錯誤樣例及其對我國數學教學的啟示

孫小菱?陳銀蓮

〔摘要〕近年來，錯誤樣例成為國內外樣例學習研究中備受關注的一個新方向。文章介紹了錯誤樣例的概念，理論基礎，以及在國內外數學領域中已有的研究成果，同時，提出錯誤樣例對我國當前數學教學的啟示。

〔關鍵詞〕樣例學習；錯誤樣例；數學錯誤；認知負荷

〔中圖分類號〕G44 〔文獻標識碼〕A 〔文章編號〕1671-2684（2016）20-0009-03

樣例學習就是“從例子中學（Learning from worked examples）”，是指一般呈現給學習者至少兩個以上加工過的例子，讓其從中習得隱含的規則或深層知識，以此遷移來解決新問題的學習。在數學領域，樣例學習已經被普遍證實是一種非常有效的學習方式，尤其是在好的樣例設計以及學習者積極主動地自我解釋樣例的時候，可以減輕學生的認知負荷，提高學習效果。

樣例學習的樣例一般都被傳統地認為是正確的樣例，但即便我們學習的是正確樣例，也有可能導致學生在學習時產生錯誤的知識。在樣例學習中，除了可以對正確樣例進行設計之外，還可以在樣例組合中加入適量的錯誤樣例，可以加強學生對正、誤樣例的對比，從而避免錯誤發生，提高樣例的學習效果，這也是一個好的學習方法。同時，在樣例的解題步驟中設置錯誤，可以加深學習者對樣例的思考，誘發學習者產生更多的自我解釋活動，增加相關認知負荷，從而能提高學習遷移的效果。眾多理論和實證研究表明錯誤樣例可以提高學習效果。因此，近年來，錯誤樣例成為國內外樣例學習研究中備受關注的一個新方向。

數學學科本身強調邏輯思辨性與知識的精確性，而在學習過程中數學錯誤又不可避免，因此，使用錯誤樣例教學的優勢明顯。錯誤樣例學習是將錯誤分析融入到學習資料設計中，而補救教學則是在學生犯錯之后再進行錯誤分析，相對而言，錯誤樣例學習是一種更加主動、積極處理錯誤的學習方法。利用好數學錯誤樣例不但能夠提高學生思維與認知能力，還能增強對數學的學習興趣與信心。與此同時，數學錯誤樣例資源還有利于教師對教學進行自我診斷和治療，改善教學，促進專業成長。因此，在數學教學中，如何將錯誤樣例作為教學資源充分利用，也是一個非常重要的課題。

一、錯誤樣例的概念

錯誤樣例（erroneous examples）是指樣例的解題方案中包含一個或者多個錯誤，要求學習者去辨別，解釋或者改正錯誤，以促進學習效果的例題[1]。通常情況下，在學習的初始階段就呈現錯誤樣例可能不是很有用，因此錯誤樣例是在提供正確的例題之后，再呈現給學習者錯誤的解題方法以鞏固學習者已經習得的知識[2]。

當我們的學習目標是正確地解決問題的時候，向學習者呈現錯誤可能是不可思議的做法，那為什么要探究錯誤樣例的潛在作用呢？下面是幾點理由：（1）錯誤是學習中重要的一部分，卻常常被傳統教育所忽略，錯誤可以提供重要的學習機會，因為在學習者進行思考的時候，附帶錯誤可以使他們的反思和自我解釋更加全面。例如，Vanlehn在他的認知技能獲得三階段理論中表明錯誤可以引起反思，反過來也可以促進學習者對問題更深的理解；（2）正確和錯誤知識的呈現會引起學習者的認知沖突，因此可以促進學習者建構一個平衡一致的知識結構；（3）錯誤樣例能增強學生的內部動機，激發學生的學習興趣。學生探索、發現樣例中錯誤的過程本身就是積極而有趣味的，檢查錯誤也能集中學習者的注意力。同時，在錯誤樣例學習中，學習者是處于旁觀者的角度審視他人的錯誤，這和分析自身的錯誤相比，能減少學習者的焦慮情緒。

二、錯誤樣例的理論基礎

（一）試誤說

學習的本質是一種 “嘗試錯誤” 的過程，而教學，則是引導學習行為不斷修正的過程。美國教育家 Edward L.Thorndike 通過一系列的動物試驗得出的 “嘗試錯誤理論”，對這一問題的解決提供了很多啟示：在重復的嘗試中，錯誤的反應逐漸被擯棄，正確的反應則不斷得到加強，直至最后形成固定的 “刺激—反應聯結”。

（二）建構主義學習觀

建構主義學習觀認為，錯誤是理想性的學習和發展軌道的一部分，為什么構成錯誤，如何構成錯誤，與怎樣構成正確的答案一樣重要。學生的錯誤不可能單獨依靠正面示范和反復練習得以矯正，必須是經過一個“自我否定 ”的過程。而“自我否定”又以自我反省，特別是內在的“觀念沖突”作為必要的前提。利用學生的錯誤資源，引發這種“觀念沖突”，能促使學生對已完成的思維過程進行周密且有批判性的反思。

（三）認知技能獲得理論模型

根據認知技能獲得理論模型通過錯誤樣例學習這樣的程序可以促進學習效果。例如，Vanlehn在他的CASCADE理論中表明，在技能獲得的初始階段也是理解的關鍵階段，設置一些問題障礙（也即是廣義上的錯誤或者缺乏全面的理解，例如陷入死角，注意到錯誤，或者對一些事情不確定）可以引起學習者的思潮。更具體地說，他推測在他的障礙—驅動學習（impasse-driven learning）理論的框架中，錯誤可以引起反思（例如自我解釋），反過來又可以導致更深的理解。因此，在錯誤的樣例中包含起引導作用的障礙應該可以促進學習者的學習思潮以及學生的學習效果。

（四）認知負荷理論

認知負荷理論（Cognitive Load Theory）認為，任何教學中都會引起三種不同類型的認知負荷：內在認知負荷（intrinsic load）、外在認知負荷（extraneous load）和有效認知負荷（germane load）。內在認知負荷是指工作記憶對學習任務本身所包含的信息元素（如概念、規則的基本成分）的復雜性進行認知加工所承受的認知負荷。外在認知負荷也稱為無效負荷或無關負荷，指由學習材料的組織和呈現方式不當施加給工作記憶的負荷。有效認知負荷是指由學習材料的組織和呈現形式所引起的有利于信息加工與獲得的認知負荷。有效認知負荷往往是由學習過程中用于建構圖式或圖式自動化活動所引起的，例如，學習者對樣例的自我解釋與理解活動，它促使學習者把有限的認知資源分配到有效的學習活動中去，這是有意義的學習過程必需的認知活動。根據認知負荷理論，如果適當地運用錯誤樣例，會增加學習者的自我解釋活動，增加學習者的有效認知負荷，就有利于學習效果。

三、錯誤樣例在國內外數學領域的相關研究

（一）錯誤樣例在國外數學領域的相關研究

Borasi[3]通過教育改革實踐，指出了錯誤在數學教學中的重要作用。他在教學中設計“錯誤跳板探究學習”，探索初中生如何有效利用錯誤來激發數學探究，通過鼓勵學生對數學概念進行批判性思考，來激發反思和探究。結果表明，討論錯誤能提高數學學習效果。

Siegler提出了一個理論模型，他假定數學學習是可以這樣促進的：（1）提高正確解題的概率；（2）降低錯誤解題的概率。這就為自我解釋為什么不正確的解題方法是錯誤的這種學習方式對學習結果的積極作用提供了依據。事實上，Sielger表明兒童能從被要求既解釋正確樣例又解釋錯誤樣例的學習方式中獲益更多，相比較只要求解釋為什么正確的解題方案是正確的學習方式。Siegler及其同事關于數學排水問題的研究也表明，有自我解釋的錯誤樣例更有顯著效果。

van Dooren等人在他們的數學實驗課上讓學生討論了有關錯誤的解題方案的問題，明確表明錯誤樣例可以促進學習效果。Grosse和Renkl[2]用有關概率計算的實驗材料做的實驗研究也表明了錯誤樣例的學習效益，但是只是對那些具有很強的先驗知識的學習者和對遠遷移學習來說。

Melis[4]分析了在數學學科學習中為什么以及怎么樣使用錯誤樣例才是有效的。“為什么”主要強調了錯誤樣例對學習是很有用的，而且也是所有數學應用程序以及數學自身非常需要的。“怎么樣”的問題強調了利用錯誤樣例的教學策略以及在的Active Math（數學自助網絡學習系統）環境下的實現。Melis 和Kriesell[5]對小學生分數概念進行錯誤樣例練習研究，結果表明，有錯誤樣例的學習小組成績顯著。Tsovaltzi等人[6]通過ActiveMath網絡教學系統向學生們呈現其他學生犯的普遍的錯誤，實驗結果表明有反饋的錯誤樣例是有益的，并且在ActiveMath網絡教學系統下呈現錯誤樣例不會讓學生產生厭煩情緒。

一些跨文化研究（如TIMSS和PISA）已經表明了西方國家（如美國和德國）學生對數學知識的學習要比亞洲國家（如中國和日本）學生得更差，是因為亞洲國家的數學課程經常包括對錯誤解題方案的詳細分析和討論。

（二）錯誤樣例在國內數學領域的相關研究

近年來，在國內，錯誤樣例學習的研究也正在數學領域逐步展開。孫小菱[7]對大學生概率知識錯誤樣例學習的研究表明錯誤樣例學習是一種有效的學習方式，但是需要具體地考慮到錯誤樣例特征的設計以及學習者的原有知識水平，才能更好地突顯出錯誤樣例的學習效益。王蒙等人[8]通過對小學生學習減法計算錯誤樣例的研究發現，錯誤樣例學習能促進中低成就學生概念性知識的獲取和程序性知識的遠近遷移。孫璪、曹建娣和姚靜[9]研究了錯誤樣例對高中生學習排列組合的影響，結果表明錯誤樣例對學習排列組合有較好的效果。

四、錯誤樣例對數學教學的教育啟示

（一）教師要善于利用錯誤

在數學知識的學習中，錯誤樣例的作用已經得到了證實。那么在我國數學教材編排、課堂教學或練習中，科學合理地設計和安排錯誤樣例成為促進學生自主學習，提高學習效果的重要措施。教師應該根據教學內容與目標，選擇典型錯誤，讓學生從發現錯誤到改正錯誤，從易到難地引導學生探究，從而避免錯誤的出現，提高學生對知識本身的認識和理解。錯誤樣例練習題可以是選擇題式，也可以是問答題式，可以包含反饋或錯誤標記等。錯誤樣例的呈現可以通過課堂集體剖析的方式，也可以通過課后練習環節自主分析的方式。當然，教師還可開發更多的錯誤樣例呈現方式，如對錯誤樣例進行加工歸類，設計數學錯誤樣例專題練習集，制作數學錯誤樣例專題網站等，由學習者根據自己的興趣愛好或知識薄弱點自主選擇學習，激發學習動機，減少焦慮情緒，促進其自我學習、自我評價、自我診斷、自我治療，從而提高學習效果。

在這里需要注意的是，雖然錯誤樣例對于培養學生的質疑、探索意識有積極作用，但錯誤樣例并不能完全代替正確樣例。新知識的獲得不能脫離正確樣例的示范，且錯誤樣例一般不應在學習的初始階段使用，因此在新知識學習過程中，錯誤樣例的使用應該適當，否則會得不償失。

（二）學生要學會知錯、認錯、改錯

錯誤樣例學習包括三個認知加工過程：發現錯誤、解釋錯誤和改正錯誤，對應在數學教學中，教師則應該指導學生針對錯題要知錯、認錯和改錯。知錯就是讓學生自己檢查哪里出了錯；認錯就是讓學生認真分析錯誤的原因，找到是在哪個知識點出了錯；改錯就是讓學生在找到錯誤原因的基礎上，把錯誤之處改正過來。因此在數學教學中，教師可通過課堂教學或者練習帶領學生集體剖析典型錯誤，帶著學生找錯誤，分析錯誤原因，以及改正錯誤，不斷強調錯誤樣例的學習價值，久而久之，讓學生自主養成知錯、認錯、改錯的學習習慣，從而避免錯誤的出現，不斷加強對知識本身的掌握。

新課程改革強調以人為本，注重培養和發展學生的主體意識，倡導自主、合作和探究性的學習方式，倡導學習方式的多樣化，培養學生的創新能力。錯誤樣例學習活動能夠調動學生自主探究的積極性，產生的認知沖突能夠激發學生的內部學習動機，同時可以提高學生的質疑精神和探究能力，使學生能夠更加牢固地掌握知識，這正符合新課程改革的理念，對落實新課程改革也有積極的借鑒意義。

參考文獻

[1]Tsovaltzi D，Mclaren B M，Melis E，et al. Learning from erroneous examples[C]Intelligent Tutoring Systems，International Conference，ITS 2010，Pittsburgh，Pa，Usa，June 14-18，2010，Proceedings. 2010：420-422.

[2]Grosse C S，Renkl A. Finding and fixing errors in worked examples：Can this foster learning outcomes？[J]. Learning & Instruction，2007，17（6）：612-634.

[3]Borasi R. Capitalizing on Errors as "Springboards for Inquiry"：A Teaching Experiment[J]. Journal for Research in Mathematics Education，1994，25（2）：166-208.

[4]Melis E. Erroneous Examples as a Source of Learning in Mathematics[C]. Cognition and Exploratory Learning in Digital Age. 2004：311-318.

[5]Melis E，Kriesell D. Effects of Erroneous Examples Results of a Preliminary School Experiment[Z].Retrieved from http：//www.activemath. org，2009.

[6]Tsovaltzi D，Melis E，Mclaren B M，et al. Erroneous Examples：A Preliminary Investigation into Learning Benefits[J]. Lecture Notes in Computer Science，2009，5794：688-693.

[7]孫小菱.錯誤樣例與自我解釋對大學生數學學習遷移的影響[D].浙江師范大學，2012.

[8]王蒙，楊宗凱，劉三，等. 中低成就低年級學生的錯誤樣例學習研究[J]. 教育研究與實驗，2015（6）：28-33.

[9]孫璪，曹建娣，姚靜. 錯誤樣例對高中生學習排列組合的影響[J]. 數學通報，2016，55（1）：17-19.