一類具有部分周期性質的函數試題探究

福建省泉州市第七中學　(362000)

吳寶樹

福建省泉州市第五中學　(362000)

楊蒼洲

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一類具有部分周期性質的函數試題探究

福建省泉州市第七中學(362000)

吳寶樹

福建省泉州市第五中學(362000)

楊蒼洲

2014年9月4日，國務院頒布《關于深化考試招生制度改革的實施意見》明確提出要深化高考考試內容改革，2015年起增加使用全國統一命題試卷的省份.2014年，使用全國統一命題試卷的省份包括：河南,河北,山西,貴州,甘肅,青海,西藏,黑龍江,吉林,寧夏,內蒙古,新疆,云南,遼寧,廣西等15個省(區).教育部經和有關省份協商以后，決定2015年增加江西,遼寧和山東3個省，2016年增加湖北,廣東,陜西,四川,重慶,福建和安徽7個省.隨著加入全國統一命題試卷的省份逐漸增多，各地掀起了対全國卷的研究高潮，而各地的質檢卷無疑是這一研究成果的很好的體現.在各地的質檢卷中總能發現一些精彩的試題，対這些試題加以研究和推廣，對于更好地復習迎接全國卷的高考將起到很大的幫助.本文將就福建省泉州市2016年的一道市質檢題展開探究.

1.試題呈現

若定義在R上的函數f(x)滿足：當0≤x<2時，f(x)=2x-x2，當2k≤x<2k+2(k∈N*)時，f(x)=2f(x-2)，則函數F(x)=lnx-f(x)在區間(0，6)內的零點個數為_________ .

圖1

解析:本題作為填空壓軸題，有一定的難度，思維跳躍大，學生完成起來較為困難.由當0≤x<2時，f(x)=2x-x2和當2k≤x<2k+2(k∈N*)時，f(x)=2f(x-2)，可得當2k≤x<2k+2時，0≤x-2k<2，此時f(x)=2k(2(x-2k)-(x-2k)2)，據此畫出y=lnx的圖像和函數f(x)在(0，16)內的部分圖像如圖1，觀察可得，除在第一個區間(0，2)上只有一個交點外，在其他區間上各有兩個交點，因此函數F(x)=lnx-f(x)在區間(0，16)內的零點個數為15.

2.課本溯源

《普通高中課程標準試驗教科書數學必修4》在《1.4.2正弦函數、余弦函數的性質》一節中，対周期函數給出了如下定義：對于函數y=f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函數y=f(x)叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期.即當點(x0，y0)在函數的圖像上時，點(x0+T，y0)也在函數的圖像上.

理解和掌握周期性質對于解決本題有很大的幫助，本題的難點在于準確把握f(x)=2f(x-2)這一條件，其實質是由f(x)=2f(x-2)作周期變換的同時，函數y在軸方向上進行伸縮變換，從而可得當(x0，y0)在函數的圖像上時，點(x0+2，2y0)也在函數的圖像上，即橫坐標每向右平移兩個單位，縱坐標伸長為原來的兩倍.此時橫坐標具有周期變換的特點，而縱坐標同時又有伸縮變換，使得周期性不嚴格，我們不妨將這一性質稱為部分周期性.

3.性質推廣

一般地，我們可以得到以下幾種類型的具有部分周期性的函數：

(2)若函數f(x)滿足f(x)=f(x+m)+n，當點(x0，y0)在函數的圖像上時，點(x0+m，y0-n)也在函數的圖像上.

4.鏈接高考

高考試題中，出現了很多基于部分周期性命制的精彩試題，以下列舉一二.

(2010年高考福建卷)已知定義域為(0，+∞)的函數f(x)滿足：(1)對任意x∈(0，+∞)，恒有f(2x)=2f(x)成立；(2)當x∈(1，2]時，f(x)=2-x.

給出如下結論：

①對任意m∈Z，有f(2m)=0；

②函數f(x)的值域為[0，+∞)；

③存在n∈Z，使得f(2n+1)=9；

④“函數f(x)在區間(a，b)上單調遞減”的充要條件是 “存在k∈Z，使得(a，b)?(2k，2k+1)”.

其中所有正確結論的序號是_________.

圖2

由解析式和圖像可知，當x≥2時，f(2n)=0(n∈Z)，因此①正確；函數的值域為[0，+∞)，②正確；因為2n+1∈(2n，2n+1]，而在區間(2n，2n+1]上f(x)的解析式為f(x)=2n+1-x，則2n+1-2n-1=9，即2n=10，顯然不存在這樣的整數n，因此③錯誤；當x∈(2n，2n+1]且n∈Z時，函數單調遞減，所以④正確.故正確答案為①②④.

(2013年高考安徽卷)定義在R上的函數f(x)滿足f(x+1)=2f(x).若當0≤x≤1時.f(x)=x(1-x)，則當-1≤x≤0時，f(x)=_________.

限于篇幅，本題解析略，答案為f(x)=

[1]人民教育出版社中學數學課程教材研究開發中心．普通高中課程標準試驗教科書(A版)：數學必修4[M].北京:人民教育出版社,2007.

[2]楊蒼洲. 善用習題變式教學 促進學生認知發展[J].數學通訊，2012(11)：7-10.

[3]許麗.2011年高考上海卷兩道同型題的探源[J].中學數學月刊，2012(6)：36-37.

[4]吳寶樹. 一道質檢試題命題思路的剖析[J]. 中學數學研究(江西),2016(3):10-12.