“函數(shù)”復(fù)習(xí)精講

馬建民 李斌

3.1 函數(shù)的概念與圖象

重點(diǎn)難點(diǎn)易混易錯(cuò)點(diǎn)剖析

復(fù)習(xí)重點(diǎn)：自變量的取值范圍的確定.從函數(shù)圖象中讀取相關(guān)的信息，或者由相關(guān)的信息削斷給定的函數(shù)圖象是否正確.

復(fù)習(xí)難點(diǎn)：函數(shù)內(nèi)容的兩個(gè)重要數(shù)學(xué)思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想，主要方法有待定系數(shù)法和配方法.

掌握本部分知識(shí)的關(guān)鍵在于要處理好新舊知識(shí)聯(lián)系，以盡可能地減少接受新知識(shí)的困難，函數(shù)內(nèi)容是以學(xué)過的數(shù)、式、方程等知識(shí)為基礎(chǔ)展開的，因此學(xué)習(xí)這些知識(shí)時(shí)，應(yīng)對(duì)前面學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，掃清學(xué)習(xí)本部分知識(shí)的障礙.

易混易錯(cuò)點(diǎn)：

（1）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限，x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，y軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.

（2）自變量的取值范圍的確定.如果函數(shù)的解析式是整式，那么自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)：如果函數(shù)的解析式是分式，那么自變量的取值范圍是使分母不為0的實(shí)數(shù)；如果函數(shù)的解析式中禽有零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，自變量的取值范圍是使底數(shù)不為0的實(shí)數(shù)；實(shí)際問題中，函數(shù)自變量的取值范圍除以上要求外還同時(shí)必須使實(shí)際問題有意義，如不能取負(fù)值或小數(shù)等.

重要考點(diǎn)題型方法點(diǎn)撥

一、行程問題的函數(shù)圖象

例1 （2015.自貢）小剛以400 m/min的速度勻速騎車5 min，在原地休息了6 min，然后以500 m/min的速度騎回出發(fā)地，下列函數(shù)圖象（v表示速度，t表示時(shí)間，x表示到出發(fā)地的距離）能表達(dá)這一過程的是（）.

解析：本題抓住函數(shù)的圖象表達(dá)的是到出發(fā)地的距離s（km）與時(shí)間t（min）之間的關(guān)系；主要根據(jù)在時(shí)間變化的情況下，到出發(fā)地的距離遠(yuǎn)近來分析圖象的變化趨勢(shì).

騎車前5分鐘s（km）是隨時(shí)間t（min）增大而增大，直至距離出發(fā)地400x5=2000m（即2km）處，這一段圖象是由左至右呈上升趨勢(shì)的一條線段，線段末端點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，2）；原地休息的6分鐘內(nèi)都是距離出發(fā)地2km（即縱坐標(biāo)為2不變），這一段圖象表現(xiàn)出來是平行于x軸的一條線段，休息6分鐘之后s（km）是隨時(shí)間t（min）增大而減小，直至距離出發(fā)地為0 km（回到出發(fā)地），線段末端點(diǎn)的坐標(biāo)為（15，0），這一段圖象是由左至右呈下降趨勢(shì)的一條線段.故選C.

點(diǎn)撥：本題主要考查的是函數(shù)的概念和圖象，掌握相關(guān)過程的分析方法和對(duì)橫軸、縱軸含義的理解是解題的關(guān)鍵.休息時(shí)到I葉：發(fā)地的距離不變，這是易出錯(cuò)的地方.

二、動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖像

例2 （2015.十堰）如圖1，一只螞蟻從O點(diǎn)出發(fā)，沿著扇形OAB的邊緣勻速爬行一周，當(dāng)螞蟻運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t時(shí)，螞蟻與O點(diǎn)的距離為s，則s關(guān)于t的函數(shù)圖象大致是（）.

解析：根據(jù)螞蟻在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著時(shí)間的變化，距離不發(fā)生變化，得出這一段圖象是與x軸平行的線段，即可得出結(jié)論.

一只螞蟻從O點(diǎn)出發(fā)，沿著扇形OAB的邊緣勻速爬行，在開始時(shí)經(jīng)過半徑OA這一段，螞蟻到O點(diǎn)的距離隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的增大而增大；到弧AB這一段，螞蟻到O點(diǎn)的距離s不變，圖象是與x軸平行的線段；走另一條半徑OB時(shí).s隨t的增大而減小.故選B.

點(diǎn)撥：本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象.根據(jù)隨著時(shí)間的變化，到弧AB這一段，螞蟻到O點(diǎn)的距離s不變，得到圖象的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵，解答這類問題，應(yīng)注意：要徹底弄清楚動(dòng)點(diǎn)從何處開始出發(fā)，運(yùn)動(dòng)到何處停止，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程分為幾段，何點(diǎn)（時(shí)刻）是特殊的.

2.如圖2，是張老師出門散步時(shí)離家的距離y與時(shí)間戈之間的函數(shù)關(guān)系的圖象，若用黑點(diǎn)表示張老師家的位置，則張老師散步行走的路線可能是（）.

3.在一次自行車越野賽中，甲、乙兩名選手行駛的路程y（km）隨時(shí)間x（min）變化的圖象（全程）如圖3.根據(jù)圖象判定下列結(jié)論不正確的是（）.

A.甲先到達(dá)終點(diǎn)

B.前30分鐘，甲在乙的前面

C.第48分鐘時(shí)，兩人第一次相遇

D.這次比賽的全程是28 km

4.如圖4，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，按A→B→C的方向在AB和BC上移動(dòng)，記PA=x，點(diǎn)D到直線PA的距離為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）.

5.一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時(shí)間為x（h），兩車之間的距離為y（km），圖5中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系.

根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究：

（1）甲、乙兩地之問的距離為____km.

（2）請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)B的實(shí)際意義.

（3）求慢車和快車的速度.

（4）求線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

（5）若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同，在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇，第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時(shí)？

3.2 一次函數(shù)

重點(diǎn)難點(diǎn)易混易錯(cuò)點(diǎn)剖析

復(fù)習(xí)重點(diǎn)：一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì).

復(fù)習(xí)難點(diǎn)易混易錯(cuò)點(diǎn)：一次函數(shù)圖象的應(yīng)用.

掌握本部分內(nèi)容必須具備的知識(shí)：一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，解方程（組）.在復(fù)習(xí)中要注意函數(shù)思想的運(yùn)用，通過構(gòu)造一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的增減性及自變量的取值范圍解決實(shí)際問題中的最大值、最小值問題.

重要考點(diǎn)題型方法點(diǎn)撥

一、一次函數(shù)圖象與幾何變換

例1 （2015.南平）直線y=2x+2沿y軸向下平移6個(gè)單位后與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（）.

A.（-4，0）

B.（-1，0）

C.（0，2）

D.（2，0）

解析：根據(jù)平移可得直線y=2x+2沿y軸向下平移6個(gè)單位后解析式為y=2x+2-6=2x-4.當(dāng)y=0時(shí)，x=2，因此與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），故選D.

點(diǎn)撥：此題主要考查了一次函數(shù)與幾何變換，關(guān)鍵是得出平移后的直線解析式，

二、一次函數(shù)的應(yīng)用

例2 （2015.河南）某游泳館普通票價(jià)為20元/張，暑假為了促銷，新推出兩種優(yōu)惠卡：

①金卡售價(jià)600元/張，每次憑卡不再收費(fèi).

②銀卡售價(jià)150元/張，每次憑卡另收10元.

暑假普通票正常出售，兩種優(yōu)惠卡儀限暑假使用，不限次數(shù).設(shè)游泳x次時(shí)，所需總費(fèi)用為y元.

（1）分別寫出選擇銀卡、普通票消費(fèi)時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）在同一坐標(biāo)系中，若三種消費(fèi)方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象如陶1所示，請(qǐng)求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo).

（3）請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出選擇哪種消費(fèi)方式更合算.

解析：（1）由題意可知，選銀卡消費(fèi)時(shí)y=10x+150，選普通票消費(fèi)時(shí)y=20.

（2）利用函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)求法分別得…即可.由題意可得：當(dāng)10x+150=20x時(shí)，解得x=15，則y=300，故B（15，300）.當(dāng)y=10x+150，x=0時(shí)，y=150，故A（0，150）.由y=10x+150=600，解得x=45，而v=600.故C（45，600）.

（3）利用（2）的點(diǎn)的坐標(biāo)以及結(jié)合函數(shù)圖象得出答案，如圖1所示，由A，B，C的坐標(biāo)可得：當(dāng)045時(shí)，金卡消費(fèi)更合算.

點(diǎn)撥：此題主要考查了一次函數(shù)的英語(yǔ)，數(shù)形結(jié)合得出自變量的取值范圍是解題關(guān)鍵.這類題目?jī)?nèi)容往往與生活實(shí)際相貼近，與社會(huì)的熱點(diǎn)問題相聯(lián)系，根據(jù)題意找到相應(yīng)的關(guān)系式是關(guān)鍵，注意分情況討論解決實(shí)際問題，第（3）問中，金卡、銀卡、普通票三種消費(fèi)方式作比較，與同學(xué)們平時(shí)做題常見到的兩種方案選擇問題有所不同，在臨界點(diǎn)的劃分和數(shù)值計(jì)算上容易出現(xiàn)算錯(cuò)或者漏解的情況.

中考命題預(yù)測(cè)

1.關(guān)于函數(shù)y=-x-2的圖象，有如下說法：①圖象過點(diǎn)（0，-2）；②圖象與x軸的交點(diǎn)是（-2，0）；③由圖象可知y隨x的增大而增大；④圖象不經(jīng)過第一象限；⑤圖象是與直線y=-x+2平行的直線.其中正確說法有（）.

A.5個(gè) B.4個(gè) C.3個(gè) D.2個(gè)

2.某公司準(zhǔn)備與汽車租賃公司簽訂租車合同，以每月用車路程x km計(jì)算，甲汽車租賃公司每月收取的租賃費(fèi)為y元，乙汽車租賃公司每月收取的租賃費(fèi)為y元，若y、y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，其中x=0對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為月固定租賃費(fèi)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）.

A.當(dāng)月用車路程為2000km時(shí)，兩家汽車租賃公司的租賃費(fèi)用相同

B.當(dāng)月用車路程為2300km時(shí)，租賃乙汽車租賃公司的車比較合算

C.除去月固定租賃費(fèi)，甲租賃公司每公里收取的費(fèi)用比乙租賃公司多

D.甲租賃公司平均每公里收取的費(fèi)用比乙租賃公司少

3.如圖3，直線l：y=x+1與直線l：y=mx+n相交于點(diǎn)P（a，2），則關(guān)于x的不等式x+1≥mx+n的解集為____.

4.一次函數(shù)y=kx+b的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象平行且經(jīng)過點(diǎn)A（1，-2），則kb=

.

5.如圖4，直線y=kx-6經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），直線y=-3x+3與x軸交于點(diǎn)B，且兩直線交于點(diǎn)C.

（1）求k的值.

（2）求△ABC的面積.

6.某校接受了大型網(wǎng)體操表演任務(wù).為此，學(xué)校需要采購(gòu)一批演出服裝，A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應(yīng)商.經(jīng)了解：兩家公司生產(chǎn)的這款演出服裝的質(zhì)量和單價(jià)都相同，即男裝每套120元，女裝每套100元，經(jīng)洽談J辦商：A公司給出的優(yōu)惠條件是全部服裝按單價(jià)打七折，但校方需承擔(dān)2200元的運(yùn)費(fèi)：B公司的優(yōu)惠條件是男女裝均按每套100元打八折，公司承擔(dān)運(yùn)費(fèi).另外根據(jù)大會(huì)組委會(huì)要求，參加演出的女生人數(shù)應(yīng)是男生人數(shù)的2倍少100人，如果設(shè)參加演出的男生有x人.

（1）分別寫出學(xué)校購(gòu)買A、B兩公司服裝所付的總費(fèi)用y（元）和y（元）與參演男生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）該學(xué)校購(gòu)買哪家制衣公司的服裝比較合算？請(qǐng)說明理由.

3.3 反比例函數(shù)

重點(diǎn)難點(diǎn)易混易錯(cuò)點(diǎn)剖析

復(fù)習(xí)重點(diǎn)：反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，

復(fù)習(xí)難點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象的特征和規(guī)律：通過對(duì)反比例函數(shù)圖象的研究，建立反比例函數(shù)模型，加強(qiáng)其實(shí)際應(yīng)用，提高運(yùn)用代數(shù)方法解決問題的能力.

易混易錯(cuò)點(diǎn)：求反比例函數(shù)比例系數(shù)的值或反比例函數(shù)的解析式，比例系數(shù)的幾何意義以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)相結(jié)合的問題，反比例函數(shù)與四邊形問題相結(jié)合.

建議在復(fù)習(xí)中注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想的運(yùn)用，注意利用圖形的直觀性解題.

重點(diǎn)考點(diǎn)題型方法點(diǎn)撥

一、反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義

例1 （2015.寧德）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=k/x（x>0）的圖象交矩形OABC的邊AB于點(diǎn)D，交邊BC于點(diǎn)E，且BE=2EC.若四邊形ODBE的面積為6，則k=

解析：連接OB，由矩形的性質(zhì)和已知條件得出△OBD的而積=△OBE的面積=四邊形ODBE的面積的一半=3，在求出△OCE的面積后，即可得出k的值為3.

點(diǎn)撥：本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義與解析式的求法，熟練掌握矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)解析式的求法是解決問題的關(guān)鍵.

二、反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題

例2 （2015.黃岡）如圖2，反比例函數(shù)y=k/x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，4），直線y=-x+b（b≠0）與雙曲線y=k/x在第二、四象限分別相交于P，Q兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別相交于C，D兩點(diǎn).

（1）求k的值.

（2）當(dāng)b=-2時(shí)，求△OCD的面積.

（3）連接OQ，是否存在實(shí)數(shù)b，使得S=S？若存在，請(qǐng)求出b的值；若不存存，請(qǐng)說明理由.

點(diǎn)撥：本題是反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題的典型題目.求反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，若方程組無解則兩者無交點(diǎn)，本題也考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和三角形面積公式，最后求b的值時(shí)注意取舍.

解析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得k=-4.

（2）當(dāng)b=-2時(shí)，直線解析式為y=-x-2，則利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出C（-2，0），D（0，-2），然后根據(jù)三角形面積公式可得△OCD的面積為2.

（1）根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型計(jì)算：①喝酒后幾小時(shí)血液巾的酒精含量達(dá)到最大值？最大值為多少？②當(dāng)x=5時(shí)，y=45，求k的值.

（2）按國(guó)家規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時(shí)屬丁“酒后駕駛”，不能駕車上路.參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某駕駛員20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否駕車去上班？請(qǐng)說明理由.

3.4 二次函數(shù)

重點(diǎn)難點(diǎn)易混易錯(cuò)，

復(fù)習(xí)重點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)和應(yīng)用，二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系.

復(fù)習(xí)難點(diǎn)：求二次函數(shù)的解析式，求拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，能夠構(gòu)造二次函數(shù)模型解決實(shí)際中的最值問題.

易混易錯(cuò)點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，由拋物線y=axbx+c的開口方向和對(duì)稱軸確定a、b的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置確定c的符號(hào)，由拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定b-4ac的符號(hào).

點(diǎn)撥：本題主要考查二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性、函數(shù)增減性，對(duì)不等式和等式進(jìn)行熟練的變形是解決此類問題的關(guān)鍵.判斷②、⑤的正誤時(shí)易出錯(cuò)，注意靈活運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性，認(rèn)真觀察圖象中的特殊點(diǎn)問的位置關(guān)系.

3.5 函數(shù)的綜合問題

重點(diǎn)難點(diǎn)易混易錯(cuò)點(diǎn)剖析

復(fù)習(xí)重點(diǎn)：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)和應(yīng)用，

復(fù)習(xí)難點(diǎn)：函數(shù)的應(yīng)用題，用數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想和方法解決函數(shù)與幾何的綜合問題.

易混易錯(cuò)點(diǎn)：本部分易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)：一是代數(shù)式的表達(dá)，通常壓軸題中需要用字母表示點(diǎn)的坐標(biāo)、線段長(zhǎng)、圖形的周長(zhǎng)、面積等，考生常因計(jì)算、審題而出錯(cuò)；二是不等式、方程與函數(shù)的關(guān)系.

點(diǎn)撥：本題考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積公式，相似三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，綜合性強(qiáng)，難度適中，正確求出一次函數(shù)的解析式，結(jié)合圖象進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵，注意在實(shí)際應(yīng)用問題中，兩種函數(shù)圖象的交點(diǎn)的實(shí)際意義往往是分析問題的切入點(diǎn)，同時(shí)要考慮自變量的取值范圍.

二、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（最值問題）

例2 （2015.南京）某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假?zèng)]銷售量與產(chǎn)量相等.圖2中的折線ABD、線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成

點(diǎn)撥：本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中的最值問題，掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)以及最值的求法是解題的關(guān)鍵.從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)模型，分兩種情況討論是難點(diǎn)也是易錯(cuò)點(diǎn)，

點(diǎn)撥：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，利用軸對(duì)稱解決最短路線問題等.確定點(diǎn)P的位置是難點(diǎn)也是易錯(cuò)點(diǎn)，軸對(duì)稱思想的運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵.

中考命題預(yù)測(cè)

1.在一條直線上依次有A、B、C三個(gè)港口，甲、乙兩船同時(shí)分別從A、B港口出發(fā)，沿直線勻速駛向C港，最終到達(dá)C港.設(shè)甲、乙兩船行駛x（h）后，與B港的距離分別為y（km）、y（km），y、y與x的函數(shù)關(guān)系如圖4所示.

（1）A、C兩港口間的距離為____km，a=____.

（2）求圖中點(diǎn)P的坐標(biāo)，并解釋該點(diǎn)坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義.

（3）若兩船的距離不超過10 km時(shí)能夠相互望見，求甲、乙兩船可以相互望見時(shí)x的取值范圍.

2.某商店經(jīng)營(yíng)一種小商品，進(jìn)價(jià)為每件2.5元，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)是13.5元時(shí)平均每天銷售量是500件，而銷售價(jià)每降低1元，平均每天就可以多售出100件.

（1）假定每件商品降價(jià)x元，商店每天銷售這種小商品的利潤(rùn)是y元，請(qǐng)寫出y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍.

（2）每件小商品銷售價(jià)是多少元時(shí)，商店每天銷售這種小商品的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？