一類黎卡提方程逼近解的求法

吳　潔，胡　農（天津中德職業技術學院 基礎課部，天津 300350）

一類黎卡提方程逼近解的求法

吳潔，胡農
（天津中德職業技術學院 基礎課部，天津 300350）

摘要：首先，針對一類特殊的黎卡提方程，提出一種求其逼近解的方法，得到了該方程逼近解的表達式.其次，基于該方法，并利用換元法，得到了另一類黎卡提方程的逼近解.最后，討論了逼近解的收斂性問題.

關鍵詞：黎卡提方程；逼近解；待定函數；換元法；收斂性

對于一階微分方程y′=f（x，y），設右端函數f（x，y）為一個關于y的二次多項式，該方程可表示為

其中：函數p（x）、q（x）和r（x）在區間I上連續，而且p（x）≠0.方程（1）即為黎卡提方程.

黎卡提方程是形式最簡單的非線性方程.Liouville已證明它不能用初等積分法求解［1］.許多學者從不同角度對黎卡提方程進行了研究.文獻［2］在已知黎卡提方程特解的條件下，利用變量變換得到了其通解.文獻［3］給出了周期系數黎卡提方程存在周期解的一個充分條件.文獻［4］通過定義黎卡提方程的廣義反射函數尋找其周期解，并分析了周期解的穩定性.文獻［5］探討了二階變系數線性微分方程和黎卡提方程之間的內在聯系.文獻［6］通過齊次平衡原理和G′/G展開法求解黎卡提方程，得到了滿足一定條件的黎卡提方程的G′/G解.本研究針對一類特殊的黎卡提方程，得到了其逼近解的表達式，并討論了逼近解的收斂性問題.

1　逼近解的求解方法

考慮如下形式的黎卡提方程：

函數序列｛f（nx）｝滿足

r2n+1=0.具體推導過程如下：

設y=（fx）+g（x）/y1為方程（2）的解，將其代入方程（2）并化簡，則有

將上式變形為關于y1的方程，可得

為使方程（2）和方程（4）的形式相同，設g（x）=x（1+ rx），將g（x）代入方程（4），則方程（4）變為

設（fx）=mx+n（m、n待定），將（fx）代入方程（5），則方程（5）變為

為使方程（2）和方程（6）的形式相同，令an+cn2=0，即n=-a/c，代入方程（6），則方程（6）變為

當m=-ar/c時，將其代入方程（7），則方程（7）變為

設a1=a-1，b1=-b+2ar-2r，c1=s+（ar-a2r+ab）/c，則方程（8）變為

可以看出方程（2）和方程（9）形式相同，而此時

因此有y=（fx）+g（x）/y1=-ar/cx-a/c+x（1+rx）/y1，故cy=-a（1+rx）+cx（1+rx）/y1.類似前面方法，可設y1=f（1x）+g（1x）/y2，重復上述過程，可得

其中：常數列｛an｝、｛bn｝滿足：

令c0=c，由數學歸納法不難得到

由此可得方程（2）的逼近解為式（3）.

當m=-b/c時，同理可得方程（2）與cy=f（0x）類似的逼近解.

下面考慮黎卡提方程

將x、y、y′代入方程（10）并化簡，可得

方程（11）即是方程（2）在r=-1時的情形，由方程（2）的逼近解式（3）可得方程（11）的逼近解，進而得到方程（10）的逼近解為

函數序列｛g（nx）｝滿足

其中：αn=-a+n；γ2n=sc+（a-n）（b-n），γ2n+1=sc+ （n+1）（b-a+n+1）.

2　逼近解的收斂性

對于序列

的連分式c0.對于序列（13）的連分式c0，有如下結論.

下面討論方程（10）的逼近解式（12）的收斂性.

當n=2k-1時，有

3　結語

本研究針對一類特殊的黎卡提方程，得到了其逼近解的表達式，并討論了逼近解的收斂性問題.在一些特殊的情況下，由本研究結果可得到方程（2）的特解，如當a=1，b=-1，c=1，s=1，r=0時，方程（2）為x（1+x）y′+（1-x）y+y2=x（1+x），這時由式（3）可得y=-x-1即為該方程的特解，而在已知方程特解的情況下，可通過換元法將黎卡提方程變為伯努利方程，進而利用初等積分法得到方程的通解.

參考文獻：

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（責任編校馬新光）

第一作者：吳潔（1965—），女，副教授，主要從事計算數學方面的研究.

文章編號：1671-1114（2016）01-0040-08

中圖分類號：O175.1

文獻標志碼：A

收稿日期：2015-03-14

A method for finding approximate solutions for a type of Riccati equations

WU Jie，HU Nong
（Basic Courses Department，Tianjin Sino-German Vocational Technical College，Tianjin 300350，China）

Abstract：Firstly，A method for finding approximate solutions for a type of Riccati equations is presented，and the expression of the approximate solution is obtained.Secondly，by using the method of substitution，the approximate solution of another type of Riccati equations is given based on the method.Finally，the convergence of approximate solutions is discussed.

Keywords：Riccati equation；approximate solution；undetermined function；method of substitution；convergence