暴露思維過程案例分析
——例談數學歸納法的應用

江蘇省響水中學　(224600)

魏立國

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暴露思維過程案例分析
——例談數學歸納法的應用

江蘇省響水中學(224600)

魏立國

數學歸納法應用廣泛,可以說從代數到幾何，從組合到數論，都能找到它的影子.如果使用恰當，往往能使陳題新解，難題巧解.本文試圖通過暴露思維過程案例分析，和同行分享數學歸納法的妙用.

一、正確理解假設“n=k ”成立的含義，尋找通向“pk+1 ”的橋梁

案例2設n 是個不小于2的正整數，正整數a1，a2，…，an和為偶數，對任意1≤k≤n,k∈N*都有ak≤k, 求證：可適當地選擇“+”或“- ”號使±a1±a2±…±an=0.

分析：①n=2 ，由a1≤1,a2≤2,a1,a2∈N*,a1+a2為偶數，則a1=a2=1,a1-a2=0 即證.

②假設n=m 成立，當n=m+1 時，ak≤k,可知，只有am+1可能為m+1,其余ai≤m(i≤m)，應用歸納假設必須把m+1 個數改造成m個數，和為偶數且最大不超過m.不妨令a1≤a2≤…≤am+1, 由ak≤k,ak∈N*，得a1=1 ，且am≥1,a1，a2，…，am-1不變，(am+1-am) 作為第m 個數，則am+1-am≤m, 由a1，a2，…，am+1加減不改變奇偶性，所以a1+a2+…am-1+(am+1-am) 為偶數.a1，a2，…，am-1，(am+1-am)這m 個數符合歸納假設條件.則存在一種選擇使a1±a2±…am-1±(am+1-am)=0,即證n=m+1成立.

評注：要正確理解歸納假設“n=k” 成立的含義.否則，可能將成為偽證.

二、從特殊到一般

案例3乒乓球隊有n個隊員，在一次雙打集訓中，任意兩名隊員作為隊友，恰好只搭檔過一次雙打比賽，求n所有可能值，并給每一個值給出一種比賽方案.(2012年華約自主招生試題)

分析：設Ai表示第i 個人.

(1)從最特殊的4人開始，不妨令4個人分別為A1、A2、A3、A4.則A1A2?A3A4,A1A3?A2A4,A1A4?A2A3即可；

由此推斷n=4k、4k+1 可能符合.

(2)下面對n=4k+1 時用數學歸納法進行證明.

①k=1 顯然.

②假設n=4k+1 成立.當n=4k+5 時，由歸納假設A1，A2，…，A4K+1兩兩可以搭檔雙打一次.A4k+2、A4k+3、A4k+4、A4k+5這5個人， 由前面(1)中的討論可知也可以兩兩雙打一次.剩下的就是A4k+2、A4k+3、A4k+4、A4k+5與A1、A1…A4K+1沒有兩兩搭檔雙打一次.很自然想到A4K+2Ai(i=1,2,…，4k+1) ?A4K+3A4k+2-i,A4K+4Ai(i=1,2,…,4k+1)? A4K+5A4k+2-i.

如果搭檔成功，問題就解決了.但是，當i=2k+1 時，Ai=A4K+2-i，這樣就無法搭檔.如果取Ai與A4k+1-i相對應.這樣，i與4k+1-i不可能相等.因為，i與4k+1-i是一奇一偶.A4K+2Ai(i=1,2,…4k)?A4K+3A4k+1-i,A4K+4Ai(i=1,2,…4k)?A4K+5A4k+1-i，但是，這樣A4K+1與A4k+2、A4k+3、A4k+4、A4k+5又沒有兩兩搭檔雙打一次.由(1)可知n=5 可以兩兩搭檔雙打一次.所以，n=4k+5成立.

(3)同理，n=4k 也成立.

案例4(1)正六邊形被3條互不交叉(端點可以重合)的對角線分割成4個三角形．將每個三角形區域涂上紅、藍兩種顏色之一，使得有公共邊的三角形涂的顏色不同．怎樣分割并涂色可以使紅色三角形個數與藍色三角形個數的差最大？

(2)凸2016邊形被2013條互不交叉(端點可以重合)的對角線分割成2014個三角形．將每個三角形區域涂上紅、藍兩種顏色之一，使得有公共邊的三角形涂的顏色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，紅色三角形個數與藍色三角形個數之差的最大值是多少？證明你的結論．

(江蘇省2014年高中數學競賽初賽壓軸題)

人們對競賽題常常望而生畏，認為競賽壓軸題不是常人能做的.看了命題者提供的解答也確實如此.其實，本題如果把它推廣到一般情況，利用數學歸納法普通人也能做.

圖1

分析：(1)作如圖1構造即可.

(2)2016是6的倍數，況且又是2014年競賽題，是不是可以推廣到一般情況呢？由此，我們可以猜想，是不是任意6k 邊形，都可以涂為紅比藍多2k.我們不妨用數學歸納法試一試.

令紅三角形有x個，藍三角形有y個.因為在多邊形內紅三角形和藍三角形是相鄰的，所以，它們擁有相同多條對角線.只有多邊形邊它們不是公共邊.所以，3x-3y≤2016,∴x-y≤672.所以，最大值為672.下面用數學歸納法證明：

①k=1 ，由(1)顯然.(2)假設k=m 成立，如圖2，根據歸納假設把A1A2…A6m邊形涂好.如果A1A2…A6m邊形中緊靠A1A6m邊涂紅，由(1)構造給我們啟發，能否對剩下的八邊形A1A6mA6m+1A6m+2A6m+3A6m+4A6m+5A6m+6先分割一個六邊形，保持六邊形中3紅一藍.連A6m+5A6m，按圖2涂色，即可完成n=m 到n=m+1的過渡.同理，如果A1A2…A6m邊形中緊靠A1A6m邊涂藍，按圖3涂色，即可完成n=m 到n=m+1的過渡.

圖2　　　　　　　　　　　　　圖3

評注：(1)案例3通過4人、5人、6人、7人、猜想到了一般雙打規律.案例4是通過數字特征把特殊推廣到一般.

(2)案例4中的特殊情況證明對n=k 到n=k+1 的過渡起了關鍵性的作用.

三、增多起點，加大跨度

增多起點，加大跨度的實質就是通過驗證①n=1，2，…，m步成立，②假設n=k,k+1,…，k+m-1 步成立，去推證n=k+m 成立.把原來一步跨度變為m 步跨度.

案例5f(n) 是定義在n∈N*的增函數，f(4)=5.①?m,n∈N*,f(n)∈Z;②f(m)f(n)=f(mn)+f(m+n-1).

(1)求f(1),f(2),f(3);

(2)求f(n).

分析：(1)易得f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.

(2)由(1)易猜測f(n)=n+1 ，抽象函數必須恰當的賦值，獲得f(k)、f(k+1).可令m=k,n=2，即得f(k)f(2)=f(2k)+f(k+1) ①.但是①中又出現了2k，此時， 可以考慮增多起點，加大跨度.

驗證n=1,2成立.假設n=k,k+1成立,可得f(2k)=2k+1.但并沒有得到f(k+2)=k+3,由于f(n)增函數，f(k)與f(2k)之間只有k個整數.f(k)=k+1,f(2k)=2k+1,所以，f(k+2)=k+3得證.看上去天衣無縫，沒有問題，實際上是有問題的.問題出在哪里？因為得到這一結論，必須2k≥k+2,即k≥2,起步要從2,3開始驗證.

評注：從案例5、6看出，一方面增加跨度可降低歸納法證明的難度，另一方面讓一個跨度不能證明的問題獲得解決.

四、加強命題

評注：命題加強的度要把握恰當，否則，數學歸納法也無法奏效.

總之，數學歸納法以其特有的魅力，往往在高考、自主招生考試的壓軸題中扮演著重要的角色，如果學生能適時恰當的使用數學歸納法，它往往會給普通學生增分添彩.