“圖形的性質”復習精講

曹松峰

4.1 命題和證明 圖形認識初步尺規作圖 相交線和平行線

重點難點易混易錯點剖析

本節內容涉及余角、（鄰）補角、對頂角、垂直、距離、平行、“三線八角”等基本概念，以及相交線垂直的性質、平行線的性質與判定等諸多基本事實及定理.如果我們對一些基本概念缺乏全面深刻的理解，不能迅速準確地識別相交線中的“三線八角”，抑或對平行線的性質與判定方法等一命題的條件、結論和適用范罔分辨不清，就會在使用時張冠李戴，使得運算推證的依據不足、理由不充分或根本錯誤；如果我們還沒有接納推理的思想，缺乏說理的自覺，習慣于想當然辦事，那么思路不周嚴、思維不順暢等現象就還會時有發生.

重要考點題型方法點撥

一、余角、補角的概念

點撥：解答此題的關鍵是要正確地理解和運用“等角的補角相等，等角的余角相等”等相關性質.

二、平行線的性質線八角”的概念和平行線的性質小能正確理解可能導致錯誤.

三、原命題與逆命題

其中原命題與逆命題均為真命題的是（）.

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④

解析：先對原命題進行判斷，再根據互逆命題的定義寫出逆命題，然后判斷逆命題的真假.①②③中的原命題、逆命題均為真命題：而在④中，若|-x|=-x，則-x≥O，解得x≤0，原命題是假命題.故選A.

點撥：主要考查原命題與逆命題的概念.需要注意：原命題與逆命題不一定同真同假，

四、角平分線概念

五、作圖（線段的垂直平分線）

例5 （2015.北京）閱讀下面材料：

在數學課上，老師提出如下問題：

尺規作圖：作一條線段的垂直平分線.

已知：線段AB求作：線段AB的垂直平分線，

小蕓的作法如下：

如圖3，分兩步進行：（1）分別以點A和點B為圓心，大于1/2AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點；（2）作直線CD.直線CD就是所求作的垂直平分線.

老師說：“小蕓的作法正確.”

請回答：小蕓的作圖依據是____.

解析：依據是：（1）到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上；（2）兩點確定一條直線，

點撥：本題考查線段垂直平分線的尺規作圖.本題的作圖依據是線段垂直平分線的相關結論和關于直線的基本事實.當然，以上所列作圖依據并不唯一.不少同學失分的原因在于沒有理解題意，只是把作圖的過程重述了一遍，沒有將其中的緣由描述清楚，或者根本就不清楚作圖的理由，

六、平行線的性質與其他知識的綜合

4.2 三角形及其全等

重點難點易混易錯點剖析

三角形中的三條邊、三個內角、邊與角之間存在一定的數量關系，這是我們處理所有三角形問題時應牢記的隱含條件.如果題目沒有給出圖形，抑或未將文字敘述與圖形一一對應.在畫出圖形或將元素關系用圖形表示時，不得人為地把問題特殊化，如，不能只想到銳角三角形或直角三角形，而忽略鈍角三角形的情形：不能把一般的三角形畫成等腰三角形、直角三角形等，在判定三角形全等時必須注意對應關系，學會析取“基本圖形”，善于發掘隱含的元素關系，靈活運用“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”等判定方法.切忌杜撰“角角角”或“邊邊角”等所謂的判定定理.

重要考點題型方法點撥

一、三角形高的概念

點撥：解法一的實質是用同一面積的不同表達形式推求有關數式之間的數量關系，由此時常可以避開繁雜的運算簡便求解.解法二則運用了人教版《數學》七年級上冊第56頁第12題中的一個十分簡單有用的結論.

四.全等三角形的判定

點撥：添加條件推斷三角形全等的題目，大多具有開放性，求解時需將已知條件與全等的判定條件比對，增添缺失的邊或角的對應關系.

點撥：本題主要考查正方形、全等三角形的性質和判定方法，在第（2）問中也考查了通過全等找出和GE相等的線段，從而證得關系成立.推證兩條線段相等往往轉化為證明這兩條線段所在的三角形全等，這種思想應用廣泛，讀者朋友一定要熟練掌握.

7.問題提出：學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究.

4.3等腰三角形和直角三角形

重點難點易混易錯點剖析

等腰三角形是軸對稱圖形，等邊對等角，“三線合一”等是其主要特性，在題目沒有明確給出腰和底角的情況下，尤其要考慮周全，實施必要的分類討論.在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理等都是我們處理相關問題的重要工具，解題時一定要注意定理的適用條件，厘清一般和特殊、性質與判定的聯系與區別.

點撥：本題考查了等腰三角形的概念、解一元二次方程、三角形三邊關系定理的應用等知識，如果忽略構成三角形的條件，或者不分類討論，就可能會錯選D或B.

二、直角三角形的性質

點撥：此題主要考查了等腰三角形、直角三角形的性質和判定方法、勾股定理的應用等，解決此類問題的著眼點是根據折疊的性質來探求和利用折疊前后的全等圖形.

四、等腰三角形、直角三角形與其他知識酌綜合

點撥：該題直接考查學生數學基本活動經驗的遷移能力，如果能在解決問題（1）（2）時用心體悟思路，就能夠在面對問題（3）時，自覺地以AB為邊，向外作等腰直角三角形，把求線段BE的長轉化為求線段CD的長，再結合所給條件，在Rt△DBC中順利求解.追根溯源，該題是課本上一道經典幾何題目（人教版《數學》八年級上冊第83頁第12題）的改造和延伸.

值得注意的是，這個課本原題的許多變式頻繁地出現在近幾年各地的中考試卷中，如.2013年江西卷的第23題、2014年沈陽卷的第24題.2015年臨沂卷的第25題等，有興趣的同學不妨拿來做一做，這些考題共同反映了中考的一種重要命題動向：全等三角形作為初中數學的核心內容，不但被用于考查學牛的邏輯推理能力，而且在考查學生的類比、歸納等合情推理能力時也可以派上用場.

4.4多邊形和特殊四邊形

重點難點易混易錯點剖析

本節的重點難點足平行四邊形以及矩形、菱形、正方形等特殊平行四邊形的概念、性質和判定方法，關涉這些圖形的命題之間重疊交錯，容易混淆，應下氣力弄清它們的共性、特性及其包含關系，判定特殊的平行四邊形時，應在真正理解題意的基礎上，合理確定一種判定方法，既要避免出現推理沒有根據，理由不充分的邏輯錯誤，也不能思路混亂，重復使用條件，或者循環論證，以確保運算推證的精準性、嚴密性、順暢性.

點撥：本題考查多邊形的內角和公式及其推淪.

二、平行四邊形的判定

例2 （2015.廣州）下列命題中，真命題有（）.

①對角線互相平分的四邊彤足平行四邊形；②兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形.

A.3個 B.2個 C.1個

D.0個

解析：由平行四邊形的判定方法易知①②正確，一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形也可以是等腰梯形，③錯誤，故選B.

點撥：本題考查平行四邊形的判定.熟悉各種基本圖形的本質特征，避免以偏概全的錯誤，就可以正確迅速地作出判斷.

三、菱形的性質

四、矩形的判定

例4 （2015.資陽）若順次連接四邊形ABCD四邊的中點，得到的圖形是一個矩形，則四邊形ABCD一定是（）.

A.矩形

B.對角線相等的四邊形

C.菱形

D.對角線互相垂直的四邊形

點撥：本題考查三角形的中位線定理以及矩形的判定.可能會有同學誤選B，造成錯誤的原因：受“判斷平行四邊形、菱形、正方形的各邊中點所連成的四邊形的形狀”問題思維定式的影響；抑或審題不細，未能完全理解題意，

五、正方形的性質與判定

例5 （2015.甘孜、阿壩）已知E，F分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點，AF，DE相交于點G，當E，F分別為邊BC，CD的中點時，

試探究下列問題：

（1）如圖3（1），若點E不是邊BC的中點.F不是邊CD的中點，但CE=DF，上述結論①②是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”，不需要證明）

（2）如圖3（2），若點E，F分別在CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時，上述結論①②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.

點撥：本題主要考查正方形的性質與判定和類比推理能力，“題根”是人教版《數學》八年級下冊第68頁第8題.

應當指出，此課本原題的變式較多，并且備受中考命題者的青睞.如，中考試卷中2014年內江卷的第18題、衢州卷的第23題、煙臺卷的第25題、2015年廣州卷的第18題等，都可以看作它的拓展和延伸，

另外，正方形與其他知識的綜合問題也是一類重要題型，如2015年綿陽市中考題第25題，它可以看作由人教版《數學》八年級下冊第69頁第14題的“題根”生發而成.翻看近幾年的中考試卷，不時可以看到該課本原題圖形的影子，不再一一列舉.

4.5圓

重點難點易混易錯點剖析

本節知識的重點難點：一是對圓的基本概念、基本性質的理解及運用，特別是垂徑定理、圓周角定理及其推論的應用；二是直線與圓的位置關系，重點為切線的判定與性質.在提及圓中一條弦所對的圓周角時，要考慮到該弦所刈的圓周角有兩種類型.在辨認圓心角、圓周角、弦、弦心距、弧等的關系時，要注意是否要求在同圓或等圓中，在運用垂徑定理的推論“平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分這條弦所對的兩條弧”時，不能忽略括號中的三個字，在求解關涉垂徑定理、切線性質與判定的問題時，往往要添加適當的輔助線實現思路貫通，在求解網與三角形、平行四邊形的綜合性題目時，積極發掘和利用圓的特殊性質和圓中眾多的不變量是順利求解的關鍵所在.

重要考點題型方法點撥

一、圓周角的性質

解析：要使四邊形為菱形，只需滿足兩條對角線互相垂直平分的條件，題設中已有OCIAB，由垂徑定理知A D=BD，再添加條件OD=CD即可，故選B.

點撥：本題考查垂徑定理及菱形的判定方法.如果對相關知識含糊不清，可能會錯選其他選項，

四、求扇形的面積

例4 （2015.廣東）如圖4，某數學興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形（忽略鐵絲的粗細），則所得的扇形DAB的面積為（）.

A.6

B.7

C.8

D.9

解析：根據圖形觀察可知，扇形DAB的半徑等于正方形ABCD的邊長，扇形DAB的弧長等于正方形的邊長BC與CD的和，易得所求面積為1/2×6×3=9.故選D.

點撥：本題考查扇形的面積計算和正方形性質的運用，發現扇形DAB的弧長等于正方形邊長的2倍是解答本題的關鍵.

五、切線長定理

例5 （2015.南京）如圖5，在矩形ABCD中，AB=4，

點撥：本題考查正方形的性質、切線的性質及勾股定理等知識，解題的基本思路是：先連接圓心和切點，再充分運用切線長定理確定部分線段的長度，然后在關涉未知量的直角三角形中利用勾股定理求解.