“方程與不等式”復習精講

袁曉亮

2.1 一元一次方程（一元二次方程）和二元一次方程組

重點難點易混易錯點剖析

復習重點：一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程的求解和在實際問題中的應用.

復習難點：列出方程（組）解決實際問題，正確求出方程（組）的解以及根據根的判別式判斷一冗二次方程根的情況.

易混易錯點：

（1）解方程（組）時要注意遵守代數恒等變形和方程同解變形的基本法則，解一元二次方程時，應靈活選擇方法，一般先后順序為因式分解法、公式法、配方法.

（2）任求出一元二次方程的解時，注意檢驗解是否符合題意，如果不符合題意應舍去.

（3）一元二次方程有解的含義包括有兩個不相等的實數根和兩個相等的實數根兩種情況.

（4）在解含字母系數的方程時，應注意判斷足一元一次方程還是一元二次方程，應該分類討論，解出字母的值以后還要注意是否滿足原方程有解.

（5）運用根與系數關系時，應注意首先保證方程有實數根，然后再利用根與系數的關系求解.

（6）解含分母的方程時應注意，小要漏乘，去括號注意變號，移項要變號.

重要考點題型方法點撥

一、方程（組）的解和解方程（組）

例1 （2015·無錫）方程2x-1=3x+2的解為（ ）.

A.x=1

B.x=-1

C.x=3

Dx=-3

解析：移項，得3x-2x=-1-2，合并同類項，得x=-3，故選擇D.

點撥：解一元一次方程的一般步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1.此類問題容易出錯的地方是：（1）去分母時漏乘，移項不變號；（2）減法計算錯誤，如-1-2=1；（3）化系數為1時，容易計算錯誤，

二、一元二次方程根的判別式

例2 關于x的一元二次方程kx+2x-1=0有

點撥：當一元二次方程ax+bx+c=0（（a≠0：的系數滿足：（l）b-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數根；（2）b-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；（3）b-4ac<0時，方程沒有實數根，此類問題容易出錯的地方是忽略一元二次方程二次項系數不等于0.

三、運用方程（組）解決實際問題

例3 （2015·徐州）某超市為促銷，決定對A，B兩種商品進行打折出售.打折前，買6件A商品和3件B商品需要54元，買3件A商品和4件B商品需要32元；打折后，買50件A商品和40件B商品僅需364元，打折前需要多少錢？

即打折前A，B商品每件分別需要8元、2元，因此打折前50件A商品和40件B商品共需要：50×8+40×2=480（元）.

點撥：列方程（組）解決應用問題最為重要的就是找出題中的等量關系，銷售中的主要相等關系：①售價=標價（原價）×打折率，或售價：進價+利潤；②利潤率=利潤/進價×100%；③利潤=售價-進價（成本價），或利潤=進價（成本價）×利潤率；④標價（原價）×打折率=進價+利潤.

需要根據實際問題的實際意義驗汪方程（組）的解是否滿足題意.此問題容易出錯的地方一是沒有找出等量關系，二是沒有看清題意，錯誤地將x、y的值作為本題的答案.

四、根據等量關系列方程（組）

例4 （2015·遵義）2015年1月20日遵義市政府工作報告公布：2013年全市生產總值約為1585億元，經過連續兩年增長后，預計2015年將達到2180億元，設平均每年增長的百分率為x，可列方程為____.

解析：平均每年增長的百分率為x，2013年全市生產總值約為1585億元，所以2015年全市生產總值將達到1585（1+x）億元，所以所得方程為1585（1+x）=2180，故答案為1585（1+x）=2180.

點撥：增長率問題中，一般情況下，假設基數為a，平均增長率為x，增長的次數為n（一般情況下為2），增長后的量為6，則有表達式a（1+x）=b，類似地還有平均降低率問題，則有表達式a（1-x）=b.注意區分“增”與“減”，此問題容易出錯的地方是：（1）沒有認真審題，沒弄清楚是“增長”還是“減少”出現列式的錯誤：（2）誤認為2180億元是這三年全市生產總值的和而出錯.

2.2 可化為一元一次方程的分式方程

重點難點易混易錯點剖析

復習重點：解分式方程的基本思想是轉化思想，即通過去分母把分式方程轉化成整式方程來解.會解能化為一元一次方程的分式方程，判斷分式方程是否有增根，利用分式方程解決實際問題.

復習難點：理解增根產生的原因，判斷是否產生增根以及解決和增根有關的問題.

易混易錯點：

（1）分式方程無解的原因有兩種：一是去分母后的整式方程無解，二是去分母后的整式方程有解，但是這個根使分式方程無解，是增根.

（2）分式方程有增根與方程無解的區別：

增根是由于在分式方程轉化為整式方程的變化過程中，未知數允許值范圍的擴大而導致產生的，它可以通過“檢驗”來找出；無解是由于原分式方程本身就是矛盾方程造成的，即不論未知數取任何實數，等式都不能成立；方程有增根不一定無解，但如果解出的所有根都是增根，這時原分式方程就一定無解了.容易認為分式方程無解僅僅是方程有增根導致的，這樣不進行分類討論就導致了漏解現象的發生.

（3）列分式方程解應用題需要“雙檢驗”，既要檢驗去分母后的整式方程的解是否是增根，又要檢驗是否符合題意.

（4）解已知有增根的且含有字母系數的分式方程的問題，首先將分式方程化為整式方程，確定增根的值有幾個，代入到整式方程中即可.

點撥：解分式方程的一般步驟是：①去分母，將分式方程化為整式方程；②解這個整式方程，得未知數的值；③檢驗，將所得整式方程的解代入去分母時方程兩邊所乘的整式中，使這個整式的值不為0的未知數的值即為分式方程的解，否則是方程的增根.特別注意：解分式方程一定要驗根.此類問題容易出錯的地方是解方程移項時忘記變號，導致結果錯誤，

例2（2015.濟寧）解分式方程2/（x-1）+（x+2）/（1-x）=3時，去分母后變形正確的為（

）.

A.2+（x+2）=3（x-1）

B.2-x+2=3 （x-1）

C.2-（x+2）=3

D.2-（x+2）=3（x-1）

解析：原方程變形為2/（x-1）-（x+2）/（x-1）=3，兩邊同時乘以x-1，得2-（x+2）=3（x-1），故選擇D.

點撥：解分式方程去分母時，首先要找準最簡公分母，注意最簡公分母要包含各分式所有分母的因式，分母是多項式的，應先分解因式，再從系數、相同字母、不同字母三個方面考慮，其中系數取最小公倍數，相同字母或因式取最高次冪，互為相反數的兇式，注意通過符號變化取其中一個作為最簡公分母的因式即可：其次，依據等式的基本性質，分式方程的每一項都要乘以最簡公分母，特別不要漏乘沒有分母的項，還要防止漏掉括號以及避免符號變形錯誤.此類問題容易出錯的地方是：①確定最簡公分母出錯；②去分母時容易漏乘沒有分母的項：③在解題過程中發生符號錯誤.

二、分式方程的增根

例3 （2015.龍東）關于x的分式方程m/（x-4）-1/（x+2）=0無解，則m=

.

解析：方程去分母得m-（x-2）=0，解得x=2+m.故當x=2時分母為0，方程無解，即2+m=2，故m=0時方程無解，當x=-2時分母為0.方程無解，即2+m=-2，故m=-4時方程無解，

綜上所述，m的值是0或-4.

點撥：分式方程無解的條件有兩種：（1）將分式方程化成的整式方程無解，則分式方程也無解；（2）化成的整式方程的解都是該分式方程的增根，均被舍掉，則分式方程無解.

本題屬于后一種情況，因此解這類問題要兩者兼顧，不能漏解.此題容易出錯的地方是只考慮x=2和x=-2中的一種情況，導致漏解，

三、根據等量關系列分式方程

例4 （2015.本溪）為迎接“六一”兒童節，某品牌兒童玩具專賣店購進了A、B兩類玩具，其中A類玩具的進價比B類玩具的進價每個多3元，經調查：用900元購進A類玩具的數量與用750元購進B類玩具的數量相同.設A類玩具的進價為m元/個，根據題意可列分式方程為（）.

點撥：設出未知數，根據題意找到等量關系，列出方程，此類問題容易出錯的地方是不能正確確定題中的等量關系.

四、運用分式方程解決實際問題

例5 （2015.泰安）某服裝店購進一批甲、乙兩種款型時尚T恤衫，甲種款型共用了7800元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數是乙種款型件數的1.5倍，甲種款型每件的進價比乙種款型每件的進價少30元.

（1）甲、乙兩種款型的T恤衫各購進多少什？

（2）商店按進價提高60%標價銷售，銷售一段時間后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店決定對乙款型按標價的五折降價銷售，很快全部售完，求售完這批T恤衫商店共獲利多少元.

解析：（1）設乙款型購進x件，則甲款型購進1.5x件，根據題意列方程，得：

則售完這批T恤衫商店共獲利5960元.

點撥：此類問題容易…錯的地方是在列分式方程時出錯，對“甲種款型每件的進價比乙種款型每件的進價少30元”理解錯誤.

中考命題預測

1.某次列車平均提速v km/h.用相同的時間，列車提速前行駛s km，提速后比提速前多行駛50 km.設提速前列車的平均速度為x km/h，則列方程是（）.

4. 2014年12月28日“青炯威榮”城際鐵路正式開通.從煙臺到北京的高鐵里程比普快里程縮短了81 km，運行時間減少了9h.已知煙臺到北京的普快列車里程約1026 km，高鐵平均時速為普快平均時速的2.5倍.

（1）求高鐵列車的平均時速.

（2）某日土老師要去距離煙臺大約630 km的某市參加14：00召開的會議，如果他買到當日8：40從煙臺至該市的高鐵票，而且從該市火車站到會議地點最多需要1.5 h，試問：在高鐵列車準點到達的情況下他能在開會之前趕到嗎？

2.3 一元一次不等式與不等式組

重點難點易混易錯點剖析

復習重點：根據小等式的基本性質解不等式、解一元一次不等式和一元一次不等式組，利用數軸表示不等式（組）的解集，用不等式（組）解決實際問題，

復習難點：根據不等式的基本性質對小等式進行變形，在解決實際問題中如何正確列出不等式（組）.

易混易錯點：

（1）解不等式組的一般步驟：先求出各個不等式的解集，再在數軸上表示出解集的公共部分，最后寫出不等式組的解集.

（2）在數軸上表示解集時，一定注意區分實心和卒心的區別以及左右方向問題.

（3）在運用不等式基本性質和解不等式時，特別注意性質2和性質3的區別，注意是變號還是不變號.

（4）在利用不等式解決實際問題時要注意抓住關鍵詞如“大于”、“不大于”、“至少”、“最低”等列出不等式（組），在解出不等式（組）后要根據實際情況取特殊值作為解.

（5）不等式組的特殊解是指一元一次不等式組的解集中滿足某個條件的部分解，應該先求出不等式組的解集，再挑選出符合條件的解.

（6）列不等式組解決實際問題要注意符合實際，例如運輸方案中一般汽車運輸貨物的能力要大于或等于貨物重量，用于購買物品的錢數應該小于或等于所持金額.

（7）根據不等式（組）的解集確定字母系數的值時，一般先求出含有字母系數的不等式（組）的解集，再根據已知不等式（組）的解集情況，求出字母的取值范圍.

重要考點題型方法點撥

一、不等式的基本性質

例1 （2015.懷化）下列不等式變形正確的是（）.

A.由a>b得ac>bc

B.由a>b得-2a>-2b

C.由a>b得-a<-b

D.由a>b得a-2

解析：當c≤0時，選項A錯誤；根據不等式性質，在不等式兩邊同時乘以同一個負數時，不等號的方向改變，故選項B錯誤，選項C正確；在不等式兩邊同時加上或減去同一個數不等號的方向不變，故選項D錯誤，故選C.

點撥：本題容易出錯的地方是對不等式性質理解不透徹，錯認為B選項也正確.在利用不等式基本性質對不等式進行變形時，應注意不等號的方向是否需要改變，

點撥：在求幾個不等式解集的公共部分時，可以借助數軸找公共部分，也可以借助口訣“同大取大，同小取小，大（于）小（數）小（于）大（數）夾中間，大（于）大（數）小（于）小（數）是無解”.此類問題容易出錯的地方：一是解不等式組時出錯，導致結果錯誤；二是在取整數解時由于丟解導致出錯；三是求解時沒有注意到有一因數為零出現錯誤.

三、不等式（組）的解集

點撥：不等式的解滿足不等式，則不是不等式的解就不滿足不等式，此時必須借助于推理進行確定.此類問題容易出錯的地方是無法運用“x=1不是這個不等式的解”這個條件確定解集，

解析：分別在數軸上表示x≥-1和x<2.x≥-1實心向左，x<2空心向左，答案選A.

點撥：此類問題容易出錯的地方是：不注意解集在數軸上表示的時候數值的表示是用空心點還是實心點.

四、運用不等式解決實際問題

例5 （2015.本溪）暑期臨近，本溪某旅行社準備組織“親子一家游”活動，去我省沿海城市旅游，報名的人數共有69人，其中成人的人數比兒童人數的2倍少3人.

（1）旅游團中成人和兒童各有多少人？

（2）旅行社為了吸引游客，打算給每名游客準備一件T恤衫，購買時，成人T恤衫每購買10件贈送1件兒童T恤衫（不足10件不贈送），兒童T恤衫每件15元，旅行社購買服裝的費用小超過1200元，請問：每件成人T恤衫的價格最高是多少元？

解析：（1）設旅游團中兒童有x人，則成人有（2x-3）人，根據題意得x+（2x-3）=69，解得：x=24，則2x-3=2x24-3=45.

答：旅游團中成人有45人，兒童有24人.

（2）因45÷10=4.5，故可贈送4件兒童T恤衫.

沒每件成人T恤衫的價格是m元，根據題意可得45m+15x（24-4）≤1200.

解得：m≤20.

答：每件成人T恤衫的價格最高是20元.

點撥：對于一元一次不等式和一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，根據所設的未知數，找出合適的等量關系，列方程和不等式求解，此類問題容易出錯的地方是對于題中描述不等關系詞語的理解.

6.某蔬菜經營戶從蔬菜批發市場批發蔬菜進行零售，部分蔬菜批發價格與零售價格如表1，請解答下列問題.

（1）第一天，該經營戶批發西紅柿和西蘭花兩種蔬菜共300 kg，用去了1520元錢，這兩種蔬菜當天全部售完后一共能賺多少元錢？

（2）第二天，該經營戶用1520元錢仍然批發西紅柿和西蘭花，要想當天全部售完后所賺錢數不少于1050元，則該經營戶最多能批發西紅柿多少千克？

2.4 方程與不等式的綜合應用

重點難點易混易錯點剖析

復習重點：等式與不等式（組）是初中代數的主干知識，在中考中常常以基礎題目出現，在解答題中往往是以方程、不等式、函數相結合的實際問題，這要求能夠準確求出方程或不等式的解（集），綜合運用方程和不等式進行有關計算.

復習難點：在解決實際問題中，如何綜合運用方程和不等式的知識和方法解決問題，選擇合適的方式來表達題日中出現的數量關系.

易混易錯點：方程、不等式和一次函數相互結合的實際問題是中考中經常出現的題開，首先要做好審題，找出題目中給出的等量或不等關系，抓住關鍵詞，對數量關系進行梳理，確定解題策略，把實際問題轉化為數學問題，建立合適的數學模型，解出正確答案，并且能夠根據實際進行取舍，

二、不等式與函數的綜合

例2 （2015.新疆）某超市欲購進A、B兩種品牌的11恤共200件，已知兩種T恤的進價如表1所示，設購進A種T恤x件，且所購進的兩種T恤能全部賣出，獲得的總利潤為W元.

（1）求W與x的函數關系式.

（2）如果購進兩種T恤的總費用不超過9500元，那么超市如何進貨才能獲得最大利潤？并求出最大利潤.（提示：利潤=售價-進價）

解析：（1）根據題意，得W=（80-50）x+（65-40）（200-x）=5x+5000.

（2）根據題意，得50x+40（200-x）≤9500.解得x≤150.

由（1）可知W隨x的增大而增大，要使W最大，則x取最大值，即x=150.

200-x=50，此時的最大利潤為：5x150+5000=5750（元）.

答：超市購進A品牌T恤150件，B品牌T恤50件能獲得最大利潤，最大利潤為5750元.

點撥：解此類題的關鍵是厘清各種數量關系，能利用等量關系列函數關系式，能利用不等關系列不等式；會利用函數的增減性得出所求的最大利潤.解答此類問題容易出錯的地方是不能根據題意列出函數關系或不等式或不會用函數的增減性來討論最值問題.

三、方程（組）與函數的綜合

例3 （2015.通遼）光明文具廠工人的工作時間：每月26天，每天8小時.待遇：按件計酬，多勞多得，每月另加福利工資920元，按月結算.該廠生產A，B兩種型號零件，工人每生產一件A種型號零件，可得報酬0.85元，每生產一件B種型號零件，可得報酬1.5元，表2記錄的是工人小王的工作情況.

請回答如下問題：

（1）小王每生產一件A種型號零件、每生產一件B種型號零件，分別需要多少分鐘？

（2）設小王某月生產A種型號零件x件，該月工資為y元，求y與x的函數關系式.

（3）如果生產兩種型號零件的數目沒有限制，那么小王該月的工資數目最多為多少？

解析：（1）設小王生產一個A種產品用時x分鐘，生產一個B種產品用時y分鐘.

（3）由（2）中解析式知，-0.275<0，可知y隨x的減小而增大，并且生產A、B兩種型號的零件數目沒有限制，x≥0，所以當x=0時，y=1856.即小王該月全部生產時間用來生產B種型號零件可獲最高工資1856元，

點撥：本題考查了二元一次方程組和一次函數的應用，解決此類題目最關鍵的地方是經過認真審題，依據表格信息建立一次函數模型，用一次函數的知識解決，在求函數最值時，也可以倒過來思考，即用函數y的代數式表示自變量x，代入到表示自變量x取值范圍的不等式中，求出函數y的取值范圍，從而求出其最值.解答此類問題容易出錯的地方是任求自變量取值范圍時考慮問題不全面，或者弄錯函數增減性，自變量的取值范圍要有實際意義，本題（2）中的計算量較大，也是導致計算出錯的原因之一.

四、方程（組）的綜合

例4 （2015.連云港）在某市組織的大型商業演出活動中，對團體購買門票實行優惠，決定在原定票價基礎上每張降價80元，這樣按原定票價需花費6000元購買的門票張數，現在只需花費4800元.

（1）求每張門票的原定票價.

（2）根據實際情況，活動組織單位決定對于個人購票也采取優惠措施，原定票價經過連續二次降價后降為324元，求平均每次降價的百分率.

解析：（1）設每張門票的原定價格為x元，由題意得6000/x=4800/（x-80）.

解得x=400，經檢驗：x=400是原方程的解.

答：每張門票的原定票價為400元.

（2）設平均每次降價的百分率為y，由題意得400（1-y）=324，解得y=0.1，y=1.9（不合題意，舍去）.

答：平均每次降價10%.

點撥：有關平均增長（降低）率問題，常用的關系式是（a（1±x）”=6，其中a是增長（或降低）前的基石量，x是平均增長（或降低）率，n是增長（或降低）的次數，b是增長（或降低）后的數量.注意“增”用“+”，“降”用“-”.解答此類問題容易出錯的地方是：①解分式方程忘記檢驗；②把降低誤以為增長導致錯解.

5.二次函數y=a（x-4）-4（a≠0）的圖象在2

A.1

B.-1

C.2

D.-2

6.某精品店購進甲、乙兩種小禮品，已知1件甲禮品的進價比1件乙禮品的進價多1元，購進2件甲禮品與1件乙禮品共需11元.

（1）求甲種禮品的進價.

（2）經市場調查發現，若甲禮品按6元/件銷售，每天可賣40件；若按5元/件銷售，每天可賣60件，假設每天銷售的件數y（件）與售價x（元/件）之間滿足一次函數關系，求y與x之間的函數關系式.

（3）在（2）的條件下，當甲禮品的售價定為多少時，才能使每天銷售甲禮品的利潤為60元？