從“小數的初步認識”看“變教為學”的文化性

賈小麗

《義務教育數學課程標準（2011年版）》前言部分指出：“數學是人類文化的重要組成部分”，這強調了數學作為一種文化的重要性。當前，數學教育還存在不少突出問題，重知識講授、輕文化闡釋的現象還比較普遍。教師把數學知識看作一種工具，為使學生正確熟練地掌握這種工具，通常采用的教學方法是“告知”和“示范”，這樣便失去了知識發生與發展的“過程性”“多樣性”以及與其他學科的“關聯性”，而“過程性”“多樣性”“關聯性”正是“變教為學”所倡導的“文化性”的重要體現。數學教學中的“文化性”是相對于“工具性”而言的，[1]“文化性”的引入就是試圖改變對數學教學單一“工具性”的認識。

“變教為學”倡導數學學習中進行文化滲透，文化的精髓依附在數學知識發生、發展的過程中，而不是知識的附庸，它在呈現形式上可以作為數學知識的具體情境，甚至是數學學習的具體內容，使其成為學生數學活動和數學思考的具體對象。以“小數”為例，小數是依據人的需求與主觀意愿所發明的，它所蘊含的學習內容及需要經歷的學習活動，主要包括小數發生過程中所體現的必要性、發展過程中形式的多樣性和形成過程中表達方式的統一性、與其他知識聯系的廣泛性。[2]這些學習活動體現了數學教學的“文化性”。

一、小數產生的必要性

隨著社會的發展，對數量表示的精確程度的要求逐漸提高。只用整數表示數量已不能滿足人們的需要，于是在所表示的數量的末尾附上“有余”“有奇”或“強”“弱”等字，以表示該數量與實際量之間的差異，當需要用數來較為精確地表明這種差異的時候，就慢慢地形成了兩種表示方法：一種是用分數來表示不足整數的剩余部分；另一種是發展度量衡系統，采用更小的度量衡單位來表示有關的量。[3]什么是度量衡？度量衡就是長度、容量和重量單位。起始的度量單位是比較大的，度量的結果比較粗疏，隨著社會的需要才慢慢精細起來，人們逐漸制定了一批越來越小的度量衡單位。魏晉時期數學家劉徽當時在長度記法中采用的單位名稱為：丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，單位在逐漸地減小，相鄰兩單位之間的進率為10。雖然我國歷史上也有過非十進的度量衡單位，如《漢書·律歷志》載有重量單位：石、鈞、斤、兩、銖，其進制是1石=4鈞，1鈞=30斤，1斤=16兩，1兩=24銖，但十進制的度量衡單位還是占主要地位的。由于我國很早就使用十進制計數法，所以在度量衡的單位上也采用十進制，這為小數的出現奠定了基礎。

有了十進制計數法、十進制度量衡單位這樣的客觀基礎，又由于中算家研究的多為應用題，所以解題結果都是有單位名稱的數，當運算時遇到非整數問題，為使書寫形式簡潔而不提及小單位名稱，小數的概念就逐漸形成了。開始，人們在數字的后面加上小單位名稱，由于制造出太多的小單位無論在記憶上還是書寫上都較麻煩，如劉徽當時就對“忽”以下的單位不再命名，稱為“微數”，相當于現在的小數部分。實際上，只要在十進制度量衡單位中認定一個作為基本單位，那這個單位后面的數便是小數的各位數了。后來，人們逐漸用“分、厘、毫”這樣的單位來統一代表小數部分，如“分”代表小數十分位上的數，“厘”代表百分位上的數，“毫”代表千分位上的數。為進一步追求形式的簡潔，人們逐漸把“分、厘、毫”等單位舍去，想辦法來區分整數部分和小數部分，經過不斷的演變，慢慢地才使用今天的“小數點”來區分整數部分和小數部分?，F在所說的小數，其完整名稱應為十進小數，小數的出現標志著十進制計數法從整數擴展到了非整數，使整數與非整數在形式上獲得了統一，所以說小數的本質是十進制數，它是整數的延伸，[4]如果以1為基本單位，向大的方向延伸就可以得到10、100、1000……向小的方向延伸就得到了0.1、0.01、0.001……因此在小數初步認識時，可溝通其與整數的聯系，而不涉及與分數的聯系。

二、小數形式的多樣性

小數的表示由產生到現在的相對統一，經歷了漫長的歷程，可以用王安石的一句詩來形容“看似平凡最崎崛，成如容易卻艱辛”。

在中國，小數的寫法主要有四種：第一種是依次給小數部分寫上名稱，一般情況下“分”代表小數十分位上的數，“厘”代表百分位上的數，“毫”代表千分位上的數。如公元400年左右《孫子算經》卷下第二題：“今有丁一千五百萬，出兵四十萬，問幾丁科一兵？答曰：三十七丁五分?！贝鸢钢械摹拔宸帧敝傅氖?.5丁，“丁”應該是以整數計算的，不過作為數學答案，可以用小數來表示其精確計算的結果。這里是用“分”來專門表示小數的，“五分”有了明顯的小數概念。再如，古代計錢以“文”為最小單位，在《夏侯陽算經》卷中“分祿料”記有：“新官分得五貫八百八十九文二分一厘六毫，舊官分得一貫四百七十二文三分四毫”，這里出現了“文”以下的小單位“分、厘、毫”，正是為了表達運算結果的精確性，二分一厘六毫就是0.216文，三分四毫就是0.304文。

第二種是在整數的個位下面注以單位名稱，南宋數學家秦九韶就把0.5尺寫成如圖1的形式，把4.608石寫成如圖2的形式，這里的“尺”“石”就成了整數部分和小數部分的分界，實質上起到小數點的作用。

第三種是用位置來區分，南朝劉宋天文學家何承天在其編著的《宋書》律歷志部分，就已經大量敘述了像十一萬八千二百九十六二十五（118296.25）、九萬四千三百五十七（94300.57）這樣的數，他是用小數部分比整數部分小一號的字體來表示的。此外，劉瑾在《律呂成書》（約1300年）中采用小數部分比整數部分降低一位的寫法，圖3是書中對小數106368.6312的記法，這是世界上最早的小數表示法。

第四種是在整數部分和小數部分間插入字，唐中宗天文學家南宮說在其《神龍歷》（705年）中把365.2448寫為三百六十五日余二十四奇四十八，這里的“余”字有小數點的意思。此外，丁巨也曾在整數與第一位小數之間插入一個“余”字，用來表示小數點。

由于中國使用算籌和大寫數字來表示數，因此主要用單位名稱來表示小數點，要出現現代形式的小數點是不大可能的。清代由于大量翻譯西方著作，西方的小數點也隨之引進我國。康熙年間的《數理精蘊》（1723年）中已經出現了現代的小數點，但還不是現代記法，如把52.43記作五二·四三。印度—阿拉伯數字最早出現在由美國傳教士狄考文和鄒立文合譯的《筆算數學》中，后由于封建保守思想，曾一度改回用漢字一、二、三，直到辛亥革命后印度—阿拉伯數字才在我國正式通行。小數在當時表示的形式多樣，如12.3可表示為一二·三，一二.三，12·3，12.3。到20世紀20年代才形成今天的統一寫法，1925年出版的《數學辭典》中規定：“數字橫寫，小數點為小圓點，位置在個位右下方?！?/p>

隨著中國早期的十進小數傳入印度并漸漸在世界傳播，其他國家開始陸續創造小數的表示方法，國外對小數符號的設計種類繁多。古印度數學家將小數部分的各數分別用圓圈圈出，如42.56表示為42⑤⑥。印度人將中國用文字分厘毫的表示法改為用圓圈圈出，這可以很明顯地區別出小數部分。1530年，德國數學家Rudolff用一條直豎線來隔開整數部分和小數部分，如36.75寫成36|75，這條豎線已經蘊含著小數的概念。1585年，荷蘭工程師Stevin編寫的《論十進小數》首次系統地論述了十進小數的理論，書中開篇宣稱“本書教你如何進行所有計算，這些計算只須用全體整數而無須用分數就可以完成”，并給出小數的定義：“小數是基于十進制而發明的一種算術，它使用普通的阿拉伯數字即可記載任何數，并且在人類事務中的所有運算可以完全不用分數而只用整數來進行?！盵5]Stevin創造了小數的表示方法，他首先用一個符號☉把整數部分和小數部分分開，然后把①②③④⑤寫在數字的后方或上方來表示整數后邊的部分，例如8☉9①3②7③表示8.937。

1592年，瑞士數學家Burgi用一個空心小圓圈把整數部分和小數部分分開，比如把36.548表示為36。548。意大利數學家Clavius在《星盤》一書中首次使用了現代意義的小數點，即把小數點作為整數部分與小數部分分界的記號，他在后來1608年《代數學》中更明確地使用這種小數點，這就是用“點”表示小數記法的開始。1617年，英國數學家Napier在《小數計算法》中用“逗號”把整數與小數部分分開。英國數學家Briggs在1624年《對數算術》中又創立了一種小數符號，他在小數部分下面畫一條線，如把3.45寫成345，這條橫線雖然后來在歐洲小數記號中逐漸消失，但卻在中國一些財務記賬中被使用過，一般是在元以下的角分處畫上一條水平線。

現在世界上小數點的使用還沒有統一，歐洲大陸派（德、法、俄等）用逗號“，”作為小數點；英美派則用實心圓點“.”作為小數點，中國使用英美派記法。

三、小數與其他學科的聯系

小數在文學、經濟、自然科學中有著廣泛的應用性。戰國末期楚國大才子宋玉在《登徒子好色賦》中描述了一位女子：“增之一分則太長，減之一分則太短。”他并沒有直接描述這位女子的身高，而是從側面夸贊其身高恰到好處：再高一分就太高，再矮一分則又顯得太矮。那“一分”是多高呢？按照今天的度量標準，1尺≈0.333米，而1尺=100分，因此1分≈0.00333米。對于人的身高說，0.00333米的差異幾乎難以察覺，通過宋玉這番帶有夸張色彩的描述，可以想象到這個女子留給宋玉的印象很完美。俗語“一畝三分地”用小數表示是1.3畝，清朝時的皇帝為顯示對農業生產的重視，每年到先農壇耕地，其親耕的面積恰好是一畝三分。為什么定為“一畝三分”？有一種說法是中國古代把數字一三五七九看作陽數，一和三為陽數中最小的兩個數，皇帝既要親耕又不能太勞累，所以定個最小面積作為耕田。后來人們將個人利益或個人勢力范圍稱為“一畝三分地”。

在經濟生活里，小數發揮著重要作用，如商品銷售中的尾數定價策略，即制定非整數價格，以零頭數結尾。這樣給人的感覺首先是便宜，易于接受，如標價99.98元的商品和100.08元的商品，雖然僅相差0.1元，但前者使人感覺還不到100元，后者卻使人認為100多元；其次是精確，帶有尾數的定價使消費者認為商品定價是非常認真、精確的，連幾角幾分都算得如此清楚，進而產生一種信任感。

在自然科學中，小數有著舉足輕重的作用，如果不給予重視，那么重大發明也許會擦肩而過，或者造成重大損失。電話機發明者貝爾曾說，他是借助科學家萊斯的試驗而成功發明電話機的。原來，萊斯在貝爾之前已經研制出一種利用電流進行傳聲的裝置，但是這個裝置僅能單向傳送，不能雙向交談。當貝爾發現了萊斯裝置中的不足后，經過分析研究，最后只將萊斯裝置上的一顆螺絲往里擰了半圈，也就是0.0005米，話聲就能相互傳遞了。就這樣，0.0005米的細微之差，誕生了世界上第一部真正的電話機。這個結果令萊斯瞠目結舌，雖然他突破了電流傳聲技術，但卻在離成功發明電話機0.0005米的地方失敗了。

四、“小數的初步認識”學習活動單

在“變教為學”的背景下，以“改變教學單一的工具性，使數學教學呈現文化性”為出發點，設計了“小數的初步認識”學習活動單。

活動一：一袋牛奶的價格是1元9角8分，你有其他的表示方法嗎？自己試試寫出來，然后與同伴交流。

活動二：你認為哪一種方法最好？把自己的想法說給同伴聽。

活動三：請你嘗試讀一讀1.98、0.50、1.06，說一說你發現了什么？

活動四：你認為小數和整數的相同點和不同點是什么？先獨立思考，再與同伴交流。

活動五：利用小數表示“一畝三分地”（1畝=10分），讀一讀你寫的小數，并說說你對這個詞語的看法。

活動六：生活中“小數”無處不在，請你課后找一找，記錄下來，并和同伴分享。

活動設計說明：活動一的目的是讓學生用不同的方法來表示1元9角8分，從而經歷小數的產生過程，感受小數產生的必要性?；顒佣亲寣W生對不同的小數表示方法進行理解與比較，在比較的過程中感悟小數形式的多樣性，體會現在小數表示方法的簡潔性?；顒尤ㄟ^讓學生自己嘗試讀小數，從中發現小數和整數在讀法上有哪些區別?；顒铀氖菤w納與概括的思考過程，使學生體會小數的本質是整數的延伸，都是十進制數?；顒游迨菍⑿蹬c語文中的詞語建立聯系，同時將中華傳統文化也滲透到了數學教學中，學生既可以體會數學與其他學科存在著聯系，也可以領略到中華傳統文化的魅力?；顒恿亲寣W生尋找生活中的小數，將數學與生活聯系在一起，旨在讓學生善于觀察生活，帶著問題走入課堂，帶著問題走出課堂。

參考文獻：

[1] 郜舒竹. “變教為學”的文化性[J]. 教學月刊·小學版（數學），2014（9）.

[2] 郜舒竹. “變教為學”從哪兒做起[J]. 教學月刊·小學版（數學），2013（9）.

[3] 眭秋生. 我國十進小數發展簡史[J]. 南京師大學報，1985（2）.

[4] 曾小平，韓龍淑. 小數是特殊的分數嗎？ ——小數的意義與教學探究[J]. 教學月刊·小學版（數學），2012（7～8）.

[5] Vera Sanford. La Disme of Simon Stevin-The First Book On Decimals[J]. The Mathematics Teacher，1921，14（6）.

（河北省成安縣第一中學 056700）