“數與式”復習精講

王有令

1.1實數

重點難點易混易錯點剖析

復習重點：一是實數的有關概念如數軸、倒數、相反數、絕對值、平方根、算術平方根、立方根、無理數，以及實數的相關運算；二是平方根、算術平方根、無理數的意義及性質；三是加強與生產、生活及科學研究方面的聯系，

復習難點：靈活運用實數的性質解決相關問題，準確進行實數的運算，學會探索規律的方法，

易混易錯點：在較復雜的運算中，不注意運算順序或者不合理使用運算律，從而使運算出現錯誤：掌握好平方根、算術平方根的區別；對于實數的運算要掌握好與實數有關的概念、性質，靈活地運用各種運算律，關鍵是把好符號關.

重要考點題型方法點撥

一、倒數、相反數、絕對值的概念

例1 -2015的倒數是（）.

A.-1/2015 B.1/2015

C.-2015

D.2015

解析：本題考查倒數的概念，根據倒數的意義，乘積是1的兩個數互為倒數，據此解答.選A.

點撥：本題主要考查了倒數的概念，解決本題的關鍵是熟記乘積是1的兩個數叫作互為倒數，倒數、棚反數、絕對值的概念必須掌握，并且要區分清楚，中考題一般以選擇題或者填空題出現，題目不難，是每年中考必考題之一，解此類題的易錯點是，求倒數以后改變了符號，如-2015的倒數寫成了-1/2015，切記不要出現這類錯誤，弄清實數有關的概念，是避免此類錯誤發生的關鍵，

二、科學記數法

例2 據統計，2014年我國高新技術產品出口總額40570億元，將數據40570億用科學記數法表示為（）.

A.4.0570×10

B.0.40570×10

C.40.570×10

D.4.0570×10

解析：本題中40570億，有13位整數，用科學記數法（形式為a×10）表示，10的指數為13-1=12.故40570億=4057000000000=4.0570×10（另法：1億=10，40570億=40570×10=4.0570×10）.故選D.

點撥：此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為a×10，其中1≤|a|<10，n為整數.表示時關鍵要正確確定“的值以及n的值.在確定n的值時，看該數是大于或等于1還是小于1.當該數大于或等于1時，n為它的整數位數減1；當該數小于1時，-n為它第一個有效數字前0（含小數點前的那個0）的個數，解此題易錯點是：把單位“億”錯誤認為是10，此類題是河南中考必考的內容，多年來中考評卷都發現，此類題錯誤點都是忘記或者不知道“1億=10”，避免出現這類錯誤的關鍵是：一定要記牢“1億=10”.

三、有理數與無理數的意義

解析：無理數是無限不循環的小數，即非有理數的實數，不能寫作兩整數之比，若將它寫成小數形式，小數點之后的數字有無限多個，并是無理數，故選C.

點撥：解決此類問題的關鍵是準確把握有理數、無理數及實數的概念，不能片面地從形式上判斷屬于哪一類數，對有關實數進行歸類時，必須對已給出的某些數進行化簡，對最簡的結果進行歸類，掌握常見無理數的三類形

四、平方根、算術平方根、立方根的概念

例4（2015.南京）4的平方根是____，4的算術平方根是____.

解析：根據平方根的定義，求數a的平方根，也就是求一個數x，使得x=a，則x就是a的平方根.因（±2）=4，故4的平方根是±2.根據算術平方根的定義，求數a的算術平方根，也就是求一個正數x，使得x=a，則x就是a的算術平方根，特別地，規定0的算術平方根是0.因2=4.故4的算術平方根是2.

點撥：本題主要考查平方根、算術平方根的概念，解答這類題關鍵是弄清相關的概念，此題的易錯點是錯誤得到4的算術平方根為±2.產生錯誤的原因是忘記了算術平方根必須為正數這個前提條件.

1.2代數式

重點難點易混易錯點剖析

復習重點：列代數式、代數式的取值范圍、整體代入方法.

復習難點：整體代入方法，整體思想的應用，

易混易錯點：整體代入方法、解釋代數式的實際背景或幾何意義.

重要考點題型方法點撥

一、列代數式

例1

一臺電視機原價是2500元，現按原價的8折出售，則購買a臺這樣的電視機需要____元.

解析：現在以8折出售，就是現價.與原價的80%，把原價看作單位“1”，根據一個數乘百分數的意義得：2500a×80%=2000a（元）.故答案為2000a元.

點撥：本題主要考查了打折問題，找準單位“1”，弄清各種量的關系是解答此題的關鍵.此題的易錯點是：易把打折優惠的20%，當成商家出售的價格，錯誤認為最終購買a臺這樣的電視機需要2500a×0.2元，實際上2500a×0.2元是商家優惠的部分.仔細分析題意，是避免發生錯誤的關鍵.

例2 隨著服裝市場競爭日益激烈，某品牌服裝專賣店一款服裝按原售價降價a元后，再次降價20%，現售價為b元，則原售價為（）.

A.（a+（5/4）b）元

B.（a+（4/5）b）元

C.（b+（5/4）a）元

D.（b+（4/5）a）元

解析：設原售價是x元，根據降價a元后再次下調了20%后是b元為相等關系列出方程，用含a，b的代數式表示x，則（x-a）（1-20%）=b，解得x=a+（5/4）b，故選A.

點撥：解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題日給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程.此題的易錯點是：一款服裝按原售價降價a元后，“再次降價20%”易錯誤理解為原售價設為x元，降價a元后按照20%的價格售出，即錯解為：20%（x-a）=b.

二、依據代數式求未知數的取值范圍

點撥：（1）整式：未知數的取值范圍是全體實數.（2）分式：未知數為滿足分母不為零的取值.（3）根式：開奇次方，未知數使被開方數為任意實數；開偶次方，未知數使被開方數為非負數.依據代數式求未知數的取值范圍，就是使代數式中的各項式子同時有意義，易錯點是：只考慮了部分式子有意義的條件，忽略了另一部分式子有意義的條件，如錯選A就是只考慮了式子

點撥：求代數式的值時，采取的步驟是：先化簡，再代入求值，化簡后，首先要思考的就是看看能甭運用整體思想來求值，本題就是將代數式化為含有a+b的代數式的形式，然后把a+

中考命題預測

1.為慶祝抗日戰爭勝利70周年，某市某樓盤讓利于民，決定將原價a元/平方米的商品房降價10%銷售，降價后的售價為（）.

A.（a-10%）元/平方米

B.a·10%元/平方米

C.a（1-10%）元/平方米

D.a（1+10%）元/平方米

2.某企業今年1月份產值為x萬元，2月份比1月份減少了10%，3月份比2月份增加了15%，則3月份的產值是（）.

A.（1-10%）（1+15%）x萬元

B.（1-10%+15%）x萬元

C.（x-10%）（x+15%）萬元

D.（1+10%-15%）x萬元

1.3 整式與分式

重點難點易混易錯點剖析

復習重點：整式與分式的化簡及代入求值.

復習難點：去括號與添括號時的符號與系數變化.

易混易錯點：求分式值為零時易忽略分母不能為零：分式運算時要注意運算法則和符號的變化：當分式的分子分母是多項式時要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解為止，注意計算方法，把分式化為最簡分式.

重要考點題型方法點撥

一、整式的概念和加、減、乘、除及乘方運算

例1 （2015.恩施州）下列計算正確的是（）.

解析：選項A中原式利用單項式乘單項式法則計算得到結果，原式=8x，選項A錯誤；選項B中原式不能合并，選項B錯誤；選項C中原式利用冪的乘方與積的乘方運算法則計算得原式=-x，選項C正確；選項D中原式利川完全平方公式化簡得到結果，原式=a-2ab+b，選項D錯誤.故選C.

點撥：此題考查了單項式乘單項式，合并同類項，冪的乘方與積的乘方，以及完全平方公式，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵，易錯點足：x·x易錯得到x，（a-b）易錯得到a-b，熟練掌握乘法公式和有關整式的運算法則，可以避免發生錯解的現象.

二、因式分解

例2 （2015·黃岡）分解因式：x-2x+x=____.

解析：首先提取公因式x，進而利用完全平方公式分解因式，x-2x+x=x（x-2x+1）=x（x-1）.

點撥：對任意多項式分解因式，首先考慮提取公因式，此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應用完全平方公式是解題關鍵.此題的中考失分點是提取公因式后.原式變成x（x-2x+1）就不再繼續分解F去了，錯誤的原因是沒有分解完，這個結果不是本題的最終因式分解結果，因式分解的最終結果是分解到不能再分解為止，掌握這點可以避免出現類似錯誤，

例3 （2015·南京）分解因式（a-b）（a-4b）+ab的結果是____.

解析：首先去括號，進而合并同類項，再利用完全平方公式分解因式，得（a-b）（a-4b）+ab=a-5ab+4b+ab=a-4ab+4b=（a-2b）.

點撥：顯然不能用提取公因式法，又不能直接用乘法公式，需要把（a-b）（a-4b），用多項式乘法法則展開，再與ab一起合并同類項.此題主要考查了多項式乘法以及公式法分解因式，熟練應用完全平方公式是解題關鍵.

三、分式的概念及性質

點撥：解分式值為零的問題時，學生易忽略分母不能為零這個隱含條件.要使分式的值為0，不僅需要分式的分子為0，而且需要分式的分母不能為0，這是分式有意義的條件.這兩個條件缺一不可.

解析：根據分式的性質，分子分母都乘以-1，分式的值不變，可得答案1/（x-1）.故選D.

點撥：要熟練掌握分式的基本性質，即分式的分子與分母同時乘以（或除以）一個不為零的整式，分式的值不變.還要牢記分式的符號法則：分式的分子、分母及分式本身，三者的符號改變其中兩個分式的值不變，解此題的易錯點足：只改變了分母的符號，原式錯變成-1/（x-1）.

四、分式的運算

點撥：此題考查了分式的加減法，把異分母的分式化成同分母的分式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.本題是最簡單的異分母的分式加減，此題的中考失分點是：原式化成（x-1）/（x-1），錯得到x-1，錯誤的原因是對平方差公式掌握得不熟練.

1.4 數與式的綜合計算

重點難點易混易錯點剖析

復習重點：分式的化簡，乘法公式的熟練運用，計算的準確性和快速檢驗.

復習難點：去絕對值符號及分類討論問題，異分母分式加減問題.

易混易錯點：分式的化簡計算.

重要考點題型方法點撥

一、概念類綜合問題

點撥：根據使式子有意義的條件，被開方數是非負數，且分母不為0，得出x的值，從而求出y的值及xy的值，此題的中考失分點是：易遺漏分式的分母不為零這個重要條件，從而得到錯解x=±3.

解析：原式第一項利用絕對值的代數意義化簡，第二項利用負整數指數冪法則計算，第三項利用特殊角的三角函數值計算，最后一項利用立方根定義計算即可得到結果.

點撥：此題考查了絕對值、負整數指數冪、立方根等概念，是運算類綜合計算題，重點考查了實數的運算，熟練掌握實數的有關概念和運算法則是解本題的關鍵，解此題的易錯點是：第

點撥：本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則，熟練掌握乘法公式是解答此題的關鍵，此類題是河南省歷屆中考必考的題，預計此類型題也是2016年河南省中考題之一，同學們一定要高度重視，解此題的中考失分點是：在進行異分母的分式相加減時常常出錯.多做一些異分母的分式相加減的題并找出錯誤的原因，可避免這類錯誤的發生.

6.【問題提出】我們在分析解決某些數學問題時，經常要比較兩個數或代數式的大小，而對于解決問題的策略一般要進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所渭“作差法”，就是通過作差、變形，并利用差的符號確定它們的大小，即要比較代數式M、N的大小，只要作m它們的差M-N，若M-N>O，則M>N；若M-N=0，則M=N；若M-N

【問題解決】如圖1，把邊長為a+b（a≠b）的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和Ⅳ的大小.

【聯系拓廣】小剛在超市里買了一些物品，用一個長方體的箱子“打包”，這個箱子的尺寸如圖4所示（其中b>a>c>0），售貨員分別可按圖5、圖6、圖7三種方法進行捆綁，哪種方法用繩最長？請說明理由.