掌握知識的思維特征是學生理解數學問題的關鍵

張鶴

在數學教學中，如何讓學生更好地理解數學問題呢？提高學生的數學能力的關鍵在哪里？在當前，普遍存在的依賴大題量的數學練習，以此提高數學成績的做法是不是違背數學教育的目的呢？

我們知道，發展學生的數學思維能力是數學教育的基本目標之一。新課標指出：數學在形成人類理性思維和促進個人智力發展的過程中發揮著獨特的、不可替代的作用。數學教師的教學任務很大的程度上是要通過你的教學活動，讓學生領悟數學學科的思維特征，并能夠用這種學科的思維方法理解數學問題，并解決數學問題。對學生數學能力的提高起決定作用的是學生的數學思維水平的提高，在這一點上，作為數學教師要有充分的認識。

函數是中學數學中的重要內容，常定位為重點內容、核心內容、主軸內容，它是由常量數學進入變量數學的轉折點，由此確立起運動變化的觀念，并為研究兩個變量間的相互依賴的變化規律，建立起一套基本理論的基本方法。函數是中學代數的紐帶，運用函數觀點，可以站在一個統一、較高的角度上去處理其中的許多基本問題。函數又是解決許多數學問題以及生產、生活中的實際問題的常用數學模型，還是繼續學習數學和其他學科的必備基礎。

函數在我們數學教學中盡管是講的比較多的內容，但這部分內容對于學生來說，不管是高一的學生還是高三的學生，學習的效果總是不佳，原因何在呢？教學中筆者經常能看到一些教師在講授函數的時候，講不出函數這部分的味道。函數的學習之所以最令學生們頭疼，關鍵是學生們在學習函數的時候，沒有掌握學習方法，沒有學會用函數的思維去思考問題。這種現象的出現，教師有很大責任。

在函數的教學中如何體現函數的思維特征呢？其關鍵是要在教學中揭示出函數的自變量是如何引起其對應的因變量的變化的。教師要指導學生研究函數性質時掌握以下思維方法：在明確函數的自變量是誰的前提下，分析函數的自變量是如何變化的，也就是自變量的代數特征是什么，再分析自變量所對應的函數值之間有什么關系。教學中對學生的要求是首先能用描述性語言把函數性質表達出來，這是最重要的。因為這種自然語言的描述是反映學生的思維的，只有真正明白的學生，才能夠依據函數的思維特征用函數的語言表達出函數的性質。其次就是要能夠用數學的符號語言表達出剛才所敘述的函數性質，這是為后面進行數學的推導、演算做準備的，這個能力要求對學生來說也是最難的。當然，作為學生還要有能力讀懂別人寫的數學符號語言，這種讀懂也是依據函數的思維特征去分析用數學的符號表達出來的函數性質。在此基礎上，要能夠通過函數性質的代數特征及其數學的符號語言形式，揭示出這個函數的圖像特征。在有關函數的問題中，已知條件常常是先給出這個函數的圖像特征或用抽象的數學符號語言表達出函數性質。教學中要防止那種沒有函數思維含量的結論性或操作性的教學，如根據函數的圖像特征去畫圖像;或從已知的函數圖像中僅是能夠直觀地讀出和計算求值有關的性質，而不會從函數思維的層面上去理解函數的圖像所承載的函數的性質;或對用數學符號語言所表達的函數性質看不出來、看不懂，只是會給函數的自變量代一些特殊值去求值，作出比較粗糙的判斷。實際上，遵循函數思維特征的教學應該是如果給出某個函數的圖像特征，就要能夠把幾何特征轉化為函數的代數特征。如函數y=f（x）的圖像關于點（a，b）為中心對稱，其代數特征是這個函數的自變量取和為2a的兩個值的時候，對應的兩個函數值的和為2b，并據此用符號語言寫出這條性質，即f（x）+f（2a-x）=2b;如果是用數學的符號語言表達函數的性質，就應該讓學生先讀懂符號語言，在說出其圖像的幾何特征。如函數y=f（x）滿足f（x-1）+f（3-x）=2，這個等式就意味函數y=f（x）取了和為2的兩個自變量，對應的函數值的和為2，從幾何的角度看，就是函數y=f（x）的圖像關于點（1，1）中心對稱。

平面解析幾何是中學數學中獨具特色的一個部分，它的核心思想是用代數方法解決幾何問題。學生在解決有關解析幾何的問題時，最大的困難是在思維層面上還沒有真正理解和掌握平面解析幾何的思維特征，對這門學科在思維層面的認識存在著誤區。如很多學生認為平面解析幾何的用代數方法解決幾何問題就是計算。我們也的確常常看到很多學生在解決有關平面解析幾何問題的時候，只要有兩個曲線方程，如直線方程和圓錐曲線方程，就要聯立，代入消元，轉化為關于一個變量的一元二次方程，再計算判別式的值、寫出根與系數的關系等，一直做到做不下去為止。在一些教師的指導中，給學生們傳授的得分“秘籍”也是將已知條件中的方程能“聯立”就“聯立”，能算到哪里就是哪里，總可以得到一些分數等。

實際上，解決平面解析幾何問題首先要做的就是要將幾何對象代數化。平面解析幾何研究的對象是幾何元素，而依據幾何學的學科觀點、學科思想，也就決定了研究問題的思維特征：就是在用代數方法解決幾何問題之前，要研究幾何對象的幾何特征。而所謂的幾何特征就是單個幾何對象的幾何性質或兩個及以上幾何對象之間的位置關系。由于我們面對的幾何對象的形式是多種多樣的，有的是以方程的面目出現，有的是以圖形的形式表達。為此，我們正是通過幾何對象的方程、圖形或數據等，來完成幾何對象的幾何特征的研究，并在此基礎上進行將幾何特征的代數化。這種代數化能否順利地進行，取決于對幾何對象的幾何特征的分析是否準確和全面。

如有這樣一個問題：直線y=kx+1與圓x2+y2+kx+my-4=0交于M、N兩點，且M、N關于直線x+y=0對稱，求m+k的值。這個問題不少的學生會在是否要將直線方程y=kx+1與圓方程x2+y2+kx+my-4=0聯立而躊躇不前，還有的同學利用直線y=kx+1與直線x+y=0垂直得出k=-1之后，為如何算出m而苦惱。這些學生的問題都源于要通過計算得出結果的想法，反而陷入到困境中.符合平面解析幾何思維特征的做法是：條件直線y=kx+1與圓x2+y2+kx+my-4=0交于M、N兩點告訴我們的是直線y=kx+1與圓的位置關系;條件“M、N關于直線x+y=0對稱”交待了直線y=kx+1與直線x+y=0的位置關系。即兩條直線垂直，而且直線x+y=0還平分直線y=kx+1上的一條線段，這樣確定直線x+y=0與圓x2+y2+kx+my-4=0的位置關系就成為思維的焦點，由于線段MN是圓的弦，弦MN被直線x+y=0垂直平分，由此進一步分析得出圓x2+y2+kx+my-4=0的圓心在直線x+y=0上。這就是這個問題最本質的分析，此時對這個幾何特征的代數化就是將圓心坐標（，）代入到直線方程x+y=0，進而得到m+k=0。上述分析的思維主線遵循的就是平面解析幾何的學科思想，正是在對兩條直線及與圓之間位置關系研究的基礎上，才找到了將幾何對象代數化的本質做法。

總之，教師的教學工作就是將人類歷史經驗的精華即科學知識轉化為學生頭腦里的精神財富，在客觀知識轉化為學生的精神財富的過程中，教師“教的意識”就處于一個至關重要的地位。這種“教的意識”首先就體現在要教給學生思考數學問題的方法。這里不是說學生不會思考問題，而是針對學生不會用數學的思維去理解數學問題和思考數學問題而言的。我們深知數學在形成人類理性思維和促進個人智力發展的過程中發揮著獨特的、不可替代的作用。教師的數學教學任務就是要通過教學活動，讓學生領悟數學的各個單元知識所承載的數學思維特征，學會用數學的思維方法去理解數學問題。

（作者單位：北京市海淀區教師進修學校）

責任編輯：趙彩俠

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