基于Matlab和Pro/E的凸輪輪廓曲線設計及從動件運動學仿真

肖幫東　黃　浩　徐　中

(華中科技大學機械科學與工程學院，湖北 武漢 430074)

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基于Matlab和Pro/E的凸輪輪廓曲線設計及從動件運動學仿真

肖幫東黃浩徐中

(華中科技大學機械科學與工程學院，湖北 武漢 430074)

以實際工程項目中的直動滾子從動件盤形凸輪機構為例，根據設計要求建立凸輪輪廓曲線的數學模型，利用Matlab進行凸輪輪廓曲線的精確輔助設計以及從動件的運動仿真，將生成的凸輪輪廓線上點坐標導入Pro/E中，實現復雜凸輪的三維建模設計，為凸輪輪廓設計提供了一種簡便精確的方法。

凸輪輪廓線；Matlab；輔助設計；Pro/E

凸輪機構是自動機械或自動控制裝置中廣泛應用的機構之一，是由凸輪、從動件推桿和機架組成的高副機構，與其他傳動機構相比，凸輪機構具有結構緊湊、傳動精度高、動力特性好、運動平穩等優點[1]。凸輪機構的設計，關鍵是獲得精確的凸輪輪廓曲線來滿足從動件各種預期的運動規律，以實現機械的自動化，而凸輪曲線特性優良與否直接影響到凸輪機構的效率、精度以及壽命[2]。

凸輪輪廓曲線的設計一般可分為圖解法和解析法，其中圖解法只適用于從動件運動規律較簡單，對凸輪輪廓曲線精度要求不高的場合。解析法則可針對復雜的從動件運動規律建立相應的方程，精確地計算出輪廓線上各點的坐標，然后把凸輪的輪廓曲線精確地繪制出來。Matlab是一種科學計算軟件，通過其強大的矩陣處理和繪圖功能[3]，利用Matlab編程可進行凸輪機構的解析法設計，并對從動件的運動規律(位移、速度、加速度和輪廓線)進行仿真繪制，以達到凸輪輪廓線的精確設計。Pro/E具有強大的曲線建模功能[4-5]，若將二者相結合，利用Matlab生成的凸輪輪廓線上點的坐標，將其導入Pro/E中，即可容易地實現復雜凸輪的三維實體設計。

1　凸輪機構運動的幾何關系

在進行凸輪機構設計時，首先要根據機構的工作要求、實際工況以及使用場合選定凸輪機構的類型，確定凸輪機構從動件的運動規律，在合理計算完凸輪的基圓半徑等基本尺寸參數后，即可進行凸輪輪廓曲線的設計。為了采用數字化方法實現凸輪輪廓曲線的精確設計，需要進行凸輪運動幾何關系模型的建立。

1.1凸輪輪廓曲線的解析法設計

用解析法設計凸輪的輪廓曲線，其基本方法就是根據從動件的運動規律和已知的機構參數，推演出凸輪輪廓線的方程式，并精確地計算出凸輪輪廓線上各點的坐標值[6]。但無論是采用圖解法還是解析法，設計凸輪輪廓曲線方法的基本原理都是反轉法，即給整個凸輪機構加上一個與凸輪轉動角速度ω大小相等、方向相反的角速度-ω，不影響各構件之間的相對運動，根據相對運動原理，此時凸輪將固定不動，從動件一方面隨其導路以-ω繞軸轉動，另一方面又相對其導路按預定的運動規律移動，從動件在這種復合運動中，其尖頂始終與凸輪輪廓相接觸，所以在此復合運動中，從動件尖頂的運動軌跡即為凸輪輪廓曲線。

如圖1所示為偏置直動滾子從動件盤形凸輪機構示意圖，將滾子中心B視為尖端從動件的尖端，則采用反轉法求得的尖端從動件盤形凸輪機構輪廓為滾子從動件盤形凸輪機構凸輪的理論輪廓。設凸輪以等角速度ω逆時針回轉，基圓半徑為r0，滾子從動件右偏于凸輪轉動軸心O，從動件要實現的運動規律為s=s(φ)。現以凸輪回轉中心建立直角坐標系Oxy，當凸輪轉過φ角時，滾子中心將外移s=s(φ)至點B′(x′,y′)，根據反轉法，將B′繞原點O沿凸輪轉動的反方向轉過φ角，從動件滾子中心B所在位置就是凸輪理論廓線上的一點。根據繞坐標原點轉動的構件上點運動前后的坐標關系，可得凸輪的輪廓坐標為

(1)

(2)

即

(3)

以上所得為凸輪滾子中心運動軌跡，即理論輪廓線η。以滾子半徑rr為半徑，作一系列的滾子圓，該圓簇的包絡線即為滾子從動件盤形凸輪的實際輪廓線η′。理論輪廓線上點B處的法線斜率為

(4)

式中：dx/dφ、dy/dφ可由式(3)求得

(5)

故實際輪廓線上對應點的坐標可按式(6)計算，式中加減號用于分別求解滾子圓的內外包絡線。

(6)

1.2基圓與壓力角的設計

壓力角α是表征凸輪機構受力情況的一個重要參數，而凸輪輪廓上不同點處的壓力角各不相同的，凸輪尺寸的大小取決于凸輪基圓半徑的大小，凸輪機構的壓力角與基圓半徑大小直接相關，因此設計時必須加以考慮。

當凸輪逆時針轉動，從動件右偏時，壓力角α、偏距e和基圓半徑r0存在著如下關系：

(7)

為保證凸輪機構正常旋轉，應使最大壓力角αmax小于臨界壓力角αC，則有

(8)

由式(8)可知要確定最小的基圓半徑，就要找到式右邊的最大值[7]。

2　凸輪輪廓曲線的數學模型

凸輪的輪廓曲線是由推桿的運動規律來決定的，典型的凸輪輪廓曲線由4 部分組成，即推程、遠休止、回程和近休止。針對實際工程項目中設計需要，需對物料輸送過程采用凸輪機構實現，現提出該凸輪機構設計要求如下所述：

(1)凸輪運動過程嚴格無沖擊力產生，傳動平穩。

(2)凸輪外形直徑不能超過450mm，額定轉速為60r/min，逆時針方向轉動。

(3)從動件推出行程為120mm，推出角度范圍為0～180°。

(4)從動件的運動規律為推程快，回程慢。

進行從動件運動規律設計時，應從兩方面考慮：一是從動件的速度幅值vmax要盡量小；二是從動件的加速度幅值αmax要盡量小，且無突變。結合表1，綜合考慮該項目中從動件的實際工作情況，在此選用組合擺線運動規律。

表1　若干種從動件運動規律特性比較[1]

凸輪機構設計時也采用典型的4部分過程，按實際情況，該凸輪機構為直動滾子從動件盤形凸輪機構。根據組合擺線運動規律的特點，推程階段和回程階段過程加速度曲線由3段不同時期的正弦加速度曲線拼接而成，可避免剛性和柔性沖擊。

凸輪機構要求中速重載，故設計從動件運動規律為：

(9)

(1)推程階段從動件運動方程

位移運動方程：

(10)

速度運動方程：

(11)

加速度運動方程：

(12)

式中：Φ為推程運動角；φ為凸輪的回轉角；h為從動件的升程；ω為凸輪的旋轉角速度；s、v、a分別為凸輪轉過φ角時從動件的位移、速度和加速度。

(2)遠休止階段從動件運動方程

遠休止階段凸輪旋轉的角度為Φs，此時從動件靜止不動，其位移仍為h，速度和加速度均為零。

(3)回程階段從動件運動方程

位移運動方程：

(13)

速度運動方程：

加速度運動方程：

(15)

(4)近休止階段從動件運動方程

近休止階段凸輪旋轉的角度為Φs′，此時從動件靜止不動，其位移、速度和加速度都為零。

3　基于Matlab和Pro/E凸輪輪廓曲線的精確設計

Matlab軟件是一種強大的數據處理軟件，利用Matlab軟件進行凸輪輪廓曲線的精確輔助設計以及從動件的運動仿真，可以大大減小由大量公式帶來的計算工作量大的問題。為了實現凸輪的參數化設計，便于修改，使用Matlab編程時借用了M腳本文件編寫函數，從而進行函數的調用。.m文件工作方式將要執行的命令直接采用Matlab命令編寫，全部寫在一個文本文件中，便于對程序的修改與維護，增強了程序的交互性。最后利用Matlab軟件的繪圖命令繪制凸輪機構的輪廓曲線和從動件的位移、速度、加速度曲線，其具體設計流程圖如圖2所示。

3.1基于Matlab的凸輪輪廓曲線程序設計

根據實際工程項目的需求，所設計的凸輪為直動滾子從動件盤形凸輪機構，其工作條件為中速重載，凸輪以等角速度ω=60r/min逆時針方向旋轉，基圓半徑r0=70mm，滾子半徑rr=15mm，凸輪的推程運動角為120°，滾子按組合擺線運動規律上升到最遠處，升程h=120mm；接著滾子不動，凸輪的遠休止角為30°；凸輪的回程運動角為180°，滾子按組合擺線運動規律下降至最近處；最后滾子不動，凸輪的近休止角為30°。

根據從動件的運動規律，利用Matlab語言編寫程序，以推程和遠休止階段為例(回程和近休止階段同理)，見圖3所示。

%設置基本參數符號：de1為推程運動角;de2為遠休止角;de3為回程運動角;de4為近休止角;r0為基圓半徑;h為升程;w為凸輪角速度；S為位移;V為速度;J為加速度;X為理論輪廓線上點的x軸坐標;Y為理論輪廓線上點的y軸坐標;Z為理論輪廓線上點的z軸坐標

function[X,Y,Z,S]=tl(de1,de2,de3,de4,r0,h,w)

%%升程階段(位移-速度-加速度-點坐標)

%升程階段1

A1=4*pi^2*h/((4+pi)*de1^2);

S0=r0;

D1=0:0.01:de1/8;

S1=A1*de1/(4*pi).*D1-A1*de1^2/(16*pi^2).*sin(4*pi/de1.*D1);

X1=sin(D1).*(S0+S1);

Y1=cos(D1).*(S0+S1);

Z1=0.*D1;

V1=A1*de1/(4*pi)*w-A1*de1/(4*pi)*w.*cos(4*pi/de1.*D1);

J1=A1*w^2.*sin(4*pi/de1.*D1);

%升程階段2

D2=de1/8:0.01:7*de1/8;

S2=A1*de1^2/(2*pi^2)+A1*de1/(4*pi).*D2-9*A1*de1^2/(16*pi^2).*sin(4*pi/3/de1.*D2+pi/3);

X2=sin(D2).*(S0+S2);

Y2=cos(D2).*(S0+S2);

Z2=0.*D2;

V2=A1*de1/(4*pi)*w-3*A1*de1/(4*pi)*w.*cos(4*pi/3/de1.*D2+pi/3);

J2=A1*w^2.*sin(4*pi/3/de1.*D2+pi/3);

%升程階段3

D3=7*de1/8:0.01:de1;

S3=A1*de1^2/pi^2+A1*de1/(4*pi).*D3-A1*de1^2/(16*pi^2).*sin(4*pi/de1.*D3);

X3=sin(D3).*(S0+S3);

Y3=cos(D3).*(S0+S3);

Z3=0.*D3;

V3=A1*de1/(4*pi)*w-A1*de1/(4*pi)*w.*cos(4*pi/de1.*D3);

J3=A1*w^2.*sin(4*pi/de1.*D3);

%%遠休止階段(位移-速度-加速度-點坐標)

D4=de1:0.01:de1+de2;

S4=h.*ones(1,size(D4,2));

X4=sin(D4).*(S0+S4);

Y4=cos(D4).*(S0+S4);

Z4=0.*D4;

V4=0.*ones(1,size(D4,2));

J4=0.*ones(1,size(D4,2));

按照上述程序，運行Matlab程序，調用該函數tl：

[X,Y,Z,S]=tl(2*pi/3，pi/6，pi，pi/6，0.07，0.12，2*pi)

繪制凸輪機構的輪廓曲線和從動件的位移、速度、加速度曲線，如圖4所示。

根據設計要求，凸輪運動軌跡無沖擊力產生，傳動平穩，凸輪運動規律采用組合擺線形式進行設計運行過程中最大速度0.633 4m/s，最大加速度5.970 2m/s2。如果按照等加速等減速進行設計，起點、中間過渡和終點處加速度會出現跳躍，產生沖擊，按這種運動規律設計，其最大速度和最大加速度按下式計算：

(16)

(17)

計算得最大速度0.72m/s，加速度4.32m/s2。結合實際運動，從動件部分慣量還是很大。因此設計時主要按照以下兩個方面進行約束：從動件的速度幅值要盡量小；從動件的加速度幅值要盡量小，且無突變。所以權衡之下，選擇組合擺線形式的運動，無沖擊出現，滿足設計要求。

3.2基于Pro/E的凸輪三維實體設計

為了提高凸輪輪廓曲線的設計精度和效率，前一節已根據凸輪旋轉角度和凸輪與從動件接觸點位移變化的關系式計算模擬得到了凸輪的理論輪廓線，而Pro/E可利用其強大的曲線建模功能，進行凸輪輪廓曲線的精確設計，最終完成凸輪的三維實體設計。

運行編制程序后，通過命令“savetl.iblS-ascii”將理論輪廓線上點的坐標保存并生成tl.ibl文件，將Matlab生成的“tl.ibl”文件在記事本中打開，然后再更改文件的開頭，添加幾行Pro/E可讀取的關鍵字：open；arclength；beginsection；begincurve，如圖5所示。

修改后的tl.ibl文件中保存了理論輪廓點的坐標，將其導入Pro/E中，即可生成光滑連續的輪廓曲線。具體步驟為：插入—模型基準—曲線—自文件，打開tl.ibl文件，則生成凸輪理論輪廓曲線，然后把理論輪廓曲線在該點的法線方向左右各偏離滾子半徑距離rr=15mm，即得凸輪工作槽的輪廓曲線，然后通過拉伸生成凸輪基體，以曲線輪廓切除生成滾子工作的曲線槽，如圖6所示。

4　結語

凸輪輪廓形狀取決于從動桿的運動規律，復雜的運動形式使得凸輪輪廓線的設計變得極為困難，且精度難以達到實際要求。通過Matlab和Pro/E的結合應用，利用已有的理論曲線函數在Matlab中編程生成點的坐標，然后導入Pro/E軟件中，生成具有光滑連續輪廓線的凸輪，從而提高了凸輪三維建模的效率，所建精確三維模型也為后續凸輪的虛擬裝配、運動仿真及動力學分析、有限元分析和數控加工奠定了良好的基礎。

[1]魏兵，喻全余. 機械原理.2版.武漢：華中科技大學出版社, 2011.

[2]方芳.基于SolidWorks的平面凸輪設計系統研究. 成都：西南交通大學, 2007.

[3]周建新，豈興明.MATLAB從入門到精通. 2版.北京：人民郵電出版社, 2012.

[4]林清安. 完全精通Pro/ENGINEER零件設計基礎入門. 北京：電子工業出版社, 2010.

[5]王東. 基于Pro/E關系式的凸輪輪廓曲線精確設計. 機械設計, 2010, 27(8):31-34.

[6]李霞, 劉本學, 張三川. 基于MATLAB軟件的凸輪輪廓曲線設計及從動件運動學仿真. 中原工學院學報, 2012, 23(1):41-43,78.

[7]高超樓,張明成. 適用于凸輪機構數字化設計的基圓半徑與偏距的分析. 機械研究與應用, 2008, 21(2):65-67,71.

(編輯譚弘穎)

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DesignofcamprofilecurveandkinematicssimulationbasedonMatlabandPro/E

XIAOBangdong,HUANGHao,XUZhong

(CollegeofMechanicalScienceandEngineering，HuazhongUniversityofScienceandTechnology，Wuhan430074,CHN)

Takingthestraightmovingrollerfollowerdiskshapedcammechanisminapracticalprojectasanexample,accordingtothedesignrequirement,weestablishedthemathematicalmodelofcamcontourcurveandutilizedMatlabtorealizecamprofilecurveofpreciseaideddesignandfollowermotionsimulation,camcontourpointcoordinatesgeneratedwereimportedtoPro/E,Eventually,werealizedthedesignofcomplicatedthree-dimensionalmodelingofthecam.Theprocessprovidesasimpleandaccuratemethodforthedesignofthecamprofile.

camprofile;Matlab;aideddesign;Pro/E

TP391

A

肖幫東，男，1991年生，研究生在讀，主要研究方向為機電一體化和數控技術。

2014-11-13)

160212

*國家自然科學基金項目面上項目( 51175207)