圍繞核心知識點對梳理材料力學課程結構主線條的研究

胡瑋軍

（邵陽學院 機械與能源工程系，湖南 邵陽　422000）

圍繞核心知識點對梳理材料力學課程結構主線條的研究

胡瑋軍

（邵陽學院 機械與能源工程系，湖南 邵陽422000）

通過對材料力學課程中核心知識點“平面假設”的深入分析，闡述了課程結構中的主線條。在推導基本變形公式時，遵循主線條，統一方法，從運動規律去揭示變形規律，從運動形式去判斷內力性質，將動力學原理與變形原理緊密結合在一起，這種教學方法使學生比較容易理解變形協調關系，對基本變形中的應力分布性質會有更深入的理解。

材料力學；平面假設；應力；變形；位移

材料力學課程體系復雜，理論深入、公式眾多，歷來是學生感到比較難學的一門課程。筆者在長期的教學實踐中逐漸認識到提煉出課程的核心理論，并由此核心部分通過歸納、演繹，建立課程的結構框架，梳理出課程主線條，提高學生對課程的整體認知和把握，這種教學方法對提高教學質量是非常有幫助的。

材料力學中的許多公式都是基于平面假設而推出來的，對于細長桿而言，在此基礎上推導出來的公式，其精確度可以滿足工程一般要求，由于平面假設簡化了橫截面各點之間的變形協調關系，使得推導橫截面應力公式大為簡化，故在材料力學現有課程體系中，平面假設是一個貫穿整個課程的知識點，是課程的核心理論。筆者在教學實踐中，突出強調平面假設在課程結構中的核心作用，將各種基本變形進行類比，在推導基本變形公式時，統一方法，梳理出課程的主線條——從運動規律去揭示變形規律，從運動形式去判斷內力性質，將動力學原理與變形原理緊密結合在一起，這種教學方法使學生比較容易理解變形協調關系，對基本變形中的應力分布性質有更深入的理解。

1　平面假設的內涵

平面假設是指桿在受力產生變形時，桿的橫截面上各點始終保持為一個平面。桿在承受載荷時，位移通常是比較復雜的情形，而平面假設理論的提出，可以大大簡化各點的變形協調關系，成為材料力學各應力公式推導的關鍵環節。筆者在課堂教學對基本變形的公式推導中，始終圍繞從橫截面的運動特點出發，進而推理出作用在橫截面上的力的性質，引導學生從力與運動之間的動力學規律去理解位移及變形，再利用平衡方程推導出應力公式。

2　變形與位移

變形和位移的概念容易混淆。變形是指彈性體在外力作用下產生尺寸和形狀的變化。位移是指物體（質點）空間位置的變化。物體中各質點在外力等因素作用下必將產生相應位移（在變形體力學中通常不考慮剛體的位移）。由于約束的存在，各質點的位移必將受到某種限制，即位移要滿足變形協調關系，變形和位移往往是不同的，這種協調關系通常是非常復雜的。

3　彈性體變形的基本規律

首先定義作用在桿件上的力為廣義力，它可以是一個力、一個力偶、一對力或一對力偶，其產生的位移定義為廣義位移，可以是一個線位移、一個角位移、相對線位移或相對角位移。

對于材料力學中研究的線彈性體而言，力和變形之間的關系符合胡克定律，即：

其中F為廣義力，δ為廣義位移，C為彈性體的剛度。在不同的變形形式中，廣義力、廣義位移以及彈性體的剛度的具體定義有所不同而已。

4　橫截面在桿件基本變形中的運動分析

根據平面假設，桿件的變形是由于橫截面產生了相對位移，并且在位移過程中各點始終位于同一個平面。下面具體分析幾種基本變形中的情況：

（1）軸向拉伸（壓縮）變形中，受一對拉力（或壓力）作用，橫截面產生相對平移，其上各點產生的位移是相同的，因而各點所處新的位置仍能保證在一個平面上。由理論力學動量守恒原理可以確定，由于橫截面是平移運動，橫截面內力向形心簡化只會得到一個主矢（力），而沒有主矩（力偶）存在，則式（1）中的廣義力即為軸力。因而在橫截面上也只可能存在一種應力（正應力），且在橫截面上是均勻分布的，由平衡方程可以簡單表示為：F=σA。

則拉壓變形應力公式為

軸向拉壓變形中正應力與正應變的關系為σ=Eε，由式（2）即可推出式（1）中廣義位移即為應變（相對變形）ε，而剛度定義則為。

（2）扭轉變形中，桿件受到一對作用線與桿軸線平行的相對力偶作用，從實驗觀察中可以確定橫截面產生了繞軸線的轉動。由動力學動量矩守恒原理知道物體產生轉動是由于有力偶（且只能是力偶）的作用，橫截面上內力向形心簡化就只得到一個軸線方向的力偶（扭矩），即知式（1）中的廣義力為扭矩。由于桿的軸向長度沒有發生變化，故在橫截面上不可能存在正應力，只有切應力存在。同一橫截面上各點轉角大小和轉向是相同的，因而切應力的分布應該與點到圓心的半徑成正比，并且對形心產生的轉動是同向的。切應力在橫截面上對圓心產生的力矩合成結果就是作用在橫截面上的扭矩，即平衡方程為

圖1　扭轉變形

從圖1微元扭轉變形中可以看出，橫截面扭轉角與切應變的關系為，應力應變關系為т=Gγ，將上述關系代入式（4），如果令，扭轉變形切應力公

式為：

比較式（1）和式（4），則可得廣義位移，扭轉剛度為。

（3）平面純彎曲變形中，梁受到一對作用線與梁軸線垂直的相對力偶作用，導致橫截面產生相對于某條與軸線垂直的直線（中性軸）的相對轉動，橫截面上分布內力（應力）只能合成簡化為一個中性軸方向的力偶，即知式（1）中的廣義力為彎矩。由于要使橫截面上各點轉動時始終保持在同一個平面上，各點繞中性軸轉動的轉角是相等的，則應力方向只能垂直橫截面，且在中性軸兩側是反向的，即橫截面上只能存在正應力且位于中性軸兩側的應力方向是相反的，因而各點的位移與到中性軸的距離成正比。橫截面上正應力合成為繞中性軸轉動的彎矩，彎曲變形的平衡方程為：

圖2　彎曲變形

由圖2微元的變形圖中可以得出：d=（Δx）=ydθ，線段的應變為，由應力與應變的關系可得：σ=Eε=Ey，即可推出。將上述等式代入式

綜上所述，從平面假設出發，桿在載荷作用下產生的變形，是由于橫截面的運動所導致的。軸向拉伸（壓縮）時橫截面產生平行移動，各點產生相同線位移，故只有正應力存在。扭轉和彎曲變形時，橫截面發生的是轉動，但是轉動軸有所不同，扭轉時的轉動軸是桿的軸線，各點是在原平面內轉動，軸線方向沒有線位移，只有在原平面上存在角位移，故只有切應力存在；彎曲時橫截面的轉動軸是中性軸，各點變形后所在的平面偏離了原平面，與原橫截面平面產生了一個轉角，因而各點在軸向方向上有線位移，而原平面形狀沒有變化，故只產生正應力而沒切應力。

利用平面假設去分析推導各種基本變形的應力分布和計算公式的思路是相同的，即首先確定橫截面的運動；再由此推斷橫截面上的內力性質，橫截面平移則內力合成為一個力，若橫截面轉動則內力合成為一個力偶；最后根據橫截面運動特點，分析各點位移的協調關系，利用胡克定律將物理關系代入，可推出各種變形的應力計算公式，這是材料力學課程中最基本的方法，也是課程的主線條。這種方法不光在推導基本變形公式中采用，而且可以運用到實際問題中，對工科學生來說比較容易理解，也容易構建課程體系的整體結構，學生普遍反映采用這種方法進行教學效果良好。

［1］劉鴻文.材料力學玉［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［2］胡瑋軍，周東一.試論理論力學中的兩條主線［J］.中國電力教育，2013，（263）.

Around Core Knowledge Point to Sort out Main Structure of the Course of Mechanics of Materials

HU Wei-jun
（Department of Mechanical and Energy Engineering，Shaoyang College，Shaoyang，Hunan 422000，China）

Through ana1ysis of the core know1edge point of hypothesis of p1ane mechanism'in mechanics of materia1s course，this paper exp1ains the main structure of the course.When deducting the basic deformation formu1a，fo11owing the main structure，exposing deformation ru1e from the motion ru1e，judging interna1 force property from motion form and combining princip1e of dynamics with deformation princip1e makes it easier for the students to understand the stress distribution nature.

mechanics of materia1s；hypothesis of p1ane mechanism；stress；deformation；disp1acement

G642

A

2095-980X（2016）03-0100-02

2016-01-22

本文系2014年邵陽學院專業綜合改革試點教學改革研究專項（2014ZJG06）的研究成果。

胡瑋軍（1967-），女，湖南邵陽人，副教授，主要研究方向：工程力學。