一道模考填空題的多視角分析

江蘇省蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)　(215006)

王　耀

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一道模考填空題的多視角分析

江蘇省蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)(215006)

王耀

在江蘇省泰州市2016屆高三一模試卷中，有一道不等式填空題構(gòu)思新穎，設(shè)計(jì)巧妙，容易讓許多師生產(chǎn)生解題障礙．為此，筆者以這道題的解題思維分析為例，從多種視角嘗試將問題轉(zhuǎn)化．現(xiàn)整理成文，與讀者交流，歡迎廣大師生批評(píng)指正.

1問題再現(xiàn)

2思路探求

2.1視角1——方程視角

(4t2-5)y2+8(1-t)y+8=0 ①.

視角2——函數(shù)視角

眾所周知，不等式的最值問題可以轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題，而本題中涉及到兩元變量，故可以通過消元法，直接構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)，從而順利將問題轉(zhuǎn)化成熟悉的函數(shù)最值問題.

評(píng)注1:上述解法中進(jìn)行了多次換元操作，讓問題變的越來越簡(jiǎn)單．其中，在處理無理函數(shù)f(t)時(shí)，利用了三角換元，也是一種重要的換元思想. 此處也可以采用基于不等式的求法：

視角3——數(shù)列視角

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，觀察本題中的表達(dá)式結(jié)構(gòu)，若聯(lián)想到等比數(shù)列中的等比中項(xiàng)，則也可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.

視角4——幾何視角

從方程角度去看，(x，y)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，但是從幾何觀點(diǎn)的話，可以將其視作為平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)的坐標(biāo). 因此，可以嘗試將問題轉(zhuǎn)化為二次曲線問題，借助幾何圖形，得到解題思路，具體過程如下：

又b2=ac=c(5c+12)=5c2+12c，可化為

由輔助角公式得到

視角5——不等式視角

3題后反思

數(shù)學(xué)解題就是把未知轉(zhuǎn)化為已知，即把一個(gè)未解決的問題化歸為一個(gè)已解決的問題，其中的轉(zhuǎn)化方式無所不包. 不同的審題角度，往往會(huì)導(dǎo)致多種分析思維，得到多種解法. 而中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練，從而提高學(xué)生的解題能力. 那么，基于問題解決的數(shù)學(xué)教學(xué)必須成為學(xué)校數(shù)學(xué)教育的核心，教師積極參與解題實(shí)踐，獲得必要的解題經(jīng)驗(yàn)，積累必備的知識(shí)儲(chǔ)備，才能作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題的示范者和引路人，也能有助于教師解題教學(xué)的改善.