柯西不等式在解題中的應用

江蘇省連云港市郁林中學　(222346)

張雪峰

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柯西不等式在解題中的應用

江蘇省連云港市郁林中學(222346)

張雪峰

1在代數(shù)中的應用

解：將4a2-2ab+4b2-c=0變形為2c=3(a+b)2+5(a-b)2，由柯西不等式得

例2設x、y為實數(shù)，若x2+y2+xy，則x+y的最大值是_________.

解:將原方程組中的兩個方程相加得 (2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=108，將第一個方程可變形為2x+(3y+3)+(z+2)=18，由柯西不等式得[(2x)2+(3y+3)2](12+12)≥[2x+(3y+3)]2，所以 2[108-(z+2)2]≥[18-(z+2)2]2，所以 (z-4)2≤0，解得z=4，由柯西不等式成立的條件可得x=3，y=1，所以x=3，y=1，z=4.

2在函數(shù)中的應用

3在三角函數(shù)中的應用

解:由柯西不等式，得

4在不等式中的應用

例7已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值為a.

(1)求a的值；

(2)若p，q，r是正實數(shù)，且滿足p+q+r =a，求證p2+q2+r2≥3.

解：(1)略.

(2)由(1)知p+q+r =3，又因為p，q，r是正實數(shù)，所以由柯西不等式得(12+12+12)(p2+q2+r2)≥(1·p+1·q+1·r)2=(p+q+r)2=9，即p2+q2+r2≥3.

解:由柯西不等式知

5在圓錐曲線中的應用

6在平面幾何中的應用

例10在平面直角坐標系中,已知點A(1，-2)，B(4，0)，P(a，1)，N(a+1，1)，則當四邊形PABN的周長最小時，過三點A，P，N的圓的圓心坐標是_________.

7巧證課本上的公式