瓣形均勻帶電面和均勻帶電體在其球心處的電場

胡　冰　鄧加軍　李社強　王文杰（華北電力大學數理系，北京 102206）

瓣形均勻帶電面和均勻帶電體在其球心處的電場

胡冰鄧加軍李社強王文杰
（華北電力大學數理系，北京 102206）

在大學物理課程電磁學部分的教學中，經常會利用高斯定理研究均勻帶電球面、均勻帶電球體等電荷分布具有高度對稱性的帶電體的電場分布.對于這些均勻帶電球面、均勻帶電球體的一部分，比如瓣形均勻帶電面和瓣形均勻帶電體，利用高斯定理不能求出其電場分布，但是可以利用點電荷的電場強度公式加電場疊加原理的方法研究在一些特殊位置的電場.本文推導出了瓣形均勻帶電面和瓣形均勻帶電體在特殊點球心處的電場，并且進一步討論了均勻帶電半球面、球面、半球體和球體在球心處的電場.

瓣形均勻帶電面；瓣形均勻帶電體；電場；電場疊加原理

在大學物理課程電磁學部分的教學中經常會討論均勻帶電球面、均勻帶電球體等電荷分布具有高度對稱性的帶電體的電場分布，一般教師講解時是利用高斯定理求解［1，2］.對于這些均勻帶電球面、均勻帶電球體的一部分，比如瓣形均勻帶電面和瓣形均勻帶電體，利用高斯定理就不能求出其電場分布.其實也可以利用點電荷的電場強度公式加電場疊加原理的方法研究瓣形均勻帶電面和瓣形均勻帶電體在特殊點球心處的電場，進而可以獲得均勻帶電半球面、球面、半球體和球體在球心處的電場.

1　瓣形均勻帶電面在其球心處的電場及討論

1.1瓣形均勻帶電面在其球心處的電場

圖1所示的瓣形均勻帶電面是球面的一部分，以球心為坐標原點建立如圖所示的直角坐標系.瓣形帶電面所在球面的半徑是R，瓣形對z軸所張角度是φ，面電荷密度是σ.現在求球心O處的電場.

圖1　瓣形均勻帶電面

如圖1所示，在瓣形帶電面上任取一個小面元d S，據文獻［3］面元的球面坐標是（R，φ，θ），且可知

面元d S所帶電量d q

根據點電荷的電場強度公式得到面元所帶的電荷d q在球心O處產生的電場大小為

電場的方向是沿球的徑向.把d q產生的電場d E 沿x，y，z軸進行分解得d Ex，d Ey，d Ez，則

根據電場疊加原理，瓣形均勻帶電面在球心處的電場分量是

由以上結果可以看出，瓣形均勻帶電面在球心處的電場沒有沿z軸的分量，電場只在x Oy平面內.根據電荷分布的對稱性也可以得到這個結論.所以瓣形均勻帶電面在球心處的電場為

1.2均勻帶電半球面在其球心處的電場

由瓣形均勻帶電面在其球心處的電場可以討論得到均勻帶電半球面在球心處的電場，只需讓φ=π，則

電場只是沿x軸的方向.根據電荷分布的對稱性也可以分析得到球心處的電場只能沿x軸的方向.

1.3均勻帶電球面在其球心處的電場

根據式（10）可得，當φ=2π時，

此時瓣形均勻帶電面是一個球面，這時球心處的電場是零.根據對稱性也可以分析得到均勻帶電球面在球心處的電場為零.

2　瓣形均勻帶電體在其球心處的電場及討論

2.1瓣形均勻帶電體在其球心處的電場

圖2表示一個瓣形的均勻帶電體，它是球體的一部分.瓣形帶電體所在球體的半徑是R，瓣形對z軸所張角度是φ，體電荷密度是p.現在求球心O處的電場.

在瓣形帶電體上任取一個小體元d V，據文獻［3］體元的球坐標是（r，φ，θ），且可知

圖2　瓣形均勻帶電體

體元d V所帶電量d q

根據點電荷的電場強度公式得到體元所帶的電荷d q在球心O處產生的電場大小

電場的方向是沿球的徑向.把d q產生的電場d E 沿x，y，z軸進行分解得d Ex，d Ey，d Ez，有

根據電場疊加原理，瓣形均勻帶電體在球心處的電場分量是

由以上結果可以看出，瓣形均勻帶電體在球心處的電場沒有沿z軸的分量，電場只在x Oy平面內.根據電荷分布的對稱性也可以得到這個結論.所以瓣形均勻帶電體在球心處的電場為

把式（22）與式（10）進行比較發現，式（10）中的面電荷密度σ用體電荷密度p和球體半徑R的乘積p R代替就變成式（22）.

2.2均勻帶電半球體在其球心處的電場

由瓣形均勻帶電體在其球心處的電場可以討論得到均勻帶電半球體在球心處的電場，只需讓φ=π，則

電場只是沿x軸的方向.根據電荷分布的對稱性也可以分析得到球心處的電場只能沿x軸的方向.

2.3均勻帶電球體在其球心處的電場

根據式（22）可得，當φ=2π時，

此時瓣形均勻帶電體是一個球體，這時球心處的電場是零.根據對稱性也可以分析得到這個結論.

3　結語

本文先是利用電場疊加原理推導出瓣形均勻帶電面在其球心處的電場.利用所得的結果討論了均勻帶電半球面和球面在球心處的電場.然后推導出瓣形均勻帶電體在其球心處的電場，并討論了均勻帶電半球體和球體在球心處的電場.最后發現在瓣形均勻帶電面球心處電場的表達式中，面電荷密度σ代換成p R（p是體電荷密度，R是球體半徑），表達式就變成瓣形均勻帶電體在球心處的電場表達式.

［1］ 程守洙，江之永.普通物理學2［M］.北京：高等教育出版社，1998.

［2］ 張三慧.大學物理學電磁學［M］.北京：清華大學出版社，1999.

［3］ 四川大學數學系高等數學教研室.高等數學2［M］.北京：高等教育出版社，1996.

ELECTRIC FIELD AT THE CENTER OF UNIFORMLY CHARGED PETAL-LIKE SURFACE AND UNIFORMLY CHARGED PETAL-LIKE BODY

Hu Bing Deng JiajunLi Sheqiang Wang Wenjie
（Department of Mathematics and Physics，North China Electric Power University，Beijing 102206）

As a part of electromagnetism teaching in the college physics course，Gauss，s law is usually applied on the solution of electric fields of the uniformly charged spherical surface and uniformly charged sphere，which are charged bodies with high symmetry in charge distribution.But Gauss，s law cannot be used to solve the electric fields of a part of the uniformly charged spherical surface or a part of the uniformly charged sphere，such as an uniformly charged petal-like surface or an uniformly charged petal-like body.However，the electric field superposition principle of point charges can be used to study the electric fields at some special position.In this paper，electric field at the center of uniformly charged petal-like surface and uniformly charged petal-like body are calculated by means of the electric field superposition principle.Furthermore，the electric fields at the center of uniformly charged hemispherical surface，spherical surface，hemisphere and sphere are discussed.

uniformly charged petal-like surface；uniformly charged petal-like body；electric field；superposition principle of electric field

2015-01-27；

2015-10-24

2014年北京市高等學校教育教學改革立項（2014-ms114）；華北電力大學中央高校基本科研業務費（JB2014106）.

胡冰，女，講師，主要從事物理教學科研工作，研究方向為低維半導體材料.bhu@ncepu.edu.cn