基于單調性視角下的函數綜合題破解策略

江蘇省丹陽市第五中學　(212300)

孔幫新

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基于單調性視角下的函數綜合題破解策略

江蘇省丹陽市第五中學(212300)

孔幫新

函數是高中數學的主干內容，是研究變量數學的工具，是學習高等數學的基礎，是歷年高考考查的重點.而函數單調性則是函數性質的核心和靈魂，是函數試題的“心臟”.幾乎所有的函數綜合試題都與函數單調性緊密聯系.函數單調性還與不等式、參數的范圍、數列、三角函數、解析幾何密切相關.下面筆者談談從函數單調性的視角破解函數綜合題的策略，不到之處請批評指正.

一、以數馭形，構造函數，研究幾何性質

例1(2014年蘇北四市調研測試20題)

設函數f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx(a∈R)的圖像為曲線C，點A(x1,y1),B(x2,y2)是曲線上不同的兩點，點M為線段AB的中點，過點M作x軸的垂線交曲線C于點N，試問曲線C在點N處的切線是否平行于直線AB，并說明理由.

解決本問題的關鍵是將線線平行判斷轉化為構造新函數，運用函數單調性判斷函數是否有零點.轉化策略和求導數是工具.許多函數試題最終都轉化為用函數單調性解決問題.

構造函數的基本原則是求導數、找零點、判斷導函數值的符號方便，且具有比較明顯的幾何特征.

二、分析特征，合理放縮，證明不等式

例2(2013年高考全國新課標卷第21題)

已知函數f(x)=ex-ln(x+m).

(1)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；

(2)當m≤2時，證明f(x)>0.

本題將證明不等式轉化為判斷函數的單調性，再次顯示了函數單調性的威力.

三、合理轉化，分類討論，巧求參數范圍

例3(2014年高考山東卷第20題)

(1)當k≤0時，求函數f(x)的單調區間；

(2)若函數f(x)在(0,2)內存在兩個極值點，求k的取值范圍.

分析：求函數單調區間可通過求導數判斷導數值在各區間的正負得到，如含參數則須分類討論以便確定符號.f(x)在(0,2)內存在兩個極值點，即f′(x)在(0,2)有兩個零點，可轉化研究f′(x)在(0,2)上的單調性和極值點的位置，根據f′(x)的單調性確定f′(x)在(0,2)的零點.

(2)由(1)知，當k≤0時,函數f(x)在(0,2)內單調遞減，故f(x)在(0,2)內不存在極值點；當k>0時,設g(x)=ex-kx,x∈[0,+∞)，因為g′(x)=ex-k=ex-elnk，當00，y=g(x)單調遞增，故f(x)在(0,2)內不存在兩個極值點；

四、巧設函數，簡化運算，破解恒成立問題

例4(2013年高考天津第20題)

已知函數f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0，其中a>0.

(1)求a的值；

(2)若對任意的x∈[0,+∞)有f(x)≤kx2成立，求實數k的最小值.

(2)當k≤0時,取x=1有f(1)=1-ln2>0，故k≤0不合題意.當k>0時,令g(x)=f(x)-kx2，即g(x)=x-ln(x+1)-kx2，

解后反思：恒成立問題其實是求新的函數g(x)=f(x)-kx2的最大值為0時實數k的范圍，也即運用導數借助單調性，求出函數最值.因為新函數含參數，求導數，找極值點并判斷導數的符號是難點.本題如按常規思路分離變量構造函數，則求導函數零點及判斷函數值的正負號就非常繁.

總之，縱觀函數綜合題解法，可總結為以下步驟：

首先，弄清問題的條件有哪些，結論求什么？如判斷函數單調性，求極值(最值)，比較函數值的大小，求零點個數，證明不等式等等均與函數單調性緊密聯系；

其次，把所求結論轉化，通過構造新函數或從原函數出發，求導數判斷函數單調性，通常函數中含有參數需要分類討論以判斷導函數在給定區間的符號；

最后，結合函數在給定區間上的大致圖像形狀，數形結合，尋找結論.