考慮軸頭驅(qū)動(dòng)和側(cè)傾力矩的輪胎接地性態(tài)建模

汪　晨　黃海波　劉金朋　李洪宇

寧波大學(xué)，寧波，315211

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考慮軸頭驅(qū)動(dòng)和側(cè)傾力矩的輪胎接地性態(tài)建模

汪晨黃海波劉金朋李洪宇

寧波大學(xué)，寧波，315211

采用歐拉梁和側(cè)向分片的方法模擬輪胎側(cè)向變形特性，利用二元傅里葉級(jí)數(shù)構(gòu)造帶束層單元的位移場(chǎng)，胎面橫截面外輪廓設(shè)定為二次函數(shù)，建立了基于驅(qū)動(dòng)力矩和側(cè)傾力矩的輪胎三維接地性態(tài)解析計(jì)算模型。結(jié)合輪胎刷子模型計(jì)算了輪胎的縱向力和側(cè)向力，并進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明，模型具有較高的精度和效率。研究結(jié)果可為研究輪胎磨損和輪胎力學(xué)特性提供更為精確的三維接地壓力分布解析模型，并為輪胎物理模型的解析研究提供新的思路和方法。

輪胎；彈性薄壁模型；接地性態(tài)；歐拉梁；側(cè)向分片

0　引言

接地界面是輪胎與地面的唯一接觸界面，其力學(xué)特性是影響輪胎磨損和車輛操穩(wěn)性、平順性的重要因素。輪胎接地界面性態(tài)包括接地壓力及其分布、接地印跡形態(tài)等因素。由于數(shù)據(jù)的特殊性，接地界面性態(tài)較難獲得連續(xù)的動(dòng)態(tài)時(shí)域數(shù)據(jù)，但是可以利用現(xiàn)代測(cè)試技術(shù)較為容易地采集輪胎與車輛連接處的軸頭力[1]。因此，通過軸頭力預(yù)測(cè)輪胎接地界面特性對(duì)研究輪胎力學(xué)特性具有十分重要的意義。

鑒于接地性態(tài)的重要性，很多學(xué)者采用有限元方法[2-3]、理論解析方法[4-5]和試驗(yàn)方法[6-7]對(duì)輪胎滾動(dòng)過程中的接地性態(tài)進(jìn)行了建模、驗(yàn)證和預(yù)測(cè)。為了實(shí)現(xiàn)直接由輪胎的結(jié)構(gòu)、材料參數(shù)預(yù)測(cè)輪胎的接地性態(tài)和瞬態(tài)特性，獲得各變量、參數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，理論解析法大量應(yīng)用到輪胎接地性態(tài)的模擬中。國內(nèi)外學(xué)者最早假設(shè)接地壓力均勻分布或拋物線分布，使用刷子模型計(jì)算輪胎六分力，分析輪胎的側(cè)偏、回正等現(xiàn)象[8]。在現(xiàn)代動(dòng)力學(xué)模型中，Guo等[9]提出的UniTire模型使用了擬合的接地壓力經(jīng)驗(yàn)公式；由環(huán)模型發(fā)展而來的SWIFT模型[10]需要包容模型來提供等效路形以處理輪胎-地面接觸問題；FTire模型[11]則由有限元模型來提供計(jì)算時(shí)需要的接地壓力數(shù)據(jù)。同時(shí)，接地界面性態(tài)是描述輪胎接地面力學(xué)行為特性的重要指標(biāo)，可以描述輪胎與路面間作用力及其分布等指標(biāo)的關(guān)鍵信息，而輪胎磨損發(fā)生在輪胎的接地界面內(nèi)[12-13]，故接地界面性態(tài)也是決定輪胎磨損量及胎面磨損形態(tài)的重要因素。因此，輪胎接地界面性態(tài)模型對(duì)發(fā)展輪胎動(dòng)力學(xué)及輪胎磨損預(yù)測(cè)模型至關(guān)重要[14-15]。

驅(qū)動(dòng)力矩和側(cè)傾力矩是軸頭六分力中兩個(gè)非常重要的力矩，對(duì)車輛穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)、轉(zhuǎn)向以及輪胎定位參數(shù)的合理選擇都有重要影響[16]。鑒于這一重要性，本文建立了一種基于軸頭驅(qū)動(dòng)力矩和側(cè)傾力矩的輪胎三維接地性態(tài)解析預(yù)測(cè)模型，該模型考慮了輪胎沿側(cè)向彈性變形的影響，可以給出輪胎接地界面的三維壓力分布和接地印跡形態(tài)；分析了驅(qū)動(dòng)力矩和側(cè)傾力矩對(duì)輪胎接地壓力分布的影響規(guī)律。

1　輪胎計(jì)算模型

1.1建模思路

本文利用梁模型對(duì)二維輪胎模型進(jìn)行側(cè)向擴(kuò)展來構(gòu)建三維輪胎物理模型，運(yùn)用哈密爾頓原理和拉格朗日方程，建立了驅(qū)動(dòng)力矩和側(cè)傾力矩共同作用下的輪胎運(yùn)動(dòng)微分方程；借助二元傅里葉級(jí)數(shù)構(gòu)造帶束層位移函數(shù)對(duì)高階微分方程進(jìn)行降階，結(jié)合驅(qū)動(dòng)力矩和側(cè)傾力矩的初始條件求解輪胎接地壓力分布。模型的輸入和輸出關(guān)系如圖1所示。

圖 1　模型輸入與輸出的關(guān)系

1.2彈性薄壁模型

圖 2　輪胎彈性薄壁模型

如圖2所示，輪胎簡(jiǎn)化為四部分：輪轂、胎側(cè)、帶束層和胎面。模型中視輪轂為剛體，軸頭力均施加于輪轂中心，帶束層簡(jiǎn)化為彈性薄壁圓筒。輪轂與帶束層之間均勻分布著三個(gè)方向的彈簧和阻尼，表示氣壓與胎側(cè)材料產(chǎn)生的黏彈性。帶束層外側(cè)連接代表胎面彈性的徑向彈簧。另外，模型胎面外輪廓參照輪胎真實(shí)形貌，設(shè)為曲率較小的二次函數(shù)，一方面更接近于實(shí)際，另一方面也可以使微分方程組變?yōu)榉驱R次線性方程組，利于方程求解并提高解算速度。

如圖3所示，由于帶束層側(cè)向的曲率半徑比周向半徑大得多，故假定帶束層側(cè)向曲率半徑為無窮大，視為放置于黏彈性基上的歐拉梁。該建模方法與Gim等[17]提出的方法類似，區(qū)別在于后者側(cè)重于研究輪胎接地壓力沿側(cè)向的分布規(guī)律，沒有系統(tǒng)地考慮到輪胎縱向和側(cè)向彈性變形的聯(lián)系。

圖 3　有黏彈性基的梁模型

1.3輪胎運(yùn)動(dòng)微分方程

如圖2所示，本文建立了直角坐標(biāo)系xyz和x*yz*，分別用于描述固定坐標(biāo)系和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的驅(qū)動(dòng)力矩和側(cè)傾力矩。為輔助模型分析與計(jì)算，另建立了相互耦合的旋轉(zhuǎn)柱坐標(biāo)系rθy和固定柱坐標(biāo)系rφy描述帶束層單元的空間坐標(biāo)。旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系與輪胎保持相對(duì)靜止，在該坐標(biāo)系下分析輪胎運(yùn)動(dòng)可以忽略輪胎的轉(zhuǎn)動(dòng)，便于建立運(yùn)動(dòng)微分方程，但在解算后期為方便表達(dá)輪胎接地性態(tài)，需將方程轉(zhuǎn)換至固定坐標(biāo)系。

由于輪胎結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，直接對(duì)帶束層單元進(jìn)行受力分析，建立完整的輪胎振動(dòng)方程有一定難度，故本文從能量的角度建模并考慮到輪胎側(cè)向擴(kuò)展，改進(jìn)了文獻(xiàn)[18]中的相關(guān)方程，建立拉格朗日方程如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中，L為拉格朗日函數(shù)；“·”代表對(duì)時(shí)間求偏導(dǎo)；θ為帶束層單元在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系內(nèi)的角度坐標(biāo)；“′”代表對(duì)θ求偏導(dǎo)；w、v、u、θr、γM為輪胎振動(dòng)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)(廣義坐標(biāo)是用于描述帶束層單元的空間位移量)，其中，w、v、u分別為帶束層單元沿輪胎徑向、切向、側(cè)向的位移量，θr、γM分別為考慮輪胎轉(zhuǎn)動(dòng)角度與側(cè)傾角的波動(dòng)；Q1、Q2、Q3分別為三個(gè)方向的路面激勵(lì); Q4、Q5分別為驅(qū)動(dòng)力矩和側(cè)傾力矩。

基于拉格朗日方程得到的輪胎多自由度連續(xù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程組為

(6)

1.4驅(qū)動(dòng)力矩的振動(dòng)方程

(7)

Tθ=-2πbkvR3θr

(8)

(9)

1.5側(cè)傾力矩的振動(dòng)方程

(10)

Mr=-πR3bkuγM

(11)

(12)

1.6輪胎運(yùn)動(dòng)方程求解

假設(shè)帶束層單元側(cè)向位移u與切向位移v成線性關(guān)系，根據(jù)高拉伸剛度的子午線輪胎周向不可擴(kuò)展假設(shè)，可以得到w、v、u之間的關(guān)系：

(13)

u=ηv

(14)

式中，η為側(cè)向位移u與切向位移v的相關(guān)系數(shù)。

由于式(6)為高階偏微分方程，為求解方程，本文結(jié)合二元傅里葉級(jí)數(shù)與待定系數(shù)法構(gòu)造帶束層切向位移函數(shù),借此對(duì)高階方程進(jìn)行降階。設(shè)

(15)

式中，an,m、bn,m、cn,m、dn,m為系數(shù)。

將式(13)～式(15)代入式(6)并轉(zhuǎn)換至固定坐標(biāo)系下，得到以下線性方程組：

(16)

(17)

m11=ρh(n2+1+η)

g12=2nΩρh(n2-1)

1.7初始條件

輪胎做穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)，變量θr、γM恒為0。將式(14)、式(15)代入式(7)、式(10)中，求解可得系數(shù)a0,0和a1,0，具體計(jì)算公式如下：

(18)

(19)

1.8輪胎接地壓力分布

由式(16)、式(17)可見，求解線性方程組須代入地面作用反力qw、qv、qu，本文利用胎面橡膠變形量建立地面作用反力函數(shù)從而對(duì)方程組進(jìn)行求解。由于帶束層外側(cè)僅連接了胎面徑向彈簧，本模型僅考慮沿輪胎徑向的地面反力qw，故qv和qu恒為0。如圖4所示，輪胎受載后的總變形量為帶束層徑向位移w(φ,y)與胎面橡膠徑向彈性變形量κ(φ,y)之和，故輪胎受到地面作用時(shí)的徑向力qw(φ,y)為

qw(φ,y)=k1κ(φ,y)

(20)

(21)

圖 4　胎冠中心帶束層變形幾何圖

求解φf(y)和φr(y)時(shí)，需對(duì)輪胎沿y軸進(jìn)行分片處理，即將輪胎分為n片較窄圓環(huán)。第i片內(nèi)圓環(huán)的接地前角φf和后角φr不隨y坐標(biāo)變化，通過計(jì)算機(jī)程序的反復(fù)迭代求得誤差范圍內(nèi)的近似解。

圖5所示為側(cè)傾輪胎的變形示意圖，側(cè)傾角γ的正負(fù)符號(hào)僅代表輪胎傾斜方向，本文取沿輪胎滾動(dòng)方向看輪胎頂部相對(duì)于接地印跡中心向右側(cè)移動(dòng)為正，反之為負(fù)。由圖5可知，下沉量d(y)與側(cè)傾角γ的關(guān)系為

(22)

式中，d0為胎冠中心處輪胎下沉量。

圖 5　側(cè)傾輪胎變形圖

將式(20)代入線性方程組式(16)、式(17)中，解得系數(shù)an,m、bn,m、cn,m、dn,m，重新代回式(20)中通過反復(fù)迭代滿足邊界條件，即接地印跡邊界處接地壓力為0，從而將φf和φr收斂至誤差范圍內(nèi)，得到地面的徑向作用反力qw(φ,y)，解得輪胎接地界面垂直壓力分布函數(shù)qz(φ,y)，接地印跡內(nèi)任意點(diǎn)的接地壓力qz(φ,y)為

qz(φ,y)=qwcosφcosγ

(23)

2　側(cè)傾力矩和驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)輪胎接地壓力分布的影響

本文計(jì)算了側(cè)傾力矩分別為0、15 N·m、30 N·m時(shí)以及驅(qū)動(dòng)力矩分別為0、15 N·m、30 N·m時(shí)的接地壓力分布，并討論了側(cè)傾力矩和驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)接地印跡形狀和接地應(yīng)力分布的影響規(guī)律。各工況的計(jì)算時(shí)間在280～310 s之間。

2.1側(cè)傾力矩對(duì)接地壓力分布的影響

初始工況如下：垂向載荷為4 kN，對(duì)應(yīng)的胎冠中心處下沉量為0.02 m，驅(qū)動(dòng)力矩為30 N·m。計(jì)算結(jié)果如圖6～圖11所示，側(cè)傾力矩為0時(shí)，輪胎接地印跡大致呈矩形。隨著側(cè)傾力矩的增大，接地印跡逐漸呈現(xiàn)為梯形，且梯形兩腰為曲線分布，斜率逐漸增大，該現(xiàn)象與諸多有限元分析結(jié)果[19]一致。

圖 6　接地印跡(M=0)

圖 7　接地印跡(M=15 N·m)

圖 8　接地印跡(M=30 N·m)

圖 9　接地壓力分布(M=0)

圖 10　接地壓力分布(M=15 N·m)

圖 11　接地壓力分布(M=30 N·m)

2.2驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)接地壓力分布的影響

初始工況如下：垂向載荷為4 kN，對(duì)應(yīng)的胎冠中心處下沉量為0.02 m，側(cè)傾力矩為30 N·m，輪胎接地壓力的計(jì)算結(jié)果如圖12～圖17所示，驅(qū)動(dòng)力矩由0增加至30 N·m，輪胎接地印跡前部的長度由0.07 m伸長為0.078 m，后部由0.07 m縮短為0.059 m，接地壓力分布的縱向不對(duì)稱性更加明顯。這是因?yàn)轵?qū)動(dòng)力矩的增大會(huì)引起輪胎轉(zhuǎn)速提高,離心力和彈性變形增大，輪胎材料的變形遲滯導(dǎo)致高壓力區(qū)向輪胎前進(jìn)方向移動(dòng)。這與文獻(xiàn)[20]的研究結(jié)果一致。

圖 12　接地印跡(T=0)

圖 13　接地印跡(T=15 N·m)

圖 14　接地印跡(T=30 N·m)

圖 15　接地壓力分布(T=0)

圖 16　接地壓力分布(T=15 N·m)

圖 17　接地壓力分布(T=30 N·m)

3　結(jié)果驗(yàn)證和討論

利用本文模型的計(jì)算結(jié)果，結(jié)合刷子模型計(jì)算了輪胎的縱向力、側(cè)向力，并與Kim等[21]的計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。輪胎初始工況如下：垂向載荷為4.5 kN，對(duì)應(yīng)的胎冠中心處下沉量為0.0204 m，輪胎運(yùn)動(dòng)速度為100 km/h，計(jì)算結(jié)果如圖18、圖19所示。比較后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)滑移率小于0.25時(shí)，本文縱向力、側(cè)向力的相對(duì)誤差絕對(duì)值總體上更接近于實(shí)驗(yàn)結(jié)果并小于文獻(xiàn)[21]的計(jì)算誤差，尤其此時(shí)側(cè)向力相對(duì)誤差的最大值僅為3.25%，遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[21]的誤差最大值10.04%。這說明小滑移率下本文的計(jì)算結(jié)果比文獻(xiàn)[21]的計(jì)算結(jié)果更貼近實(shí)驗(yàn)結(jié)果。當(dāng)滑移率大于0.25時(shí)，本文縱向力、側(cè)向力的相對(duì)誤差會(huì)略大于文獻(xiàn)[21]的計(jì)算誤差，但與實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏差不大，分別不超過5.6%和4.7%。因此，本文構(gòu)建的輪胎三維接地壓力模型計(jì)算得出的二維接地壓力分布具有較高的精度，能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)輪胎的縱向力、側(cè)向力，且小滑移率時(shí)的計(jì)算精度更好。

圖 18　縱向力曲線

圖 19　側(cè)向力曲線

4　結(jié)論

(1)結(jié)合歐拉梁、側(cè)向分片的方法和接地印跡邊界條件，可以實(shí)現(xiàn)側(cè)傾力矩下輪胎軸向的壓力分配。

(2)考慮輪胎切向和側(cè)向彈性變形時(shí)，運(yùn)用二元傅里葉級(jí)數(shù)來構(gòu)造帶束層單元的位移函數(shù)，對(duì)連續(xù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程組進(jìn)行降階和簡(jiǎn)化，可以方便方程求解。

(3)將胎面軸向截面輪廓設(shè)定為二次函數(shù)，可以使運(yùn)動(dòng)微分方程組變?yōu)榉驱R次線性方程組，利于方程求解并提高解算速度。

(4)本文用軸頭力預(yù)測(cè)輪胎三維接地壓力分布，實(shí)現(xiàn)了軸頭“點(diǎn)”力學(xué)特性到輪胎接地界面“面”力學(xué)特性的計(jì)算。模型的計(jì)算時(shí)間短，具有較好的精度，可用于輪胎動(dòng)力學(xué)模型和輪胎磨損模型進(jìn)行輪胎動(dòng)力學(xué)特性和磨損的預(yù)測(cè)和解析計(jì)算。

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(編輯陳勇)

A Tire Model for Contact Ground State Considering Driving and Overturning Torques at Axle Head

Wang ChenHuang HaiboLiu JinpengLi Hongyu

Ningbo University，Ningbo，Zhejiang，315211

The lateral deformation was considered utilizing Euler beam and divided tire into slices in lateral direction. The displacements of belt elements were computed with two-variables Fourier series. The profile of tire cross-section was described as quadratic function. The model was verified by comparing longitudinal and lateral forces with tests. The results show that the model is more precision and efficiency. The methodology for building tire 3D contact model can be provided to explore the tire wear and mechanics behaviors.

tire; thin elastic ring model; contact ground state; Euler beam; lateral slice

2015-04-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51205213)

U463.341DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.07.021

汪晨，男，1991年生。寧波大學(xué)機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)闈L動(dòng)體摩擦磨損。黃海波(通信作者)，男，1978年生。寧波大學(xué)機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院副教授。劉金朋，男，1993年生。寧波大學(xué)機(jī)械與力學(xué)學(xué)院碩士研究生。李洪宇，男，1990年生。寧波大學(xué)機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院碩士研究生。