“函數”復習精講

馬建民 李斌

3.1 函數的概念與圖象

重點難點易混易錯點剖析

復習重點：自變量的取值范圍的確定.從函數圖象中讀取相關的信息，或者由相關的信息削斷給定的函數圖象是否正確.

復習難點：函數內容的兩個重要數學思想是函數思想和數形結合思想，主要方法有待定系數法和配方法.

掌握本部分知識的關鍵在于要處理好新舊知識聯系，以盡可能地減少接受新知識的困難，函數內容是以學過的數、式、方程等知識為基礎展開的，因此學習這些知識時，應對前面學過的知識進行復習，掃清學習本部分知識的障礙.

易混易錯點：

（1）坐標軸上的點不屬于任何象限，x軸上的點縱坐標為0，y軸上點的橫坐標為0.

（2）自變量的取值范圍的確定.如果函數的解析式是整式，那么自變量的取值范圍是全體實數：如果函數的解析式是分式，那么自變量的取值范圍是使分母不為0的實數；如果函數的解析式中禽有零指數冪、負整數指數冪，自變量的取值范圍是使底數不為0的實數；實際問題中，函數自變量的取值范圍除以上要求外還同時必須使實際問題有意義，如不能取負值或小數等.

重要考點題型方法點撥

一、行程問題的函數圖象

例1 （2015.自貢）小剛以400 m/min的速度勻速騎車5 min，在原地休息了6 min，然后以500 m/min的速度騎回出發地，下列函數圖象（v表示速度，t表示時間，x表示到出發地的距離）能表達這一過程的是（）.

解析：本題抓住函數的圖象表達的是到出發地的距離s（km）與時間t（min）之間的關系；主要根據在時間變化的情況下，到出發地的距離遠近來分析圖象的變化趨勢.

騎車前5分鐘s（km）是隨時間t（min）增大而增大，直至距離出發地400x5=2000m（即2km）處，這一段圖象是由左至右呈上升趨勢的一條線段，線段末端點的坐標為（5，2）；原地休息的6分鐘內都是距離出發地2km（即縱坐標為2不變），這一段圖象表現出來是平行于x軸的一條線段，休息6分鐘之后s（km）是隨時間t（min）增大而減小，直至距離出發地為0 km（回到出發地），線段末端點的坐標為（15，0），這一段圖象是由左至右呈下降趨勢的一條線段.故選C.

點撥：本題主要考查的是函數的概念和圖象，掌握相關過程的分析方法和對橫軸、縱軸含義的理解是解題的關鍵.休息時到I葉：發地的距離不變，這是易出錯的地方.

二、動點問題的函數圖像

例2 （2015.十堰）如圖1，一只螞蟻從O點出發，沿著扇形OAB的邊緣勻速爬行一周，當螞蟻運動的時間為t時，螞蟻與O點的距離為s，則s關于t的函數圖象大致是（）.

解析：根據螞蟻在AB上運動時，隨著時間的變化，距離不發生變化，得出這一段圖象是與x軸平行的線段，即可得出結論.

一只螞蟻從O點出發，沿著扇形OAB的邊緣勻速爬行，在開始時經過半徑OA這一段，螞蟻到O點的距離隨運動時間t的增大而增大；到弧AB這一段，螞蟻到O點的距離s不變，圖象是與x軸平行的線段；走另一條半徑OB時.s隨t的增大而減小.故選B.

點撥：本題主要考查動點問題的函數圖象.根據隨著時間的變化，到弧AB這一段，螞蟻到O點的距離s不變，得到圖象的特點是解決本題的關鍵，解答這類問題，應注意：要徹底弄清楚動點從何處開始出發，運動到何處停止，整個運動過程分為幾段，何點（時刻）是特殊的.

2.如圖2，是張老師出門散步時離家的距離y與時間戈之間的函數關系的圖象，若用黑點表示張老師家的位置，則張老師散步行走的路線可能是（）.

3.在一次自行車越野賽中，甲、乙兩名選手行駛的路程y（km）隨時間x（min）變化的圖象（全程）如圖3.根據圖象判定下列結論不正確的是（）.

A.甲先到達終點

B.前30分鐘，甲在乙的前面

C.第48分鐘時，兩人第一次相遇

D.這次比賽的全程是28 km

4.如圖4，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P從A點出發，按A→B→C的方向在AB和BC上移動，記PA=x，點D到直線PA的距離為y，則y關于x的函數圖象大致是（）.

5.一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發，設慢車行駛的時間為x（h），兩車之間的距離為y（km），圖5中的折線表示y與x之間的函數關系.

根據圖象進行以下探究：

（1）甲、乙兩地之問的距離為____km.

（2）請解釋圖中點B的實際意義.

（3）求慢車和快車的速度.

（4）求線段BC所表示的y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

（5）若第二列快車也從甲地出發駛往乙地，速度與第一列快車相同，在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇，第二列快車比第一列快車晚出發多少小時？

3.2 一次函數

重點難點易混易錯點剖析

復習重點：一次函數的圖象及其性質.

復習難點易混易錯點：一次函數圖象的應用.

掌握本部分內容必須具備的知識：一次函數的定義、圖象和性質，待定系數法，解方程（組）.在復習中要注意函數思想的運用，通過構造一次函數模型，利用一次函數的增減性及自變量的取值范圍解決實際問題中的最大值、最小值問題.

重要考點題型方法點撥

一、一次函數圖象與幾何變換

例1 （2015.南平）直線y=2x+2沿y軸向下平移6個單位后與x軸的交點坐標是（）.

A.（-4，0）

B.（-1，0）

C.（0，2）

D.（2，0）

解析：根據平移可得直線y=2x+2沿y軸向下平移6個單位后解析式為y=2x+2-6=2x-4.當y=0時，x=2，因此與x軸的交點坐標是（2，0），故選D.

點撥：此題主要考查了一次函數與幾何變換，關鍵是得出平移后的直線解析式，

二、一次函數的應用

例2 （2015.河南）某游泳館普通票價為20元/張，暑假為了促銷，新推出兩種優惠卡：

①金卡售價600元/張，每次憑卡不再收費.

②銀卡售價150元/張，每次憑卡另收10元.

暑假普通票正常出售，兩種優惠卡儀限暑假使用，不限次數.設游泳x次時，所需總費用為y元.

（1）分別寫出選擇銀卡、普通票消費時，y與x之間的函數關系式.

（2）在同一坐標系中，若三種消費方式對應的函數圖象如陶1所示，請求出點A、B、C的坐標.

（3）請根據函數圖象，直接寫出選擇哪種消費方式更合算.

解析：（1）由題意可知，選銀卡消費時y=10x+150，選普通票消費時y=20.

（2）利用函數圖象交點坐標求法分別得…即可.由題意可得：當10x+150=20x時，解得x=15，則y=300，故B（15，300）.當y=10x+150，x=0時，y=150，故A（0，150）.由y=10x+150=600，解得x=45，而v=600.故C（45，600）.

（3）利用（2）的點的坐標以及結合函數圖象得出答案，如圖1所示，由A，B，C的坐標可得：當045時，金卡消費更合算.

點撥：此題主要考查了一次函數的英語，數形結合得出自變量的取值范圍是解題關鍵.這類題目內容往往與生活實際相貼近，與社會的熱點問題相聯系，根據題意找到相應的關系式是關鍵，注意分情況討論解決實際問題，第（3）問中，金卡、銀卡、普通票三種消費方式作比較，與同學們平時做題常見到的兩種方案選擇問題有所不同，在臨界點的劃分和數值計算上容易出現算錯或者漏解的情況.

中考命題預測

1.關于函數y=-x-2的圖象，有如下說法：①圖象過點（0，-2）；②圖象與x軸的交點是（-2，0）；③由圖象可知y隨x的增大而增大；④圖象不經過第一象限；⑤圖象是與直線y=-x+2平行的直線.其中正確說法有（）.

A.5個 B.4個 C.3個 D.2個

2.某公司準備與汽車租賃公司簽訂租車合同，以每月用車路程x km計算，甲汽車租賃公司每月收取的租賃費為y元，乙汽車租賃公司每月收取的租賃費為y元，若y、y與x之間的函數關系如圖2所示，其中x=0對應的函數值為月固定租賃費，則下列判斷錯誤的是（）.

A.當月用車路程為2000km時，兩家汽車租賃公司的租賃費用相同

B.當月用車路程為2300km時，租賃乙汽車租賃公司的車比較合算

C.除去月固定租賃費，甲租賃公司每公里收取的費用比乙租賃公司多

D.甲租賃公司平均每公里收取的費用比乙租賃公司少

3.如圖3，直線l：y=x+1與直線l：y=mx+n相交于點P（a，2），則關于x的不等式x+1≥mx+n的解集為____.

4.一次函數y=kx+b的圖象與正比例函數y=2x的圖象平行且經過點A（1，-2），則kb=

.

5.如圖4，直線y=kx-6經過點A（4，0），直線y=-3x+3與x軸交于點B，且兩直線交于點C.

（1）求k的值.

（2）求△ABC的面積.

6.某校接受了大型網體操表演任務.為此，學校需要采購一批演出服裝，A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應商.經了解：兩家公司生產的這款演出服裝的質量和單價都相同，即男裝每套120元，女裝每套100元，經洽談J辦商：A公司給出的優惠條件是全部服裝按單價打七折，但校方需承擔2200元的運費：B公司的優惠條件是男女裝均按每套100元打八折，公司承擔運費.另外根據大會組委會要求，參加演出的女生人數應是男生人數的2倍少100人，如果設參加演出的男生有x人.

（1）分別寫出學校購買A、B兩公司服裝所付的總費用y（元）和y（元）與參演男生人數x之間的函數關系式.

（2）該學校購買哪家制衣公司的服裝比較合算？請說明理由.

3.3 反比例函數

重點難點易混易錯點剖析

復習重點：反比例函數的概念、圖象和性質，

復習難點：反比例函數圖象的特征和規律：通過對反比例函數圖象的研究，建立反比例函數模型，加強其實際應用，提高運用代數方法解決問題的能力.

易混易錯點：求反比例函數比例系數的值或反比例函數的解析式，比例系數的幾何意義以及一次函數與反比例函數相結合的問題，反比例函數與四邊形問題相結合.

建議在復習中注意數形結合思想、方程思想的運用，注意利用圖形的直觀性解題.

重點考點題型方法點撥

一、反比例函數比例系數的幾何意義

例1 （2015.寧德）如圖1，在平面直角坐標系中，反比例函數y=k/x（x>0）的圖象交矩形OABC的邊AB于點D，交邊BC于點E，且BE=2EC.若四邊形ODBE的面積為6，則k=

解析：連接OB，由矩形的性質和已知條件得出△OBD的而積=△OBE的面積=四邊形ODBE的面積的一半=3，在求出△OCE的面積后，即可得出k的值為3.

點撥：本題考查了矩形的性質、三角形面積的計算、反比例函數比例系數的幾何意義與解析式的求法，熟練掌握矩形的性質和反比例函數解析式的求法是解決問題的關鍵.

二、反比例函數圖象與一次函數圖象的交點問題

例2 （2015.黃岡）如圖2，反比例函數y=k/x的圖象經過點A（-1，4），直線y=-x+b（b≠0）與雙曲線y=k/x在第二、四象限分別相交于P，Q兩點，與x軸、y軸分別相交于C，D兩點.

（1）求k的值.

（2）當b=-2時，求△OCD的面積.

（3）連接OQ，是否存在實數b，使得S=S？若存在，請求出b的值；若不存存，請說明理由.

點撥：本題是反比例函數圖象與一次函數圖象的交點問題的典型題目.求反比例函數圖象與一次函數圖象的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，若方程組無解則兩者無交點，本題也考查了反比例函數圖象上點的坐標特征和三角形面積公式，最后求b的值時注意取舍.

解析：（1）根據反比例函數的圖象上點的坐標特征易得k=-4.

（2）當b=-2時，直線解析式為y=-x-2，則利用坐標軸上點的坐標特征可求出C（-2，0），D（0，-2），然后根據三角形面積公式可得△OCD的面積為2.

（1）根據上述數學模型計算：①喝酒后幾小時血液巾的酒精含量達到最大值？最大值為多少？②當x=5時，y=45，求k的值.

（2）按國家規定，車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬丁“酒后駕駛”，不能駕車上路.參照上述數學模型，假設某駕駛員20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否駕車去上班？請說明理由.

3.4 二次函數

重點難點易混易錯，

復習重點：二次函數的圖象、性質和應用，二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的關系.

復習難點：求二次函數的解析式，求拋物線的對稱軸、頂點坐標，能夠構造二次函數模型解決實際中的最值問題.

易混易錯點：二次函數圖象與系數的關系，由拋物線y=axbx+c的開口方向和對稱軸確定a、b的符號，由拋物線與y軸的交點位置確定c的符號，由拋物線與x軸的交點個數確定b-4ac的符號.

點撥：本題主要考查二次函數的圖象及其性質，利用二次函數圖象的對稱性、函數增減性，對不等式和等式進行熟練的變形是解決此類問題的關鍵.判斷②、⑤的正誤時易出錯，注意靈活運用拋物線的對稱性，認真觀察圖象中的特殊點問的位置關系.

3.5 函數的綜合問題

重點難點易混易錯點剖析

復習重點：一次函數、反比例函數、二次函數的圖象、性質和應用，

復習難點：函數的應用題，用數形結合、分類討論等數學思想和方法解決函數與幾何的綜合問題.

易混易錯點：本部分易錯點有兩個：一是代數式的表達，通常壓軸題中需要用字母表示點的坐標、線段長、圖形的周長、面積等，考生常因計算、審題而出錯；二是不等式、方程與函數的關系.

點撥：本題考查了反比例函數圖象與一次函數圖象的交點問題，用待定系數法求一次函數的解析式，三角形的面積公式，相似三角形的判定與性質，一次函數、反比例函數圖象上點的坐標特征，綜合性強，難度適中，正確求出一次函數的解析式，結合圖象進行分析是解題的關鍵，注意在實際應用問題中，兩種函數圖象的交點的實際意義往往是分析問題的切入點，同時要考慮自變量的取值范圍.

二、二次函數的實際應用（最值問題）

例2 （2015.南京）某企業生產并銷售某種產品，假沒銷售量與產量相等.圖2中的折線ABD、線段CD分別表示該產品每千克生產成

點撥：本題考查的是二次函數的實際應用中的最值問題，掌握用待定系數法求函數解析式和二次函數的性質以及最值的求法是解題的關鍵.從實際問題中抽象出二次函數模型，分兩種情況討論是難點也是易錯點，

點撥：本題是二次函數的綜合題，考查了用待定系數法求二次函數的解析式，利用軸對稱解決最短路線問題等.確定點P的位置是難點也是易錯點，軸對稱思想的運用是解答本題的關鍵.

中考命題預測

1.在一條直線上依次有A、B、C三個港口，甲、乙兩船同時分別從A、B港口出發，沿直線勻速駛向C港，最終到達C港.設甲、乙兩船行駛x（h）后，與B港的距離分別為y（km）、y（km），y、y與x的函數關系如圖4所示.

（1）A、C兩港口間的距離為____km，a=____.

（2）求圖中點P的坐標，并解釋該點坐標所表示的實際意義.

（3）若兩船的距離不超過10 km時能夠相互望見，求甲、乙兩船可以相互望見時x的取值范圍.

2.某商店經營一種小商品，進價為每件2.5元，據市場調查，銷售單價是13.5元時平均每天銷售量是500件，而銷售價每降低1元，平均每天就可以多售出100件.

（1）假定每件商品降價x元，商店每天銷售這種小商品的利潤是y元，請寫出y與x間的函數關系式，并注明x的取值范圍.

（2）每件小商品銷售價是多少元時，商店每天銷售這種小商品的利潤最大？最大利潤是多少？