千淘萬漉雖辛苦，吹盡狂沙始到金
——由一道高考壓軸題所引發的探究

安徽省鳳陽縣臨淮中學　(233100)

張琳　劉祖權

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千淘萬漉雖辛苦，吹盡狂沙始到金
——由一道高考壓軸題所引發的探究

安徽省鳳陽縣臨淮中學(233100)

張琳劉祖權

下課鈴剛響，筆者走下講臺步履疲憊地進入辦公室，一位愛鉆牛角尖的男生帶著數學問題緊隨其后跟進了我的辦公室，期望得到我的幫助.

一、問題的出現

題目已知函數f(x)=2x3-3x.

(1)求f(x)在區間[-2,1]上的最大值；

(2)若過點P(1，t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切，求t的取值范圍；

(3)問過點A(-1,2),B(2,10),C(0，2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切？(只需寫出結論)

這是2014年高考數學北京文科卷中第20題，也是最后一道壓軸題，綜合性較強，考查知識面廣，計算量也較大，相對于文科生來說，確實有一定的難度.筆者邊書寫計算邊畫圖，最終給出了正確答案，對于如此的解答這位學生并不滿意，提出更高要求：“過一點如何判定一元三次函數切線存在的條數，并要求推導一般性的判定方法，給出明確的判斷結論”.這著實給我出了難題，對于一般形式的推導而言，不是不能完成，而是心中沒底.筆者所顧慮的是由于參數較多，計算量可能較大，判定結論是否簡潔適當.就本道壓軸題的題干可以覺察出，過一點作三次函數的切線，對切線數存在的判定可能存在著必然的規律.題中第(3)問給出A,B,C三點的具體坐標判斷切線數只是問題的一種表象，其背后到底隱藏了什么？帶著這個疑問和學生“強加”給的使命，為揭開謎底，筆者決定嘗試一下.

二、問題的探究

現在把上述問題一般化：曲線C是一元三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖像，過定點P(m，n)作曲線C的切線，推出存在的切線數的判定方法.

下面分兩種情形加以討論：

三、探究后的結論

命題曲線C是一元三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖像，過定點P(m，n)作曲線C的切線，則曲線C上存在的切線數的判定方法：

(1)若n<μ或n>λ時，曲線C過點P(m，n)的切線僅有一條；

(2)若n=μ或n=λ時，曲線C過點P(m，n)的切線僅有兩條；

(3)若μ

四、回歸問題的解答

讓我們再來看一道高考壓軸題，此題出自于2007年高考數學(理)全國卷Ⅱ第22題：

題目已知函數f(x)=x3-x.

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點M(t，f(t))處的切線方程；

(Ⅱ)設a>0，如果過點(a，b)可以作曲線y=f(x)的三條切線.證明：-a

解析：(Ⅰ)略；(Ⅱ)易知拐點為原點(0，0)，因a>0，所以點(a，b)不是拐點.下面求出拐點函數h(x)=-x，從而有f(a)=a3-a，h(a)=-a，由于a>0，顯然f(a)=a3-a>-a，又過點(a，b)可以作曲線y=f(x)的三條切線，所以-a