車(chē)體設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)車(chē)體垂向彎曲振動(dòng)頻率的靈敏度分析

王長(zhǎng)科　陽(yáng)光武　朱　濤　于金朋

1.西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都，6100312.中車(chē)唐山機(jī)車(chē)車(chē)輛有限公司，唐山，064000

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車(chē)體設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)車(chē)體垂向彎曲振動(dòng)頻率的靈敏度分析

王長(zhǎng)科1陽(yáng)光武1朱濤1于金朋2

1.西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都，6100312.中車(chē)唐山機(jī)車(chē)車(chē)輛有限公司，唐山，064000

采用基于靈敏度分析的車(chē)體垂向彎曲剛度優(yōu)化方法，對(duì)車(chē)體結(jié)構(gòu)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析，確定了關(guān)鍵設(shè)計(jì)變量與系統(tǒng)響應(yīng)的關(guān)系，從而得到了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量(車(chē)體結(jié)構(gòu)關(guān)鍵參數(shù))對(duì)目標(biāo)約束函數(shù)(車(chē)體一階垂向彎曲振動(dòng)頻率)影響的變化梯度。首先，由歐拉-伯努利梁垂向振動(dòng)微分方程，結(jié)合初始條件和邊界條件，得到了自由梁的一階垂向彎曲振動(dòng)頻率方程；然后，結(jié)合車(chē)體結(jié)構(gòu)特征，推導(dǎo)和修正了車(chē)體的一階垂向彎曲振動(dòng)頻率解析方程，并以某地鐵車(chē)體對(duì)解析方程進(jìn)行了有限元的驗(yàn)證；最后，選取車(chē)體的6組設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行了車(chē)體一階垂向彎曲振動(dòng)頻率的靈敏度分析。根據(jù)研究結(jié)果，給出了車(chē)體關(guān)鍵參數(shù)對(duì)其一階垂向彎曲振動(dòng)頻率影響程度的排序，為列車(chē)車(chē)體設(shè)計(jì)相關(guān)工作提供了參考依據(jù)。

靈敏度分析；垂向彎曲頻率；設(shè)計(jì)參數(shù)；系統(tǒng)響應(yīng)

0　引言

在新車(chē)型開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)中，如何判斷車(chē)體結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)合理性及車(chē)體結(jié)構(gòu)動(dòng)靜態(tài)性能的優(yōu)劣，并針對(duì)現(xiàn)存車(chē)體結(jié)構(gòu)的不足對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)是一項(xiàng)十分重要的工作。當(dāng)前對(duì)車(chē)體輕量化要求較高，如何在車(chē)體質(zhì)量與其力學(xué)性能之間進(jìn)行平衡與取舍，以較小的質(zhì)量代價(jià)獲得較大程度的力學(xué)性能提升，是當(dāng)前車(chē)體結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)工作的重點(diǎn)。

目前獲得列車(chē)車(chē)體模態(tài)的方法主要有有限元法和模態(tài)試驗(yàn)法[1]兩種。有限元法基于車(chē)體的三維模型建立有限元模型，并進(jìn)行求解計(jì)算，有限元法能夠較準(zhǔn)確地得到車(chē)體模態(tài)，但建立有限元模型需耗費(fèi)大量的時(shí)間；模態(tài)試驗(yàn)法則是一種車(chē)體性能檢驗(yàn)手段，以真實(shí)車(chē)輛為試驗(yàn)對(duì)象，但無(wú)法對(duì)三維模型階段的車(chē)體進(jìn)行指導(dǎo)設(shè)計(jì)。陽(yáng)光武等[1]基于Timoshenko梁理論并結(jié)合車(chē)體結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，得到了車(chē)體的一階垂向彎曲頻率方程，計(jì)算結(jié)果通過(guò)了有限元和模態(tài)試驗(yàn)驗(yàn)證，但模型中未考慮門(mén)窗高度對(duì)彎曲剛度的影響。王璐等[2]以160 km/h電力機(jī)車(chē)為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行靈敏度分析，得到了對(duì)車(chē)體質(zhì)量影響大的組件，并進(jìn)行了二次優(yōu)化，最終使車(chē)體在滿足強(qiáng)度與剛度要求的條件下，減重5.25 t，達(dá)到了輕量化的目的。郭祥濤[3]著重分析了國(guó)產(chǎn)化高速車(chē)TC07車(chē)車(chē)體的18個(gè)主要部件對(duì)質(zhì)量、約束等的靈敏程度，找到在滿足車(chē)體力學(xué)性能的條件下對(duì)車(chē)體質(zhì)量減輕最敏感的部位，并對(duì)其進(jìn)行了優(yōu)化。潘婷[4]采用有限元法對(duì)CRH3型動(dòng)車(chē)組TC02車(chē)進(jìn)行了模態(tài)分析，并以車(chē)體15個(gè)主要部件為設(shè)計(jì)變量，對(duì)車(chē)體進(jìn)行靈敏度分析，選取對(duì)車(chē)體模態(tài)影響小的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，最終減重0.42 t。

對(duì)車(chē)體結(jié)構(gòu)進(jìn)行靈敏度分析,獲得影響車(chē)體性能的關(guān)鍵參數(shù)，把握車(chē)體設(shè)計(jì)工作重點(diǎn)，能夠在車(chē)體設(shè)計(jì)初期對(duì)車(chē)輛整體參數(shù)進(jìn)行有效的評(píng)估，掌控車(chē)體優(yōu)化設(shè)計(jì)的走向。可見(jiàn)，對(duì)于具有諸多設(shè)計(jì)變量的車(chē)體結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，靈敏度分析是提取對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響較大關(guān)鍵參數(shù)的非常有效的方法。因此，本文提出一種基于靈敏度分析的車(chē)體垂向彎曲剛度優(yōu)化方法，采用關(guān)鍵參數(shù)的相對(duì)靈敏度分析，確定關(guān)鍵設(shè)計(jì)變量對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，得到結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量(車(chē)體結(jié)構(gòu)關(guān)鍵參數(shù))對(duì)目標(biāo)約束函數(shù)(車(chē)體一階垂向彎曲振動(dòng)頻率)影響的變化梯度。

1　靈敏度分析原理

靈敏度是一個(gè)廣泛的概念，靈敏度即求導(dǎo)信息，靈敏度分析是一種度量和評(píng)價(jià)由于設(shè)計(jì)變量或參數(shù)的改變而引起結(jié)構(gòu)響應(yīng)特性變化率的方法[5]。從數(shù)學(xué)意義上可以理解為：若函數(shù)F(x)可導(dǎo)，其一階靈敏度可表示為[6]

(1)

振動(dòng)頻率對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度反映的是設(shè)計(jì)變量或設(shè)計(jì)參數(shù)的改變對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響。由多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)方程[3]可得

(K-ω2M)φ=0

(2)

式中，K為剛度矩陣；ω為頻率；M為質(zhì)量矩陣；φ為主振型。

對(duì)設(shè)計(jì)變量xi求偏導(dǎo)，得

(3)

由于K為對(duì)稱陣，式(3)左乘φT，整理為

(4)

式(4)中,(Kφ-ω2Mφ)T=0，則簡(jiǎn)化為

(5)

采用振型向量對(duì)質(zhì)量矩陣作歸一化處理，即φTMφ=1，則進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(6)

(7)

2　車(chē)體垂向彎曲振動(dòng)頻率公式推導(dǎo)

2.1公式的修正

由歐拉-伯努利梁橫向振動(dòng)微分方程，代入初始條件和邊界條件，得自由梁的一階垂向彎曲振動(dòng)頻率方程[7]：

(8)式中，l為自由梁長(zhǎng)度；E為彈性模量；I為梁橫截面對(duì)中心主軸的截面慣性矩；V0為梁的單位體積；A為橫截面面積。

由于列車(chē)車(chē)體并非規(guī)則的梁結(jié)構(gòu)，因此需對(duì)公式進(jìn)行如下變形：

(9)

(10)

(11)

應(yīng)用各截面I計(jì)算各段的剛度時(shí)，需要將每個(gè)截面對(duì)于其自身的形心慣性矩利用平行移軸公式[8]移動(dòng)到車(chē)體重心所在位置，如：

I0=Ic+a2A

(12)

式中，I0為通過(guò)車(chē)體質(zhì)心的慣性矩；Ic為通過(guò)形心的慣性矩；a為形心與質(zhì)心的距離。

設(shè)均質(zhì)梁平均分為n段，則每段剛度k′相等，為

(13)

梁的串聯(lián)等效剛度可表示為

(14)

等效后梁的頻率為

(15)

由此得到等效后梁的頻率為原均質(zhì)梁頻率的n倍，若直接應(yīng)用等效剛度進(jìn)行計(jì)算，則應(yīng)在均質(zhì)梁的頻率計(jì)算式中應(yīng)除以分段數(shù)n，即

(16)

2.2基于簡(jiǎn)化車(chē)體的頻率公式的修正與驗(yàn)證

本文建立了2門(mén)4窗、3門(mén)4窗和4門(mén)3窗三個(gè)簡(jiǎn)單車(chē)體模型。以2門(mén)4窗車(chē)體為例，三維模型如圖1所示，分段方法如圖2所示，車(chē)體基本參數(shù)如表1所示。

圖1　2門(mén)4窗車(chē)體模型

圖2　模型分段示意圖

車(chē)長(zhǎng)L(mm)車(chē)寬b(mm)車(chē)高h(yuǎn)(mm)車(chē)體質(zhì)量m(t)彈性模量E(MPa)密度ρ(g/mm3)泊松比ν240002500280046.4690002.7×10-30.34

3個(gè)車(chē)體解析計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果如表2所示。

表2　3種車(chē)體解析結(jié)果與有限元結(jié)果

由表2可以看出解析解與有限元解誤差不收斂，這是由車(chē)體分段不平均導(dǎo)致的，而分段長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)差體現(xiàn)了分段的不平均水平，因此引入標(biāo)準(zhǔn)差σ與平均值μ的比值，即變異系數(shù)c[9]，對(duì)式(16)進(jìn)行修正。3種車(chē)體分段參數(shù)如表3所示。

表3　3種車(chē)體分段參數(shù)

(17)

由式(17)可得0.49

圖3　誤差變化曲線

由圖3知，當(dāng)收斂系數(shù)lx=0.56時(shí)，三個(gè)車(chē)體的垂彎頻率誤差均在上下5%的限制線以內(nèi)，修正系數(shù)s修正效果最好。且對(duì)于不同的車(chē)體，分段情況不同，c值不定，則對(duì)不同的車(chē)體將有不同的修正系數(shù)s，是一種動(dòng)態(tài)修正，因此稱s為動(dòng)態(tài)修正系數(shù)。得最終修正公式：

(18)

該修正方法能夠使3種車(chē)體的誤差均在5%以內(nèi)，各車(chē)體修正結(jié)果如表4所示。

表4　3種車(chē)體修正結(jié)果

2.3實(shí)車(chē)驗(yàn)證

以某地鐵車(chē)為例驗(yàn)證公式的有效性，該地鐵車(chē)的三維模型及分段方法分別如圖4、圖5所示。

圖4　某地鐵車(chē)體三維模型

車(chē)體的局部特征對(duì)振動(dòng)模態(tài)影響很小，可忽略不計(jì)，采用整車(chē)模型建模，將車(chē)體離散為六面體及五面體共1 381 135個(gè)實(shí)體單元和233 737 3個(gè)節(jié)點(diǎn)，單元類型為SOLID185，單元大小為30 mm，車(chē)體材料的彈性模量為69 GPa，材料密度為2.7×10-3g/mm3，泊松比為0.3。應(yīng)用ANSYS計(jì)算車(chē)體的自由模態(tài)，得到車(chē)體一階垂向彎曲振動(dòng)頻率為18.05 Hz，計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

該解析公式是基于標(biāo)準(zhǔn)歐拉-伯努利梁建立的，并經(jīng)由實(shí)心車(chē)體修正完成，而目前絕大多數(shù)鋁合金車(chē)體普遍應(yīng)用大型中空擠壓型材，實(shí)現(xiàn)了輕量化，且其抗彎剛度也僅比實(shí)心型材略低。因此，應(yīng)回歸到實(shí)心車(chē)的計(jì)算方法中，即在質(zhì)量計(jì)算時(shí)，采用車(chē)體相同輪廓的實(shí)心截面。

圖5　某地鐵車(chē)體分段示意圖

圖6　某地鐵車(chē)一階垂向彎曲振動(dòng)頻率

將24組截面信息等效后代入式(18)，得解析值為18.42 Hz，誤差為2%，證明了該計(jì)算方法的有效性。

3　車(chē)體關(guān)鍵參數(shù)的靈敏度分析

對(duì)車(chē)體的一階垂向振動(dòng)頻率解析公式的修正過(guò)程就是對(duì)影響車(chē)體垂向振動(dòng)頻率的關(guān)鍵參數(shù)的分析過(guò)程。為了確定這些關(guān)鍵參數(shù)(設(shè)計(jì)變量)對(duì)車(chē)體垂向振動(dòng)頻率(目標(biāo)函數(shù))的影響程度，須對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)的靈敏度分析。

影響車(chē)體一階垂向彎曲振動(dòng)頻率的因素主要有：車(chē)體長(zhǎng)度、車(chē)門(mén)寬度、車(chē)窗寬度、橫截面面積、車(chē)體重心垂向高度、車(chē)體抗彎剛度等。采用相對(duì)靈敏度[10]分析方法對(duì)車(chē)體的一階垂向振動(dòng)頻率進(jìn)行靈敏度分析：

式中，S為相對(duì)靈敏度；Δy為因變量的相對(duì)變化量；Δx為自變量的相對(duì)變化量。

圖7　車(chē)體垂向振動(dòng)頻率隨車(chē)體長(zhǎng)度變化趨勢(shì)

以2.3節(jié)所示地鐵車(chē)體的參數(shù)為基準(zhǔn)，向下調(diào)整10%進(jìn)行靈敏度分析。假設(shè)設(shè)計(jì)變量為a，向下調(diào)整10%后為0.9a，則其相對(duì)變化量為(a-0.9a)/a=10%。取該地鐵車(chē)車(chē)體長(zhǎng)度L參數(shù)為例，使其在1倍車(chē)長(zhǎng)到0.9倍車(chē)長(zhǎng)范圍內(nèi)變化，頻率隨車(chē)長(zhǎng)的變化如圖7所示。目標(biāo)函數(shù)值隨設(shè)計(jì)變量的變化及靈敏度如表5所示。

表5　目標(biāo)函數(shù)變化及靈敏度

表5中的相對(duì)靈敏度負(fù)值表示隨著設(shè)計(jì)變量的減小(或增大)，目標(biāo)函數(shù)值相應(yīng)增大(或減小)，正值表示隨著設(shè)計(jì)變量的減小(或增大)，目標(biāo)函數(shù)值相應(yīng)減小(或增大)，數(shù)值絕對(duì)值的大小表示目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量敏感程度的大小。車(chē)體關(guān)鍵參數(shù)的靈敏度如圖8所示。

圖8　車(chē)體參數(shù)靈敏度

4　結(jié)論

本文以基于歐拉-伯努利梁振動(dòng)方程得到的車(chē)體一階垂向彎曲振動(dòng)頻率修正公式為依據(jù)，對(duì)某地鐵車(chē)體進(jìn)行了車(chē)體參數(shù)的靈敏度分析，并得到以下結(jié)論：

(1)得到了以等效剛度計(jì)算的均質(zhì)梁的垂向振動(dòng)頻率與梁的固有頻率的關(guān)系，即以串聯(lián)等效方式得到的梁的頻率為原頻率的n倍(n為梁的平均分段數(shù))。

(2)對(duì)車(chē)體一階垂向彎曲振動(dòng)頻率影響大的參數(shù)按影響程度大小排序依次為：車(chē)體長(zhǎng)度、車(chē)體截面面積、車(chē)體抗彎剛度、車(chē)窗寬度、車(chē)門(mén)寬度及車(chē)體重心垂向高度。其中，車(chē)體長(zhǎng)度的影響最為明顯，車(chē)體重心垂向高度的影響最小。

(3)車(chē)體輕量化要求以較小的質(zhì)量代價(jià)獲得較大程度的力學(xué)性能，體現(xiàn)在車(chē)體截面上為以較小的截面面積獲得較大的抗彎剛度，在斷面優(yōu)化設(shè)計(jì)中，應(yīng)注重關(guān)鍵參數(shù)的合理匹配，避免經(jīng)驗(yàn)導(dǎo)向設(shè)計(jì)，在車(chē)體達(dá)到減重目的的同時(shí)，保證其具有足夠的剛度。

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(編輯袁興玲)

Sensitivity Analysis about Design Parameters for Car-body Vertical Bending Vibration Frequencies

Wang Changke1Yang Guangwu1Zhu Tao1Yu Jinpeng2

1.State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University,Chengdu，6100312.CRRC Tangshan Co., Ltd., Tangshan,Hebei，064000

The sensitivity analysis about key parameters of a car-body was carried out with the stiffness optimization method to find the relationship among design variables and system responses, the gradient of the structure variables (key parameters of car-body) for the target functions (first order vertical bending frequency of car-body) was obtained. First, the first order vertical bending frequency equation was built from Euler-Bernoulli theory with initial and boundary conditions. Then, the frequency equation was corrected with car-body characteristics to get an accurate result, and the results were tested by a finite element result of a subway car-body. Finally, sensitivity analysis was done with 6 key parameters for the bending vibration frequency of car-body. The conclusions show the significance sequence of main car-body parameters for first order vertical bending frequency according to the sensitivity, which may give some advices to designers.

sensitivity analysis; vertical bending frequency; design parameter; system response

2015-11-09

國(guó)家科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(2015BAG12B01-15)；四川省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)研究資助項(xiàng)目(2014JY0242)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2682015CX046)

U270.2

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.16.024

王長(zhǎng)科，男，1989年生。西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室碩士研究生。主要研究方向?yàn)闄C(jī)車(chē)車(chē)輛車(chē)體強(qiáng)度及振動(dòng)疲勞。陽(yáng)光武，男，1977年生。西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室研究員、博士。朱濤，男，1984年生。西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室助理研究員、博士。于金朋，男，1979年生。中車(chē)唐山機(jī)車(chē)車(chē)輛有限公司工程師。