構造一元二次方程　巧解定值定點問題

廣東省廣州市增城區增城中學　(511300)

李　雷

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構造一元二次方程巧解定值定點問題

廣東省廣州市增城區增城中學(511300)

李雷

解析幾何綜合問題的解法一般都是設方程、聯立,利用韋達定理、計算、化簡等.過程看似常規,學生卻望而生畏,考試得分有限.而解析幾何綜合試題中的定值、定點問題一直是考試的熱點和重點,構造恰當的一元二次方程,利用其有關性質,可使一些看似難以解決的問題順利獲得解決.

一、 定點問題

(1) 當k=0時,分別求C在點M和N處的切線方程；

(2) y軸上是否存在點P使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

解：(1)略.

(2)設P(0，m),直線PM，PN的斜率分別為k1,k2,∵∠OPM=∠OPN，∴k1+k2=0.

命題3在直角坐標系中,拋物線C:x2=2py(p>0)與直線l:y=kx+m交于M，N兩點.直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，若k1+k2=0，則點P為定點(0，n)，并且m+n=0.

下面給出命題1的證明：

當直線l與x軸平行時,此時M，N關于y軸對稱,∴點P在y軸上.

設點P(0，n),PM:y=k1x+n,聯立

因為點M在橢圓C上,將點M代入橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2得

(a2m2+a2b2)k12-(2kmna2-2ka2b2)k1-(a2n2+a2b2)k2-b2(m-n)2=0①.

綜合①②可知k1，k2為下面方程的兩個根:

(a2m2+a2b2)x2-(2kmna2-2ka2b2)x+(a2n2+a2b2)k2-b2(m-n)2=0，根據韋達定理可知

二、定值問題

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 以MN為直徑的圓是否經過定點？若經過,求出定點的坐標；若不經過,請說明理由.

三、 應用

(1) 求橢圓的方程；

四、感悟

`定值定點通常是指在一定的情境下,不隨其他條件的改變而改變的量.因此“特值探路”不可或缺．正是有了“特值探路”,才使得解題方向明確、目標清晰．適當構造一元二次方程,可極大地減少解題的運算量,使問題迎刃而解,而且解答別具一格,耐人尋味！也為課堂教學添色增值.與此同時,培養了學生解題的信心,消除了學生畏難情緒,激發了學生創新意識.