的優(yōu)化迭代

設(shè)計(jì)變量初始設(shè)計(jì)RBDO(未修正偏差)RBDO(修正偏差)x1(mm)1.901.691.89x2(mm)1.911.831.83x3(mm)2.512.172.11x4(mm)2.402.542.04x5(mm)2.002.122.06x6(mm)1.802.482.51x7(mm)1.802.092.05x8(mm)1.201.721.70weight(kg)51.9948.9549.40

可以看出，與初始設(shè)計(jì)相比，基于未修正模型和修正模型的RBDO均得到了輕于51.99 kg的構(gòu)件，分別為48.95 kg和49.40 kg。若單考慮減重效果，基于未修正模型的RBDO得到的優(yōu)化解對應(yīng)的構(gòu)件重量甚至要低于基于修正模型RBDO的優(yōu)化解。然而這并不能說明其優(yōu)化解滿足所要求的可靠性。

為了驗(yàn)證優(yōu)化解是否達(dá)到可靠性要求，在所得兩組優(yōu)化解的基礎(chǔ)上，按優(yōu)化解名義值為均值以及5%均值為標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布各生成10組蒙特卡羅樣本，并運(yùn)行高精度的FE仿真模型計(jì)算每個(gè)樣本點(diǎn)相應(yīng)的CG和CD值。如圖6所示，點(diǎn)和星號(hào)代表了20個(gè)樣本點(diǎn)的仿真結(jié)果，圖中的概率密度函數(shù)(PDF)為優(yōu)化迭代中通過修正響應(yīng)面預(yù)測所得優(yōu)化解的不確定性信息，是設(shè)計(jì)變量不確定性通過響應(yīng)面?zhèn)鬟f的結(jié)果。圖6a和圖6b分別顯示了CG和CD基于未修正響應(yīng)面模型和修正模型的RBDO優(yōu)化解。

(a)CG

(b)CD圖6　基于未修正模型和修正模型的RBDO優(yōu)化解可靠性驗(yàn)證

從圖6可以看到，由于未修正偏差的RSM的預(yù)測能力有限，CG和CD的預(yù)測概率密度分布與10個(gè)FE仿真結(jié)果偏離過大，其中6個(gè)CG的FE仿真以及5個(gè)CD的仿真超出了預(yù)測分布。此外，CG的10個(gè)設(shè)計(jì)樣本中有1個(gè)超出了約束范圍，而CD有4個(gè)在約束范圍之外?？梢钥吹?，兩個(gè)性能響應(yīng)指標(biāo)的可靠度都未達(dá)到98%。不管是CG還是CD，都是汽車耐撞性評價(jià)的重要指標(biāo)。為了達(dá)到相應(yīng)法規(guī)(如NCAP等)的要求，CG和CD的值不僅需要在安全裕度以內(nèi)，而且還要保證對變量的微小變動(dòng)不敏感。在實(shí)際耐撞性評估試驗(yàn)中，若該性能指標(biāo)受環(huán)境、材料和工藝等的不確定性因素影響過大，將直接導(dǎo)致耐撞性評估結(jié)果不理想，產(chǎn)生巨大的經(jīng)濟(jì)損失。因此，基于未修正模型的RBDO設(shè)計(jì)無疑是不可行的。在圖6所示基于修正模型的優(yōu)化解驗(yàn)證中，10個(gè)MC樣本的FE仿真所得結(jié)果與隨機(jī)偏差修正的RSM相吻合，所有的設(shè)計(jì)都在CG和CD的正態(tài)分布中。兩約束的可靠度均達(dá)到設(shè)計(jì)目標(biāo)。雖然其減重效果略遜于基于未修正RBDO的優(yōu)化解，但性能指標(biāo)的可靠度顯示出基于所提方法進(jìn)行優(yōu)化的顯著優(yōu)勢。

4　結(jié)束語

本文介紹了一種基于統(tǒng)計(jì)偏差修正的模型外推預(yù)測方法，并將其應(yīng)用到考慮模型和設(shè)計(jì)變量不確定性的可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化流程中。首先運(yùn)用貝葉斯推理量化模型不確定性,從而修正原始低精度RSM的偏差。然后將修正后的模型用于RBDO過程以尋得可靠的優(yōu)化解。所提方法通過一個(gè)汽車輕量化設(shè)計(jì)得到闡述。在這個(gè)輕量化設(shè)計(jì)中，考慮整車正面碰撞中的典型耐撞性指標(biāo)CG和CD的安全約束，使優(yōu)化設(shè)計(jì)解滿足設(shè)計(jì)的可靠性。經(jīng)對比，基于修正響應(yīng)面模型的RBDO比傳統(tǒng)的RBDO能保證在實(shí)現(xiàn)輕量化的前提下得到可靠度更高的解。

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(編輯郭偉)

A Bias Corrected Response Surface Method and Its Applications to Reliability-based Design Optimization

Zhan Zhenfei1Yang Junqi1Shu Yajing1Yang Ren-Jye2

1.The State Key Laboratory of Mechanical Transmission,Chongqing University,Chongqing,400044 2.Passive Safety,Research and Innovation Center,Ford Motor Company,Dearborn,MI,USA,48124

In simulation-based vehicle design, the Bayesian inference based model extrapolation method was further investigated,that was previously proposed by the authors, and a systematic bias corrected model extrapolation and RBDO under uncertainty was introduced. A real-world lightweight design problem of vehicle was employed to demonstrate the validity of the proposed method.

response surface；bias-correction; reliability-based design optimization(RBDO); model extrapolation

2015-06-09

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51405041)；汽車噪聲振動(dòng)和安全技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題(NVHSKL-201412)；上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家實(shí)驗(yàn)室開放課題(MSV-2015-11)

U461.7DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.07.001

詹振飛，男，1983年生。重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室研究員、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)槟Ｐ万?yàn)證理論方法、汽車被動(dòng)安全、多學(xué)科優(yōu)化和穩(wěn)健設(shè)計(jì)等。發(fā)表論文40余篇。楊俊祺，男，1990年生。重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室博士研究生。舒雅靜，女，1993年生。重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室碩士研究生。楊仁杰，男，1952年生。美國福特汽車研究院被動(dòng)安全部門首席研究員。