構(gòu)造法解一類關(guān)于f′(x)的抽象函數(shù)問題

江蘇省徐州市第一中學(xué)　(221140)

許　麗

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構(gòu)造法解一類關(guān)于f′(x)的抽象函數(shù)問題

江蘇省徐州市第一中學(xué)(221140)

許麗

構(gòu)造法是指當(dāng)解決某些數(shù)學(xué)問題使用通常方法按照定向思維難以解決問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)，從新的角度，用新的觀點(diǎn)去觀察、分析、理解對象，牢牢抓住反映問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用問題的數(shù)據(jù)、外形、坐標(biāo)等特征，使用題中的已知條件為原材料，運(yùn)用已知數(shù)學(xué)關(guān)系式和理論為工具，在思維中構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對象，從而使原問題中隱含的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)對象中清晰地展現(xiàn)出來，并借助該數(shù)學(xué)對象方便快捷地解決數(shù)學(xué)問題的方法．

導(dǎo)數(shù)的作用是研究函數(shù)的性質(zhì)．當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)，函數(shù)單調(diào)增，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)，函數(shù)單調(diào)減．倘若不等關(guān)系是建立在導(dǎo)數(shù)f′(x)與非零常數(shù)、甚至是函數(shù)之間，那就不能直接判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性了．這類問題又該如何處理呢？下面，筆者就以近來的考題為例歸類解析，就教于同行．

一、與其他函數(shù)不等構(gòu)造和、差

導(dǎo)數(shù)f′(x)與其他函數(shù)(包括常函數(shù))構(gòu)成的不等關(guān)系作條件，可以構(gòu)造f(x)與其他函數(shù)的和、差函數(shù)，從而獲得與f(x)相關(guān)的新函數(shù)的性質(zhì)．

例1(2015年福建理科卷10)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=-1，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)>k>1，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是().

例2(2015屆重慶市十八中高三10月測試)

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)+f(x)=2x2，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)<2x，若f(m)-f(4-m)-8m+16≥0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_________．

解析：構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-x2，當(dāng)x>0時(shí)，有g(shù)′(x)=f′(x)-2x<0，所以函數(shù)g(x)在(0，+∞)上單調(diào)減．又g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-2x2=0，所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，因此g(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)．

不等式f(m)-f(4-m)-8m+16≥0可化為f(m)-m2≥f(m-4)-(4-m)2，即g(m)≥g(4-m)，所以m≤4-m，解得m≤2．

二、與原函數(shù)不等構(gòu)造積、商

兩函數(shù)積、商運(yùn)算的求導(dǎo)法則中會同時(shí)出現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)，所以導(dǎo)數(shù)f′(x)與原函數(shù)f(x)構(gòu)成的不等關(guān)系作條件時(shí)，可以構(gòu)造f(x)與其他函數(shù)的積、商函數(shù)．

解析：構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x)，則g′(x)=f(x)+xf′(x)>0，所以函數(shù)g(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)．

A．(0，+∞)B．(-∞，0) ∪(3，+∞)

C．(-∞，0) ∪(0，+∞)D．(3，+∞)

例5(2015年高考全國新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(-1)=0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)-f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是().

A．(-∞，-1) ∪(0，1)

B．(-1，0) ∪(1，+∞)

C．(-∞，-1) ∪(-1，0)

D．(0，1) ∪(1，+∞)

例6設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，對任意x∈R，都有f′(x)>f(x)，則().

A．3f(ln2)> 2f(ln3) B．3f(ln2)=2f(ln3)

C．3f(ln2)<2f(ln3)

D．3f(ln2)與2f(ln3) 的大小不確定

例7(2016屆甘肅省第一次高考診斷考試?yán)砜?2)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若?x∈(0，+∞)，都有xf′(x)<2f(x)成立，則().

三、綜合問題適當(dāng)構(gòu)造

以上可見，能構(gòu)造出積、商函數(shù)的問題條件皆為兩項(xiàng)的不等式形式，一項(xiàng)含f(x)，另一項(xiàng)含f′(x)．那么更為復(fù)雜的不等關(guān)系呢？

A．(0，+∞)B．(-∞，0) ∪(3，+∞)

C．(-∞，0) ∪(0，+∞)D．(3，+∞)

例9已知函數(shù)f(x)是定義在(-∞，0) 上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且有xf′(x)>x2+2f(x)，則不等式4f(x+2014)-(x+2014)2f(-2)>0的解集為().

A．(-∞，-2012)B．(-2012，0)

C．(-∞，-2016) D．(-2016，0)