關(guān)于時(shí)標(biāo)上的適應(yīng)△分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

趙大方， 游雪肖， 程　艦

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石　435002)

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關(guān)于時(shí)標(biāo)上的適應(yīng)△分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

趙大方， 游雪肖， 程艦

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石435002)

引入了具有單位算子的時(shí)標(biāo)上的適應(yīng)△分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，討論了該導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)， 改進(jìn)和推廣了有關(guān)適應(yīng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的相應(yīng)結(jié)論．

分?jǐn)?shù)階微積分；適應(yīng)△分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；時(shí)標(biāo)

0　引言

分?jǐn)?shù)階微積分是指對函數(shù)進(jìn)行任意的實(shí)數(shù)次求積分或者求導(dǎo)數(shù)，至今已有300多年的歷史. 然而在初期，由于缺乏應(yīng)用背景支撐等多方面的原因，它并沒有得到較多的關(guān)注和研究．隨著自然科學(xué)和社會科學(xué)的發(fā)展、復(fù)雜工程應(yīng)用需求的增加，尤其是20世紀(jì)七八十年代以來對分形和各種復(fù)雜系統(tǒng)的深入研究，分?jǐn)?shù)階微積分理論及其應(yīng)用開始受到廣泛關(guān)注．進(jìn)入21 世紀(jì)以來，分?jǐn)?shù)階微積分建模方法和理論在高能物理、系統(tǒng)控制、經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域有了若干非常成功的應(yīng)用，凸顯了其獨(dú)特優(yōu)勢和不可代替性，其理論和應(yīng)用研究在國際上已成為一個(gè)熱點(diǎn)[1～7]．

然而，該理論也存在一些不足，比如分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義雖然多達(dá)幾十種，但與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)相比，大多數(shù)僅滿足線性運(yùn)算法則，函數(shù)乘積、除法、鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則皆不滿足. 2014年， Khalil 等人在[8]中提出了conformable fractional derivative 的概念，隨后文獻(xiàn)[9～12]進(jìn)行了相關(guān)討論，尤其在[12]中，Nadia Benkhettou 等人討論了時(shí)標(biāo)上的conformable fractional derivative. 然而，該定義雖然滿足上述運(yùn)算法則，但它不具有單位算子. 本文引入了具有單位算子的時(shí)標(biāo)上的適應(yīng) △分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，從而改進(jìn)和推廣了上述文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)論．

1　預(yù)備知識

為方便起見，首先介紹時(shí)標(biāo)理論的基本概念和性質(zhì).

定義1[15]設(shè)函數(shù)f:T→，t∈Tk, 如果對任意的ε>0，存在t的一個(gè)小鄰域U，當(dāng)s∈U 時(shí)，都有

|fσ(t)-f(s)-f△(t)(σ(t)-s)|≤|σ(t)-s|

則稱f△(t)是f在t點(diǎn) 的 △導(dǎo)數(shù)，此時(shí)稱f在t點(diǎn) 是 △可微的.

定義2[12]設(shè)函數(shù)f:T→，t∈Tk，α∈(0,1] . 如果對任意的ε>0，存在t的一個(gè)小鄰域U，當(dāng)s∈U時(shí)，都有

|(fσ(t)-f(s))t1-α-Tα(f△)(t)(σ(t)-s)|≤ε|σ(t)-s|,

則稱Tα(f△)(t)是f在t點(diǎn) 的α階適應(yīng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，此時(shí)稱f在點(diǎn)t是α階適應(yīng)分?jǐn)?shù)階可微的.

2　適應(yīng)△分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

2016年，Benkhettou N，Hassani S，Torres D F M在文獻(xiàn)[12]中給出定義2及主要性質(zhì)，將文獻(xiàn)[8]中的相應(yīng)結(jié)果推廣到時(shí)標(biāo)上. 但是定義2并不具有單位算子，即

T0(f△)(t)≠f(t)

而且要求變量t≥0. 因此，該定義實(shí)際上是有缺陷的，本文通過引入調(diào)節(jié)函數(shù)h(α)修正了定義2，得到了具有單位算子的α階適應(yīng) △分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的概念，得到一些新的結(jié)論，不僅推廣了[12]中的主要定理，而且有利于進(jìn)一步討論適應(yīng)△ 分?jǐn)?shù)階積分、泰勒級數(shù)、自伴適應(yīng)方程以及Sturm-Liouville 適應(yīng)微分方程等有關(guān)內(nèi)容.

規(guī)定調(diào)節(jié)函數(shù)h(α) 正值、連續(xù)且滿足limα→0+h(α)=1, limα→1-h(α)=0.

定義3設(shè)函數(shù)f:T→，t∈Tk,α∈(0,1]， 如果對任意的ε>0，存在t的一個(gè)小鄰域U，當(dāng)s∈U時(shí)，都有

|h(α)f(t)(σ(t)-s)+(1-h(α))(fσ(t)-f(s))t1-α-Tα(f△)(t)(σ(t)-s)|≤ε|σ(t)-s|

則稱函數(shù)Tα(f△)(t)是f在點(diǎn)t的α階適應(yīng) △分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，此時(shí)稱f在點(diǎn)t是α階適應(yīng) △分?jǐn)?shù)階可微的. 顯然，其單位算子T0(f△)(t)=f(t)，并且有T1(f△)(t)=f△(t).

下面我們給出α階適應(yīng) △分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的有關(guān)性質(zhì).

定理1設(shè)函數(shù)f:T →，t∈Tk,α∈(0,1].

1) 若f在點(diǎn)t是α階適應(yīng) △分?jǐn)?shù)階可微的，則f在點(diǎn)t是連續(xù)的.

2) 若f在點(diǎn)t連續(xù)且t是右離散的，則f在點(diǎn)t是α階適應(yīng) △分?jǐn)?shù)階可微的且

3) 若點(diǎn)t是右稠密的，則f在點(diǎn)t是α階適應(yīng) △分?jǐn)?shù)階可微的，當(dāng)且僅當(dāng)極限

存在且有限. 此時(shí)有

證明1) 由定義顯然成立.

2) 假設(shè)f在點(diǎn)t連續(xù)且t是右離散的，由連續(xù)性可得

因此，對任意的的ε>0 ，存在t的一個(gè)小鄰域U，當(dāng)s∈U時(shí)，都有

3) 假設(shè) f在 點(diǎn)t是α階適應(yīng) △分?jǐn)?shù)階可微的，點(diǎn) t是右稠密的. 則對任意的 ε>0，存在t 的一個(gè)小鄰域U，當(dāng)s∈U時(shí)，都有

|h(α)f(t)(σ(t)-s)+(1-h(α))(fσ(t)-f(s))t1-α-Tα(f△)(t)(σ(t)-s)|≤ε|σ(t)-s|

由于σ(t)=t從而

|h(α)f(t)(t-s)+(1-h(α))(f(t)-f(s))t1-α-Tα(f△)(t)(t-s)|≤ε|t-s|

進(jìn)一步得到

對所有的s∈U，st都成立. 因此

另一方面，若極限

存在且有限，則對任意的ε>0，存在t的一個(gè)小鄰域 U，當(dāng)s∈U 時(shí)，都有

|h(α)f(t)(t-s)+(1-h(α))(f(t)-f(s))t1-α-J(t-s)|≤ε|t-s|

由于t是右稠密的，從而得到

|h(α)f(t)(σ(t)-s)+(1-h(α))(fσ(t)-f(s)t1-α-J(σ(t)-s)|≤ε|σ(t)-s|

因此，f在點(diǎn)t是α階適應(yīng) △分?jǐn)?shù)階可微的且

存在且有限. 此時(shí)有

若α=1 ，則Tα(f△)(t)=f△(t)=f'(t).

Tα(f△)(t)=h(α)f(t)+(1-h(α))(f(t+1)-f(t))t1-α

若α=1，則Tα(f△)(t)=f(t+1)-f(t)=△f(t)，其中 △為向前差分算子.

例2設(shè)函數(shù)f:T→，t∈Tk,α∈(0,1]，

1) 若f(t)=C，其中C∈是常數(shù)，則Tα(f△)(t)=Ch(α).

2) 若f(t)=t，則Tα(f△)(t)=h(α)t+(1-h(α))t1-α. 若α=1，則Tα(f△)(t)≡1.

定理2設(shè)函數(shù)f,g:T →在點(diǎn)t∈Tk是α階適應(yīng)△ 分?jǐn)?shù)階可微的，則有：

1) 對任意常數(shù)λ1,λ2，函數(shù)λ1f+λ2g:T →在點(diǎn)t∈Tk是α階適應(yīng) △分?jǐn)?shù)階可微的且

Tα((λ1f+λ2g)△)(t)=λ1Tα(f△)(t)+λ2Tα(g△)(t)

2) 若函數(shù)f和g連續(xù)，則fg:T →在點(diǎn)t∈Tk是α階適應(yīng) △分?jǐn)?shù)階可微的且

Tα(fg)△(t)=Tα(f△)(t)gσ(t)+f(t)Tα(g△)(t)-h(α)f(t)gσ(t)

或者

Tα(fg)△(t)=Tα(g△)(t)fσ(t)+g(t)Tα(f△)(t)-h(α)g(t)fσ(t)

證明 1) 由定義顯然成立.

2) 若t是右離散的，則由定理1 2)可得

Tα(f△(t)gσ(t)+f(t)Tαg△(t)-h(α)f(t)gσ(t)

若t是右稠密的，則由定理1 3)可得

Tα(f△)(t)gσ(t)+f(t)Tα(g△)(t)-h(α)f(t)gσ(t)

同理可得Tα(fg)△(t)=Tα(g△)(t)fσ(t)+g(t)Tα(f△)(t)-h(α)g(t)fσ(t).

從而得到

因此

4) 由定理2的2)和3)可得

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On conformable △ fractional derivative on time scales

ZHAO Da-fang， YOU Xue-xiao， CHENG Jian

(Colleg of Mathematics and Statistics，Hubei Normal University，Huangshi435002，China)

In this paper， we introduce and investigate the concept of conformable delta fractional derivative which has the identity operator on time scales. Basic properties of the theory are proved. This work extends the results on conformable fractional derivative.

fractional calculus；conformable △ fractional derivative；time scales

2016—02—21

湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究計(jì)劃青年人才項(xiàng)目(Q20152505).

趙大方(1982-)，男，講師，碩士，研究方向?yàn)镠enstock 積分理論.

O172.1

A

1009-2714(2016)02- 0021- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2016.02.005