雷達目標寬帶散射特性的GGO快速分析方法

陳文鋒1，2，龔書喜1，董海林1，張鵬飛1，趙 博1

（1.西安電子科技大學天線與微波技術重點實驗室，陜西西安 710071；2.中國電子科技集團公司第三十六研究所，浙江嘉興 314033）

雷達目標寬帶散射特性的GGO快速分析方法

陳文鋒1，2，龔書喜1，董海林1，張鵬飛1，趙 博1

（1.西安電子科技大學天線與微波技術重點實驗室，陜西西安 710071；2.中國電子科技集團公司第三十六研究所，浙江嘉興 314033）

文中將降維技術應用到傳統矩量法中，并結合梅利逼近對目標二維雷達散射截面進行快速分析.針對角域和頻域中目標表面電流的二維展開式，Gauss-Green-Ostrogradsky（GGO）降維技術將問題轉化為角域（或頻域）的一元函數及其各階導數的疊加，有效避免了逼近函數二維展開系數的求解過程，并通過控制導數的階數調整計算精度，從而快速有效獲得雷達目標二維散射特性.與二維梅利逼近方法相比，該方法在不失精度下更易于實現編程計算，內存需求和求解時間僅為原始算法的1/6和1/3.

矩量法；雷達散射截面；梅利逼近；降維技術

在研究電磁場邊值問題的目標散射時，雷達散射截面（Radar Cross Section，RCS）和角度與頻率密切相關，這使得在進行數值分析時，需要分別或同時在角域和頻域上求解感應電流的分布矩陣方程.應用傳統的掃角與掃頻法計算時，必須用非常小的角度和頻率間隔才能獲得精確的計算結果，從而在整個角域和頻域內增加了矩陣方程求解量，大量占用了計算時間和內存.因此，在分析寬角和寬帶響應時，提高數值計算方法的效率就更為重要.

傳統的矩量法（Method of Moment，Mo M）［1］是一種有效且高精度的數值方法，但長期受限于計算機的內存，不能在求解電大尺寸問題過程中得到應用，使其只能局限于電小尺寸問題的計算.上世紀90年代以來，伴隨著硬件的發展和各種計算方法的應用，各種基于矩量法的快速算法取得很大進步，如模型估計（Model-Based Parameter Estimation，MBPE）［2］、漸近波形估計（Asymptotic Waveform Evaluation，AWE）［3-4］、最佳一致逼近［5］和梅利逼近［6-8］等.文獻［6］給出的一維單變量梅利逼近，精確有效地計算了目標RCS的頻率響應，但該方法無法得到三維的RCS數據.文獻［7］將其擴展成二維的外推技術，即對目標RCS的角度和頻率同時進行外推，并快速計算雷達散射截面的空頻二維特性，但二維梅利逼近技術中的電流未知展開系數求解過程相對較復雜.

有理逼近的降維展開法［9-10］廣泛應用于橋梁建造、工程設計中，其原理通過基于GGO公式［11］，提出利用一元函數及其各階導數的疊加實現二元函數的平滑逼近.文獻［12］將基于Mo M的AWE技術結合降維展開技術，實現了頻域和角域外推.筆者將基于Mo M的梅利逼近方法結合降維展開技術，分別在角域和頻域內進行計算，分析目標在載體平臺上的寬帶特性.然后通過坐標的變換，計算出在給定的頻帶中切比雪夫節點，并應用Mo M計算獲得節點處的表面電流，再用梅利逼近技術快速計算出給定頻帶內任意頻點上的表面電流，從而完成寬帶目標的快速掃角和掃頻.計算結果表明，在保證精度的前提下，該技術使計算效率得到了明顯的提高.

1 基本理論

1.1矩量法理論概述

眾所周知，可用以下電場積分方程（Electric Field Integral Equation，EFIE）表示目標的電磁散射問題:

其中，S為目標的表面.JS（r）為目標表面上分布的待求解感應電流；Et（r）為已知的入射波電場；L｛·｝為線性微積分算子.

其中，ω和μ0分別是角頻率和磁導率；k=2πλ，是自由空間波數；G（r）為格林函數.

用矩量法把式（1）化為矩陣方程進行求解:

其中，θ和f分別表示入射波的角度和頻率；對于非周期的目標結構，矩陣Z（f）是復稠密的，與f有關；V（f，θ）是激勵矢量，與θ和f都有關；I（f，θ）是目標表面待求解的感應電流矢量，與θ和f都有關.因此，RCS與θ和f都有關，若用傳統矩量法計算，需要在角域［θmin，θmax］和頻域［fmin，fmax］上逐點掃描，并重復求解式（3），這將占用大量計算機內存，且產生巨大的計算量.

1.2有理逼近的降維展開法

有理逼近的降維展開技術，其原理通過基于GGO公式，針對目標表面電流中角度與頻率的二元函數進行降維處理，利用一元函數及其各階導數的疊加實現二元函數的平滑逼近.它的優點是只需對頻率和角度分別進行計算，對比現有的二維梅利逼近技術，減少需要對頻率和角度同時求解的計算量.

假設函數I（X）=I（x1，x2，…，xn） 在Ω上連續可微，一般形式的GGO公式為

其中，d S是曲面Sn-1的面積元素；?xn?Ω表示變量xn對曲面的外法向量的方向導數.

其中，最后一項ρn表示余項.其表達式如下:

將式（9）代入式（7）和式（8），可得

其中，

式（10）中，余項ρn可以表示成

于是由式（10），可得以下展開式:

1.3梅利逼近

分析目標的寬帶特性，有理梅利逼近的具體步驟如下:

步驟1 對于給定x∈［xa，xb］，變換坐標得

由此，可在［xa，xb］中確定nl個切比雪夫節點，其表達式為

步驟3 由切比雪夫逼近可得目標的表面電流系數I1（x），表達式為

其中，nl為截斷階數 ，

步驟4 用梅利有理展開替代切比雪夫多項式，可以提高計算精度.電流系數I1（x）重寫為

，可得未知系數ai（i=0，1，…，L）和bj（j=0，1，…，M）如下:

其中，

當有理函數系數ai和bj被確定，再將其代入式（25），即可求出給定頻域分布中任意頻點的電流密度，然后分析目標寬帶的散射特性.

2 數值結果與分析

應用該方法分析任意形狀導體目標的RCS，并在給定角域和頻帶范圍內實現快速掃描.為驗證該方法的準確性和高效性，文中給出了兩個算例的數值結果.所有算例都在主頻為3.0 GHz的個人電腦上完成，文中所有算法均采用Fortran語言編程實現.

考慮立方體和錐體的組合體a，立方體的尺寸為0.5 m×0.5 m×0.5 m，錐體的高為0.4 m，整個模型剖面為2 002個三角形，總未知量為3 003個.采用文中提出的降維階數N=8和梅利逼近（L=7，M=7）結合Mo M分析組合體隨頻率f和入射角度θ同時變化的情況.考察組合體在?=0°時隨頻率f（500～700 MHz）和入射角度θ（-90°～+90°）變化的二維散射特性，頻率間隔為5 MHz，角度間隔為3°，計算單站RCS的三維圖，如圖1所示.將θ=45°時的結果與Mo M逐點計算結果進行比較，頻率間隔為5 MHz，二者吻合良好，如圖2所示.

圖1　組合體a的單站RCS的三維圖形

圖2　組合體a單站RCS隨頻率f的變化情況

圖3　組合體b的單站RCS的三維圖形

圖4　組合體b單站RCS隨角度θ的變化情況

考慮半球和圓錐體的組合體b，半球的半徑為0.6 m，圓錐體的高為0.6 m.整個模型剖面為2 218個三角形，總未知量為3 327個.采用文中提出的降維階數N=8和梅利逼近（L=7，M=7）結合Mo M分析組合體隨頻率f和入射角度θ同時變化的情況.考察組合體在?=0°時隨頻率f（300～500 MHz）和入射角度θ（-90°～+90°）變化的二維散射特性，頻率間隔為5 MHz，角度間隔為3°，計算單站RCS的三維圖，如圖3所示.將f=400 M Hz時的結果與Mo M逐點計算結果進行比較，角度間隔為3°，二者吻合良好，如圖4所示.

圖5給出了組合體a和組合體b的余項隨著降維階數N的變化情況.當N≥8時，余項δN的誤差在0.15 d B以下.表1給出了組合體a和組合體b中不同方法的計算內存和效率對比.

圖5　組合體的余項隨著降維階數N的變化情況

表1　組合體a和組合體b中不同方法的計算性能對比

3 結 論

當不同頻率和角度入射時，Mo M結合降維展開技術和梅利逼近法與Mo M逐點計算結果吻合良好，使計算效率得到有效的提高，較之傳統Mo M的計算時間和內存需求上有明顯優勢.數值結果表明了該方法的有效性.文中采用的有理逼近的降維技術將目標表面電流關于頻率與角度的二元函數化為一元函數的疊加，以及梅利逼近技術快速獲取關于角度或頻率的一元函數的目標表面電流，從而有效地避免傳統方法在角域和頻域上對矩陣方程的逐點重復求解，計算效率得到了極大提升.因此，矩量法結合有理逼近的降維展開法和梅利逼近方法分析目標在載體平臺上的散射特性，在實際工程應用中有一定的指導意義.

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［2］CHEN M S，SUN Y X，WU X L.Wavelet Based MBPE Technique for Fast RCS Computation of DNG Metamaterials ［C］//Procedia Engineering-International Workshop on Information and Electronics Engineering:29.Oxford:Elsevier，2012:2961-2965.

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（編輯:李恩科）

Fast analysis of wide-band scattering from radar targets using the GGO method

CHEN Wenfeng1，2，GONG Shuxi1，DONG Hailin1，ZHANG Pengfei1，ZH AO Bo1
（1.Science and Technology on Antenna and Microwave Lab.，Xidian Univ.，Xi’an 710071，China；2.No.36 Research Institute of CETC，Jiaxing 314033，China）

The dimensions reducing technique combined with the Maehly approximation is applied to the Method of Moment（Mo M）for analysis of the two-dimensional radar cross section（RCS）of the target. The Gauss-Green-Ostrogradsky（GGO）algorithm is utilized to transform the two-dimensional expression for the surface currents in both spatial and frequency domains to one dimension and its derivatives.This procedure avoids the solution of expansion coefficients in the two-dimensional expression and makes the accuracy adjustable by the order of derivatives.Compared with the two-dimensional Maehly approximation method，the proposed scheme can acquire RCS data efficiently with good accuracy and reduce procedural complexity.Finally，numerical results show that memory requirement and calculation time are about 1/6 and 1/3 of what are needed in the original method.

method of moment；radar cross section；Maehly approximation；reduced dimensions technique

TN802.1

A

1001-2400（2016）01-0060-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.01.011

2014-08-12 網絡出版時間：2015-04-14

國家自然科學基金資助項目（61201023）；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（K5051302021）

陳文鋒（1982-），男，西安電子科技大學博士研究生，E-mail:laker-cwf@163.com.

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150414.2046.008.html