基于變換光學的光學重疊效應

臧小飛,計學斌,朱亦鳴（上海理工大學上海市現代光學系統重點實驗室,上海 200093）

基于變換光學的光學重疊效應

臧小飛,計學斌,朱亦鳴
（上海理工大學上海市現代光學系統重點實驗室,上海 200093）

基于變換光學理論,提出了一種新型的各向異性均勻的壓縮變換介質。通過坐標變換,該壓縮變換介質將一片選定的均勻各向同性的自由物理空間“壓縮”至一個小的變換區域,并通過補償介質（ε=μ=—1）來補償除了壓縮區域之外的那片自由空間,以保持空間場分布的連續性。當兩個分離的點光源分別處于該壓縮變換介質之中的時候,它們能夠形成完美的光學重疊效應,即形成完美的光學相干效應。利用有效介質理論,可以進一步簡化變換介質參數,獲得各向同性均勻的壓縮變換介質實現光學重疊效應。該研究在高能相干激光中具有潛在的應用。

變換光學；光學重疊；有效介質理論

引 言

近十幾年來,超穎材料技術的發展,使得人們可以任意操控電磁波的振幅、偏振、相位以及傳播路徑等。該技術為人們探索新的物理機制,設計新的物理器件提供了一條嶄新的途徑。2006年Pendry等［1］和Leonhart［2］分別提出了一套精確調控電磁波的理論—變換光學理論。目前,變換光學為設計基于超穎材料的電磁波調控新器件提供了理論依據。利用變換光學方法并假設在虛擬彎曲空間中傳播的電磁波是沿著彎曲路線傳輸,那么我們就可以構建實際物理空間和虛擬彎曲空間的一一對應關系。根據麥克斯韋方程的變換不變性,在實際物理空間中獲得電磁波沿著彎曲路線傳輸所需要的變換介質,通過設置相應的變換介質實現電磁波的精確調控［3］。其中,隱身大衣作為變換光學的一個典型應用,在變換光學理論提出之初即引起了廣泛的研究,包括圓形隱身大衣、方形隱身大衣、橢圓形隱身大衣和任意形狀的隱身大衣［4-8］。此外,根據變換光學理論,人們還研究了波集中器、波旋轉器、波連接器、波分束器以及人工電磁黑洞等［9-13］。

最近,賴耘等基于變換光學和負折射材料提出了空間折疊原理,并由此設計出基于補償介質的外部隱身大衣［14］。與傳統隱身大衣不同,該類型的隱身大衣可以實現被隱藏的物體看到外界的物體,而電磁波卻探測不到被隱藏的物體?；诳臻g折疊原理,賴耘等又提出了幻覺變換介質,該介質可以實現將一個物體變換成另一個物體的光學幻覺效應（如將一個勺子變成一個杯子）［15］。同時,基于空間折疊原理,徐亞東等提出了基于補償介質理論的光學重疊效應（即反鏡像效應）,形成兩個形狀不同的物體的相互重疊幻覺效應［16］。此外,我們已在此基礎上實現了兩個形狀相同的物體的相互重疊幻覺效應,并實驗驗證光學完美相干效應［17-18］。到目前為止,以上報道的所有光學重疊效應均基于各向異性均勻或者非均勻介質實現,導致材料參數和實驗制備相當復雜。能否利用各向同性且均勻的變換介質獲得光學重疊效應是目前的一大挑戰。基于此,本文提出了另一類新型壓縮變換介質并結合有效介質理論,實現了層狀化的各向同性且均勻的變換介質并誘導產生光學重疊效應。

1　理論模型

圖1（a）為實現光學重疊效應所需的變換介質的結構示意圖及其仿真區域。區域Ⅰ-Ⅵ為壓縮介質區,區域Ⅶ為補償介質區:（1）區域AEEDC1B1被壓縮至區域ABCDC1B1,其中區域AEBB1被壓縮至區域Ⅱ中,區域EECC1B1B被壓縮至區域Ⅰ中,區域EDC1C被壓縮至區域Ⅵ中；（2）區域ABCDE1E1被壓縮至區域AEEDE1E1,其中區域ABEE1被壓縮至區域Ⅲ中,區域BCEE1E1E被壓縮至區域Ⅳ中,區域CDE1E被壓縮至區域V中；（3）由于區域ABCDEE被兩次壓縮進區域ABCDC1B1和區域AEEDE1E1中,所以區域Ⅶ必須設置補償介質來抵消其中兩次壓縮產生的空間重復。在直角坐標系下各點坐標為: A（—a—d,0）,B（—a,d）,C（a,d）,D（a+d,0）,E（a,—d）,E（—a,—d）,B1（—a,2d）,C1（a,2d）, E1（a,—2d）,E1（—a,—2d）,其中a=0.3 mm,d=0.3 mm。根據以上對壓縮區和補償介質區的描述,相應的變換方程滿足:

區域Ⅰ和Ⅳ:

區域Ⅱ和Ⅴ:

區域Ⅲ和Ⅵ:

區域Ⅶ:

其中“+”對應區域Ⅰ,Ⅱ或Ⅵ；“—”對應區域Ⅲ,Ⅳ或V。（x,y,z）為物理空間坐標,而（x′,y′,z′）為虛擬（被壓縮）空間坐標。根據變換光學原理,區域Ⅰ-Ⅶ對應的變換介質的電磁參數為:

區域Ⅰ和Ⅳ:

區域Ⅱ和Ⅴ:

區域Ⅲ和Ⅵ:

區域Ⅶ:

圖1　各向同性非均勻和各向同性均勻的層狀幻覺介質結構示意圖Fig.1　Schematic of the isotropic，inhomogenous and homogenous illusion media structure

在本文的討論中我們只考慮TM（橫磁）波和二維結構,由此各區域的電磁參數可以簡化為:區域Ⅰ和Ⅳ:

區域Ⅱ和Ⅴ:

區域Ⅲ和Ⅵ:

區域Ⅶ:

區域Ⅰ～Ⅵ中的電磁材料參數是針對均勻的各向異性材料,根據有效介質理論,各向異性均勻材料可以用對應的兩種交替排列的各向同性材料來替代（如圖1（b）所示）,若假設兩種各向同性材料的厚度相等,則有相應的介質參數:

2　結果及分析

通過COMSOL軟件計算,可以得到自由空間和存在壓縮幻覺介質時的磁場分布。圖2（a）給出了頻率為1 THz的TM波在45°斜入射情況下,自由空間和各向異性均勻幻覺介質（介質參數滿足式（9）～（12））中的磁場分布。圖2（b）給出相同頻率的TM波在45°斜入射情況下,在自由空間中傳播的磁場分布。由變換式（1）～（4）可知,自由空間Ⅰ、Ⅱ、Ⅵ和Ⅶ被壓縮進變換區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅵ,所以變換區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅵ包含了自由空間Ⅰ、Ⅱ、Ⅵ和Ⅶ中的場分布（即圖2（a）中區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅵ中的場等效于圖2（b）中黑色實線區域中的場）。同樣,變換區域Ⅲ、Ⅳ、V也包含了自由空間Ⅲ、Ⅳ、V和Ⅶ中的場分布（即圖2（a）中區域Ⅲ、V、Ⅵ中的場等效于圖2（b）中黑色虛線區域中的場）。由此可知,自由空間Ⅶ被同時壓縮進上下兩個變換介質區。為了保證空間的連續性,必須在區域Ⅶ中設置相應的補償介質（介質參數如式（8））,這樣,就能保證補償介質區域Ⅶ中的磁場分布傳播方向與外部自由空間上的磁場傳播方向正交。

圖2　有/無幻覺介質情況下的磁場分布Fig.2　Magnetic field distributions with/without the illusion media

比較圖2（a）和（b）,可以發現電磁波在透過變換幻覺介質后,其場分布和自由空間上傳播的電磁波完全一樣。此外,由于自由空間Ⅶ被同時壓縮進上下兩個變換介質區,所以壓縮區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅵ和壓縮區域Ⅲ、V、Ⅵ必將有部分區域是相互重疊的,其重疊部分表現在自由空間如圖2（b）中實線黑色區域和虛線黑色區域的交疊部分。根據這一特性,我們設計的幻覺變換介質可以實現光學重疊效應。

圖3（a）為自由空間中分別處于（0,0.5 mm）和（0,—0.5 mm）的兩個完全相同的點源的磁場分布（相應的振幅均為1 V,波長為0.33 mm）。從圖3（a）的磁場分布可以看出,分離的兩個完全相同的點源在自由空間上產生了相干效應（包括相長干涉和相消干涉）。圖3（b）為嵌入在移動介質Ⅰ區域（0,0.5 mm）處和Ⅳ區域（0,—0.5 mm）處的兩個完全相同的點源的磁場分布（相應的振幅均為1 V,波長為0.33 mm）。而圖3（c）為自由空間中處于（0,0）處振幅為2 V,波長為0.33 mm的單個點源的磁場分布。比較圖3（b）和圖3（c）可以發現,兩者在變換區域外的場分布完全一致。這表明圖3（b）兩個振幅均為1 V,波長為0.33 mm的分離的點源,在移動介質的作用下,全部移動至（0,0）處,并完全重疊在一起,等效于一個振幅為2 V,波長為0.33 mm的點源,實現了壓縮變換介質的完美光學重疊效應。

圖3　不同介質中的點源磁場分布Fig.3　Magnetic field distributions with different conditions

由于很難找到各向異性均勻的介質實現以上所述的完美光學重疊效應,為此從實際應用角度出發進一步簡化介質參數。根據第一部分的討論,結合坐標變換和有效介質理論,將原先的各向異性均勻的介質變換成各向同性均勻的層狀介質,以符合實際應用。圖4（a）為各向同性均勻的層狀變換壓縮介質產生的光學重疊效應,嵌入在層狀移動介質I區域（0,0.5 mm）處和Ⅳ區域（0,—0.5 mm）處的兩個完全相同的點源（振幅為1 V,波長為0.33 mm）的磁場分布等效于圖4（b）中自由空間中處于（0,0）處振幅為2 V,波長為0.33 mm的單個點源的磁場分布。這表明,我們所設計的層狀各向同性均勻的變換壓縮介質同樣可以實現完美光學重疊效應。

圖4　層狀幻覺介質和自由空間上的點源磁場分布Fig.4　Magnetic field distributions in the layered illusion media and the free space

3　結 論

通過變換光學理論及基于坐標變換,我們設計了一類壓縮變換介質。利用該壓縮變換介質,我們實現了兩個點光源的空間完美相干效應（相長相干）。通過將坐標變換和有效介質結合,實現了各向同性均勻的層狀壓縮變換介質。經COMSOL數值仿真,對壓縮變換介質形成的光學完美相干效應/光學重疊效應進行了驗證。

［1］ PENDRY J B,SCHURIG D,SMITH D R.Controlling electromagnetic fields［J］.Science,2006,312（5781）:1780-1782.

［2］ LEONHART U.Optical conformal mapping［J］.Science,2006,312（5781）:1777-1780.

［3］ SCHURIG D,PENDRY J B,SMITH D R.Calculation of material properties and ray tracing in transformation media［J］.Optics Express,2006,14（8）:9794-9804.

［4］ IYSIC B,SIPUS Z,HRABAR S.Analysis of uniaxial multilayer cylinders used for invisible cloak realization［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation,2009,57（5）:1521-1527.

［5］ JIANG W X,CUI T J,YU G X,et al.Arbitrarily elliptical-cylindrical invisible cloaking［J］.Journal of Physics D:Applied Physics, 2008,41（8）:085504.

［6］ LI C,YAO K,LI F.Two-dimensional electromagnetic cloaks with non-conformal inner and outer boundaries［J］.Optics Express, 2008,16（23）:19366-19374.

［7］ LI W,GUAN JG,SUN Z G,et al.A near perfect invisibility cloak constructed with homogeneous materials［J］.Optics Express,2009, 17（26）:23410-23416.

［8］ HAN T C,QIU C W,TANG X H.The general two-dimensional open-closed cloak with tunable inherent discontinuity and directional communication［J］.Applied Physics Letters,2010,97（12）:124104.

［9］ CHEN H Y,CHAN C T.Transformation media that rotate electromagnetic fields［J］.Applied Physics Letters,2007,90（24）:241105.

［10］ RAHM M,SCHURIG D,ROBERTSD A,et al.Design of electromagnetic cloaks and concentrators using form-invariant coordinate transformations of Maxwell's equations［J］.Photonics and Nanostructures-Fundamentals and Applications,2008,6（1）:87-95.

［11］ RAHM M,CUMMER S A,SCHURIG D,et al.Optical design of reflectionless complex media by finite embedded coordinate transformations［J］.Physical Review Letters,2008,100（6）:063903.

［12］ ZHANG K,WU Q,MENG F Y,et al.Arbitrary waveguide connector based on embedded optical transformation［J］.Optics Express, 2010,18（16）:17273-17279.

［13］ CHEN H Y,MIAO R X,LI M.Transformation optics that mimics thesystem outside a Schwarzschild black hole［J］.Optics Express, 2010,18（14）:15183-15188.

［14］ LAI Y,CHEN H Y,ZHANG Z Q,et al.Complementary media invisibility cloak that cloaks objects at a distance outside the cloaking shell［J］.Physical Review Letters,2009,102（9）:093901.

［15］ LAI Y,NG J,CHEN H Y,et al.Illusion optics:the optical transformation of an object into another object［J］.Physical Review Letters,2009,102（25）:253902.

［16］ XU Y D,DU S W,GAO L,et al.Overlapped illusion optics:a perfect lens brings a brighter feature［J］.New Journal Physics,2011,13（2）:023010.

［17］ ZANG X F,JIANG C.Overlapped optics,illusion optics,and an external cloak based on shifting media［J］.Journal of the Optical Society of America B,2011,28（8）:1994-2000.

［18］ LI JJ,ZANG X F,MAO J F,et al.Overlapped optics induced perfect coherent effects［J］.Scientific Reports,2013,3:3569.

（編輯:劉鐵英）

Overlapped optics based on transformation optics

ZANG Xiaofei,JI Xuebin,ZHU Yiming
（Shanghai Key Laboratory of Modern Optical System,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China）

In this paper,based on transformation optics,a new anisotropic and homogenous compressible transformation media is proposed.By using the coordinate transformation,such compressible transformation media can be able to compress the selected isotropic and homogenous free space into a small transformation regime.Meanwhile,the corresponding compensating medium（ε=μ=—1）is introduced into the selected free space（except for the transformation regime）in order to keep the continuity of the field distribution.When two separated point sources embedded in such a transformational media,all of them can overlap with each other,leading to the perfect optical interference effect.By using the effective medium theory,such transformational media can be further simplified,and an isotropic and homogenous compressible transformation media is obtained to realize the overlapped optics. Our investigation may have potential application in high power coherent laser beams.

transformation optics；overlapped optics；effective medium theory

TN 2

A

10.3969/j.issn.1005-5630.2016.02.007

1005-5630（2016）02-0128-06

2015-10-08

國家重大基礎研究項目973計劃（2014CB339806）；國家自然科學基金（61307126,61138001）；上海市教委科研創新項目（14YZ093）

臧小飛（1981—）,男,副教授,主要從事太赫茲器件方面的研究。E-mail:xfzang@usst.edu.cn

朱亦鳴（1979—）,男,教授,主要從事太赫茲技術方面的研究。E-mail:ymzhu@usst.edu.cn