略論電偶極線

趙　強（西安交通大學理學院，陜西西安 710049）

教學經驗交流

略論電偶極線

趙強
（西安交通大學理學院，陜西西安 710049）

本文首先仿照電偶極子模型的定義給出了電偶極線模型的定義，然后導出了電偶極線的電勢公式和電場公式，最后利用電偶極線模型求出了沿垂直于軸方向均勻極化的長圓柱體周圍的電場.

電偶極線；線極化強度；等效；精確解

任何一本《電磁學》教科書都會講述電偶極子模型，有些教材還講述了電偶極層模型［1］，但是我卻沒見過哪本《電磁學》教材講述電偶極線模型.其實電偶極線模型和電偶極子模型很類似，并且還有著實際的應用.什么是電偶極線呢？下面就來討論這個問題.

兩條均勻帶電的無窮長平行直線，電荷的線密度分別為±λ，相距為l，當所研究的場點A到兩直線的距離遠大于l時，這種帶電體系叫做電偶極線模型.圖1為電偶極線模型的橫截面圖.若選擇兩直線間距離連線的中垂面作為零勢能面的話，則電偶極線在空間任一點A處的電勢為

式（1）不僅形式十分簡單，而且還是精確解.根據電偶極線模型的定義，場點A總是離兩條帶電平行直線很遠，即r?l，因此有

代入式（1）后，有

圖1　電偶極線模型的橫截面

利用公式ln（1+x）～x（x?1），可將上式簡化為

式（3）中因子λl是一個反映電偶極線特征的物理量，其物理意義是單位長度的電偶極矩，因此可將其稱為線極化強度.讓人感到有點驚訝的是其單位競是庫侖.若用符號Pl表示線極化強度，有

也可將式（4）寫成矢量形式

將式（4）代入式（3），有

式（5）比式（1）更簡單.雖然式（5）是一個近似解，但是式（5）才是電偶極線模型真正實用意義上的電勢.

為了求出電偶極線模型周圍的電場，以圖1中的O點為原點建立柱坐標系，其中z軸垂直于紙面向外，電場的3個分量分別為

從式（6）可以看出，電偶極線的電場與電偶極子的電場有些類似，不同的是電偶極線的電場是柱形對稱的，其場強E與距離r的平方成反比.下面通過一實例來看電偶極線模型在實際中的應用.

例 有一半徑為R的均勻極化的圓柱形長棒，其極化方向與圓柱的軸垂直，極化強度為P.試求此圓柱體外部空間的電場.

解 圖2為均勻極化圓柱形長棒的截面圖，此問題的一般解法是求解靜電場的拉普拉斯方程，但是這對于沒有學過電動力學課程的學生來說是困難的.然而利用電偶極線的模型，用普通物理的方法就可以方便地解決此問題.

根據E.M.珀塞爾的觀點［2］，一個均勻極化的長圓柱體，可以等效為兩個完全重疊在一起的、分別均勻帶有體電荷密度為±p的長圓柱體沿極化方向拉開一小段距離l后形成的一個新圓柱體（由于l可看做無限小，因此新體系仍是圓柱體）.拉開距離l后的兩圓柱體分別等效于位于其軸線的兩根均勻帶有線電荷密度分別為±λ的平行直線，而整個系統正好等效為一電偶極線模型！其外部電場當然就是式（6）.然而令人感到驚訝的是式（6）雖是電偶極線模型的近似解，但卻是本例的精確解.線極化強度Pl和極化強度P的關系為

圖2　均勻極化的圓柱形長棒的截面

將式（7）代入式（6），得到最后結果為

最后的結果相當簡潔漂亮！而且是精確解！

［1］ 趙凱華，陳熙謀.電磁學.新概念物理教程［M］.北京：高等教育出版社，2003：42-43.

［2］ E.M.珀塞爾.電磁學.伯克利物理學教程［M］.第二卷.南開大學物理系，譯.北京：科學出版社，1979：400-402.

A BRIEF DISCUSSION ON ELECTRIC DIPOLELINE

Zhao Qiang
（College of Science，Xi，an Jiaotong University，Xi，an，Shanxi 710049）

In this paper，we firstly gave the definition of electric dipole line model followed the definition of electric dipole model.Then we derived the electric potential formula and electric field formula of electric dipole line.At last，we solved the electric field around the uniform polarized long cylinder along the perpendicular direction to the axis using the electric dipole line model.

electric dipole line；linear polarization intensity；equivalent；exact solution

2015-06-05