幾何思維能力培養的教學路徑

黃紅成

何謂幾何思維？簡單地說，是指學生在幾何學習活動中的形象思維；概括地說，是以幾何圖形為符號語言，以對幾何對象的直接感知為基礎，建構幾何知識和解決幾何問題的思維過程。小學是學生學習成長的起始階段，也是發展學生幾何思維能力的重要階段。然而，由于教師認識的疏忽與不足，學生幾何思維能力的培養和品質的提高并沒有得到應有的重視，局限了學生思維能力的最大發展。主要體現在如下兩個方面。

一是意識淡薄，操作膚淺。可能受解題需要或教學目標的牽制，在幾何知識教學中，“就題講題”“浮光掠影”的教學現象十分常見，以致成為教學的常態。他們要么狹隘地認為，習題的要求就是教學的要求，習題解答完了教學的任務也就結束了；要么機械地認為，滲透數學意識和提高幾何思維能力是多此一舉的行為，至于深入研究問題更是一種超越學生認知水平的教學方式。

二是認識偏頗，視聽混淆。可以說，在現實的教學環境中，由于教師對小學生幾何思維的認識不夠全面、深刻，導致對學生幾何思維能力的發展重視程度不夠，甚至混淆了幾何思維與幾何直觀的概念與作用，將兩者混為一談，分不清兩者的區別和關聯，錯誤地認為幾何思維是一種發現數學規律和尋找解題思路的方法和途徑。教師認識的不足，導致了教學的粗糙和膚淺，也導致了學生的思維能力得不到應有的發展。

那么，如何培養學生幾何思維能力呢？

一、 重視分析，在增強思維清晰度中培養幾何思維能力

就數學學習來說，強調學生思維的清晰性具有重要而普遍的意義，小學數學教學也不例外。清晰分析出問題中的數量關系，是解決幾何問題的前提和基礎。所以在解決條件比較隱蔽、關系不夠明顯的幾何問題時，須要重視對問題中條件的分析，理清數量間的關系，增強思維的清晰程度。

例如，教學“長方體和正方體的展開圖”時，教材通常都讓學生將事先準備的長方體和正方體紙盒剪開，然后觀察它們的表面展開圖。在觀察過程中，由于受前一節課中長方體和正方體特征的影響，教師并沒有挖掘展開圖中的教學資源，學生通常把觀察的重心放在對特征的 “再次確認”上，判斷一些類似“哪個面和哪個面是相對的面？它們的大小怎樣？”“長方體或正方體的展開圖是什么樣子的？”等淺顯的問題。這樣的教學明顯存在不足，因為此舉僅清晰了展開圖中面和面之間的關系，但是邊與邊的關系被疏忽了。如若這樣，學生在求圖1中展開前長方體的體積時，不少學生在分析“寬是多少厘米”時存在困難。教學中，缺少了對展開圖中邊與邊位置和長度關系的分析，學生理不清邊與邊之間的長度關系，不能正確地找出需要的數據，出錯是再正常不過的事情了。因此教學時，可以補充展開前長方體的長、寬、高數據，結合展開圖（如圖2）讓學生說一說展開圖中各條邊的長度及分別是怎么算出來的。有了這樣的分析過程，學生對展開圖中的邊與邊、面與面的關系就非常清晰了，這樣就能大大降低解決圖1中問題的困難，也教給了學生分析幾何問題的方法。

二、 加強辨析，在增進思維深刻度中培養幾何思維能力

數學思維的深刻性是指數學活動的抽象程度和邏輯水平，以及思維活動的廣度、深度和難度等。深刻性是思維品質的基礎，其水平的高低將影響思維品質其他方面的發展水平。幾何思維是一類數學思維，也講求思維的深刻性，其深刻性的水平是衡量學生思維能力高低的重要標尺。教學中，需要結合具體的問題，適時訓練學生的幾何思維。

例如，學了“多邊形面積的計算”后，為了溝通知識之間的聯系，增進學生幾何思維的深刻性，可以讓學生先計算這些圖形的面積：（1）平行四邊形底12厘米，高8厘米；（2）三角形底12厘米，高16厘米；（3）三角形底24厘米，高8厘米；（4）梯形上底9厘米，下底15厘米，高8厘米。學生算出這些圖形的面積，發現這四個圖形的面積都相等后，辨析“為什么這些圖形的面積是相等的？”“怎樣的平行四邊形和三角形或梯形的面積相等？”應該說，這樣兩個問題比較抽象，也存有一定的思考難度。但是因為有了前面的計算過程，有了之前圖形面積公式推導的經歷，解決這兩個問題還是有路可尋的。在討論和交流之后，學生覺得可以用割補的方法將圖形進行等積變形來判斷（如圖3示意），并且總結出了諸如“一個平行四邊形和三角形等底等面積，平行四邊形的高是三角形的一半，三角形的高是平行四邊形的2倍。”等較為抽象的結論。這樣，學生對類似的幾何問題就有了更加全面而深入的認識，同時也為解決類似“畫一個與已知平行四邊形面積相等的三角形或梯形”的幾何問題做好了準備。

三、 善于追問，在增大思維拓展度中培養幾何思維能力

適度的拓展練習，是課堂教學的必要延伸和補充，可以讓學生開闊知識視野，積累數學經驗，加深問題認識，發展思維能力。所以，數學教學需要發掘和利用教學資源，適時進行置疑和追問，讓學生對數學問題的認識更加全面，進而實現培養思維能力的目的。

例如，在“圓的面積”的練習課中，有這樣一個問題：計算邊長40厘米的正方形中最大的圓的面積（如圖4）。學生計算出面積3.14×（40÷2）2=1256平方厘米之后，隨即改變條件：“如果正方形的邊長是20厘米，那么其中最大的圓的面積是多少平方厘米？”學生算出3.14×（20÷2）2=314平方厘米。此時，我們不妨追問：“不知道同學們有沒有想過，最大的圓面積和正方形面積是不是存在某種特殊的關系？怎樣的關系？它們的比是不是相同呢？”富有挑戰意味的問題一出，學生開始大膽猜測，然后決定分組算出兩個問題中圓和正方形的面積比，發現都是157∶200。“是不是不管正方形的邊長有多長，最大的圓與它的面積比都是157∶00呢？如果是，那怎樣來證明呢？”有的學生說再舉例，只要不出現反例就可以了；有的學生假設圓的半徑為a厘米，那么最大的圓和正方形的面積比是（3.14a2）：（4a2）=157∶200，說明他們的比是不變的。通過適度的拓展和適時的追問，學生對“方中有（最大的）圓”這一數學問題的認識更加全面，而且將問題的研究從特殊推向一般的教學方式，拓寬了學生幾何思維的寬度，發展了學生的數學思維能力。

四、 加強反思，在增添思維嚴密度中培養幾何思維能力

嚴謹性是數學學科的基本特點，也是數學教學的要求。小學階段的幾何教學，通常采用直觀教學的方式，學生對圖形的認識一般靠直覺等方式來感知，很少采用推理、證明的方式來分析，這樣很容易出現一些錯誤的判斷，也不利于學生形成正確的認知。所以加強反思，可以提高學生的思維能力，養成良好的思維習慣，甚至有助于學生批判意識的形成。

例如，學生在解決“一個平行四邊形兩條相鄰的邊分別長12厘米和8厘米，一條高為10厘米，這個平行四邊形的面積是多少？”的問題時，因為學生不能正確選擇出對應的底和高，而且缺乏謹慎的態度和反思的意識，以致胡亂選取一個底和一條高錯誤地計算出圖形的面積（甚至有學生把三個數據相乘來算面積）。對此，教學“平行四邊形面積”時，可以結合如圖5這樣的平行四邊形，讓學生分別量出兩組對應的底和高，并且在計算之前，讓學生面對圖形進行反思：“現在有4個數據，該用哪兩個數據計算平行四邊形的面積呢？”由于學生在測量過程中會不自覺地思考這樣的問題，加之有直觀的圖形在眼前，所以判斷這個問題輕而易舉。不過，對問題的思考不能到此就偃旗息鼓，而是繼續引導：“4個條件，你們怎么知道要用這兩個數據相乘算出平行四邊形的面積呢？”“因為可以從圖上直接看出，這兩個數據是對應的底和高”“你們的意思，是需要借助什么？是誰幫了你們的忙？”“圖形。”“想一想，怎樣變化可以增加問題的難度？”有的學生說去掉圖形，有的學生說再去掉一條高或一個底邊。最后按照學生的意見，再分析“選擇哪組數據‘完整’的對應條件”計算平行四邊形的面積。從中，不難看出，引導的過程其實是學生反思的過程，也是提高學生思維嚴謹性的過程。在反思的過程中，學生意識到解決類似問題需要找準條件，認識到對應的底和高在數據大小方面的特點，掌握了尋找對應條件解決問題的方法，從而誘發了學生的反思意識，鍛煉了學生的數學思維。

總之，幾何思維是數學思維的重要組成部分，直接影響學生后繼學習的質量，因此，需要我們在教學中善于挖掘和利用教學資源，創造性地使用教材，在不斷的辨析和追問中提高學生的幾何思維品質，在不斷的置疑和反思中培養學生的幾何思維能力，為學生的持續發展打好堅實的基礎。

【責任編輯：陳國慶】