函數中雙變量的任意與存在混搭的等式問題

湖南省長沙市雅禮教育集團南雅中學　(410129)

石向陽

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函數中雙變量的任意與存在混搭的等式問題

湖南省長沙市雅禮教育集團南雅中學(410129)

石向陽

近幾年高考，函數中雙變量的任意與存在混搭的等式問題，越來越受命題人的青睞．對于這類問題，學生很是困惑．下面就此類問題總結歸納如下：

命題1 ?x1∈A，?x2∈B，使得f(x1)=g(x2)成立?f(x)的值域包含于g(x)的值域?{f(x)|x∈A}?{g(x)|x∈B}．

命題2 ?x1∈A，?x2∈B，都有f(x1)=g(x2)成立?等價于f(x)的值域等于g(x)的值域?{f(x)|x∈A}={g(x)|x∈B}．

命題3 ?x1∈A，?x2∈B，使得f(x1)=g(x2)成立?f(x)的值域與g(x)的值域相交非空 ?{f(x)|x∈A}∩{g(x)|x∈B}≠?．

命題4 ?x1∈A，?x2∈B，都有f(x1)≠g(x2)成立?f(x)的值域與g(x)的值域相交為空集?{f(x)|x∈A}∩{g(x)|x∈B}=?．

從集合子集的定義、集合相等的定義、集合交集的定義，不難理解上述命題的合理性．有了這些命題的幫助，我們能很好地破解與此相關的一些難題.

解:當x<0時，有q′(x)=f′(x)=3x2-2(k2-k+1)x+5；當x>0時，有q′(x)=g′(x)=2k2x+k，因為當k=0時不合題意，因此k≠0．

下面討論k≠0的情形，記A={g′(x)|x>0}，B={f′(x)|x<0，則A=(k，+∞)，B=(5，+∞)．

(ⅰ)當x1>0時，q′(x)在(0，+∞)上單調遞增，所以要使q′(x2)=q′(x1)成立，只能x2<0，由命題1知A?B，因此有k≥5；

(ⅱ)當x1<0時，q′(x)在(-∞，0)在上單調遞減，所以要使q′(x2)=q′(x1)成立，只能x2>0，由命題1知B?A，因此k≤5．

綜合(ⅰ)(ⅱ)k=5．

當k=5時有A=B．則?x1<0，q′(x1)∈B=A，即?x2>0，使得q′(x2)=q′(x1)成立，因為q′(x)在(0，+∞)上單調遞增，所以x2的值是唯一的；同理，?x1<0，即存在唯一的非零實數x2(x2≠x1)，要使q′(x2)=q′(x1)成立．

所以k=5滿足題意．

(Ⅰ)求f(x)的單調區間和值域；

(Ⅱ)設a≥1，函數g(x)=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]，若對于任意x1∈[0，1]，總存在x0∈[0，1],使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范圍．

(Ⅱ)對函數g(x)求導，得g′(x)=3(x2-a2)．因為a≥1，當x∈(0，1)時，g′(x)<3(1-a2)≤0．因此當x∈(0，1)時，g(x)為減函數，從而當x∈[0，1]時有g(x)∈[g(1)，g(0)]．又g(1)=1-2a-3a2，g(0)=-2a，即x∈[0，1]時有g(x)∈[1-2a-3a2，-2a]．

例3已知函數f(x)=x-4，g(x)=x3-3a2x-2a(其中a≥1)，

(Ⅰ)若對于任意x1∈[0，2]，x2∈[0，1]，都有f(x1)=g(x2)成立，求a的取值范圍．

(Ⅱ)若存在x1，x2∈[0，1]使得f(x1)=g(x2)成立，求a的取值范圍．

解:(Ⅰ)當x∈[0，2]時，f(x)單調遞增，所以f(x)∈[f(0)，f(2)]即f(x)∈[-4，-2]．由例2知g(x)∈[1-2a-3a2，-2a]．

由命題2知,f(x)的值域等于g(x)的值域?[1-2a-3a2，-2a]=[-4，-2]．即

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)∈[f(0)，f(1)]=[-4，-3]，g(x)∈[1-2a-3a2，-2a]，由命題3知問題轉化為[-4，-3]∩[1-2a-3a2，-2a]≠?．當a≥1時有1-2a-3a2≤-4，所以只需-2a≥-4，即a≤2．又a≥1,所以1≤a≤2．

設h(x)=f′(x)+2ax=3x2+2x-a(a+2)，當x∈[-1，1]時，h(x)∈[-a2-2a+1，5-a2-2a]．

幾點補充說明：

(1)雙變量中任意與存在性混搭的等式問題，可轉為兩個函數的值域問題；

總之，雙變量中任意與存在混搭等式問題，實質是研究相應函數值域問題，把任意與存在混搭等式問題化歸為值域問題是解決問題的關鍵所在．