高斯X信道在噪聲干擾下的和容量

李 靜，葛建華

（西安電子科技大學(xué)綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)理論及關(guān)鍵技術(shù)國家重點(diǎn)實驗室，陜西西安 710071）

高斯X信道在噪聲干擾下的和容量

李 靜，葛建華

（西安電子科技大學(xué)綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)理論及關(guān)鍵技術(shù)國家重點(diǎn)實驗室，陜西西安 710071）

通過分析高斯X信道的和容量，得到了該信道處于噪聲干擾下的充分條件.將輔助向量和輔助集合作為邊信息提供給接收端，得到了一個和速率上界.在所提出的噪聲干擾條件下，該和速率上界可通過將X信道退化成潛在的干擾信道，并把干擾當(dāng)作噪聲處理的方法達(dá)到，從而得到了該信道在噪聲干擾下的和容量.

X信道；和容量；噪聲干擾

（M+N-1）.目前，最佳的可達(dá)速率區(qū)域是文獻(xiàn)［5］提出來的，當(dāng)X信道退化成干擾信道時，這個速率區(qū)域退化成著名的Han Kobayashi速率區(qū)域.文獻(xiàn)［6-8］在不同的干擾域?qū)信道容量域進(jìn)行了分析，并得到了容量域的外界.文獻(xiàn)［4］將噪聲干擾和容量結(jié)論從兩用戶高斯干擾信道擴(kuò)展到了2×2用戶高斯X信道，并證明了此時將X信道退化成其潛在的干擾信道，并將干擾當(dāng)作噪聲處理的方法能夠達(dá)到信道的和容量.文獻(xiàn)［9］將這一結(jié)論從單天線高斯X信道擴(kuò)展到了多天線高斯X信道.

在實際的無線通信系統(tǒng)中，處理干擾的方法主要是頻分復(fù)用（時分復(fù)用）和將干擾當(dāng)作噪聲處理.這兩種方法雖然易于實現(xiàn)，但在一般情況下都不是最優(yōu)的.第1種方法的缺陷在于，從一開始就損失了信道自由度；

干擾日益成為制約提升多用戶無線通信系統(tǒng)性能的瓶頸，因此分析干擾對無線通信系統(tǒng)帶來的影響成為研究熱點(diǎn).X信道是研究干擾影響的一個重要模型，因為所有的非多播信道模型，如多址接入信道、廣播信道和干擾信道，都是X信道的特例.并且，X信道容量域的外界都是其子信道容量域的外界.然而，對X信道的研究多集中于通過采用干擾對齊的方法分析其信道自由度［1-4］.文獻(xiàn)［1-2］證明了每個節(jié)點(diǎn)帶有M根天線的多輸入多輸出X信道的信道自由度為4M/3.文獻(xiàn)［3］證明了M×N用戶單天線高斯X信道的信道自由第2種方法的缺陷在于，在某些情況下（比如強(qiáng)干擾），干擾其實是可以利用的，因為干擾攜帶的信息具有一定的結(jié)構(gòu).雖然第2種方法在一般情況下并不是最優(yōu)的，但是在噪聲干擾下卻是和容量可達(dá)的.筆者將噪聲干擾和容量結(jié)論從2×2用戶高斯X信道擴(kuò)展到了M×M用戶高斯X信道.在M×M用戶高斯X信道中，由于干擾數(shù)量隨用戶數(shù)量增加而增加，文獻(xiàn)［4］中分析和速率上界時采用的邊信息不再適用.筆者將文獻(xiàn)［10］中用來分析多于兩用戶干擾信道和速率上界時構(gòu)造的輔助向量擴(kuò)展到X信道，并構(gòu)造相對應(yīng)的輔助信息集合，提出了M×M用戶高斯X信道處于噪聲干擾下的充分條件，得到了信道在噪聲干擾下的和容量，并證明了此時即使利用干擾具有特定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)也不能改善系統(tǒng)的性能.因此，在文中提出的噪聲干擾條件下，要想達(dá)到信道的和容量只需在發(fā)送端將某些信息設(shè)置為空，在接收端將干擾當(dāng)作噪聲處理即可.

圖1　M×M用戶高斯X信道

1 系統(tǒng)模型

M×M用戶高斯X信道模型如圖1所示，發(fā)送端i∈［1:M］有一個獨(dú)立信息Wki∈［1:2nRki］要傳送給接收端k∈［1:M］，其信道輸入輸出表達(dá)式為

其中，hki表示發(fā)送端i到接收端k的信道增益；Xi是發(fā)送端i發(fā)送的信息，其功率受到Pi的限制，即EX2i≤Pi；Zk為獨(dú)立同分布高斯白噪聲，且Zk～N（0，1）.

2 噪聲干擾下的和容量分析

由于每個發(fā)送端要給每個接收端發(fā)送一個信息，因此有M！種潛在的干擾信道.例如，一個2×2用戶X信道有兩種不同的潛在干擾信道:只發(fā)送｛W11，W22｝，讓｛W21，W12｝=?；只發(fā)送｛W12，W21｝讓｛W11，W22｝=?.這里只證明其中一種（只發(fā)送｛Wii｝iM=1，讓其他的信息為空），其他的情況可通過相同的方法證明.

要確定信道在噪聲干擾下的和容量，需要找到一個與可達(dá)和速率相匹配的和速率上界.最常用的方法是給接收端提供邊信息，這里采用輔助向量和輔助集合作為邊信息提供給接收端.在分析之前，首先給出一些定義和引理.

定義1 設(shè)π（·）為一個循環(huán)移位函數(shù)，定義為

另外，πj（·）表示把函數(shù)π（·）運(yùn)行j次.

定義2 設(shè)sk=［sk，1，sk，2，…，sk，M-1］T，為給接收端k的輔助向量，定義為

其中，Zk，r是與Zk相關(guān)的零均值高斯隨機(jī)變量.設(shè)噪聲向量［Zk，1，Zk，2，…，Zk，M-1］T的協(xié)方差矩陣為Nk，噪聲向量［Zk，Zk，1，Zk，2，…，Zk，M-1］T的協(xié)方差矩陣為

定義3 設(shè)Wk為給接收端k的輔助集合，定義為

根據(jù)Wk的結(jié)構(gòu)可以看出，其有以下性質(zhì):

接下來，分析基于輔助向量式（3）和輔助集合式（6）的和速率上界.

那么，這個M×M用

戶高斯X信道的和速率有以下上界:

其中，XkG～N（0，Pk），而YkG和skG為相對應(yīng)的Yk和sk.

證明 將sk和Wk作為邊信息提供給接收端k，根據(jù)Fano不等式，可得

引理2 當(dāng)

成立時，采用sk和Wk作為邊信息提供給接收端不會增加信道的和容量.

證明 當(dāng)I（XkG；YkG，skG）=I（XkG；YkG）時，采用sk和Wk作為邊信息提供給接收端不會增加信道的和容量.根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，I（XkG；YkG，skG）=I（XkG；YkG）+I（XkG；skG|YkG）.而I（XkG；YkG，skG）=I（XkG；YkG），當(dāng)且僅當(dāng)I（XkG；skG|YkG）=0.根據(jù)文獻(xiàn)［10］，I（XkG；skG|YkG）=0，當(dāng)且僅當(dāng)XkG→YkG→skG是馬爾可夫鏈.而要使這個馬爾可夫鏈成立，當(dāng)且僅當(dāng)XkG→YkG→skrG，r∈［1:M-1］都是馬爾可夫鏈.然后，根據(jù)文獻(xiàn)［11］可得，XkG→YkG→skrG是馬爾可夫鏈，當(dāng)且僅當(dāng)cov（XkG，skrG）cov（YkG）=cov（XkG，YkG）cov（YkG，skrG）成立，即式（11）成立.證畢.

定理 如果存在矩陣｛Mk?0｝Mk=1，滿足式（8）和式（11），那么，此M×M用戶高斯X信道的和容量為

且這個和容量可以通過將原來的X信道退化成潛在的干擾信道，使用高斯輸入，并且把干擾當(dāng)作噪聲處理來達(dá)到.

證明 可達(dá)性可以通過將X信道退化成潛在的干擾信道（即只發(fā)送信息集，讓其他的信息為空），在發(fā)送端采用高斯碼本，并在接收端將干擾當(dāng)作噪聲處理的方法證明.和速率上界可以由引理1和引理2證明.證畢.

3 結(jié)束語

分析了M×M用戶高斯X信道在噪聲干擾下的和容量，其中M可以是任意正整數(shù).通過構(gòu)造輔助向量和輔助集合作為邊信息提供給接收端，得到了X信道處于噪聲干擾的充分條件.在這個噪聲干擾條件下，信道的和容量可通過將X信道退化成潛在的干擾信道來達(dá)到，這意味著此時某些信息對信道的和容量沒有貢獻(xiàn)，且X信道與潛在的干擾信道有相同的信道和容量.由于M×M用戶高斯X信道有M！種潛在的干擾信道，這意味著存在M！種不同的噪聲干擾充分條件.文中僅列出并證明了其中的一種，其他充分條件可通過相同的方法得出.當(dāng)發(fā)送端用戶數(shù)量不少于接收端用戶數(shù)量時，可以通過與文中相似的方法構(gòu)造輔助信息，從而得到該高斯X信道的噪聲干擾充分條件.而當(dāng)發(fā)送端用戶數(shù)量少于接收端用戶數(shù)量時，文中提供的方法不再適用.

［1］JAFAR S，SHAMAI S.Degrees of Freedom Region for the Mimo X Channel［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2008，54（1）:151-170.

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［3］CADAMBE V，JAFAR S.Interference Alignment and the Degrees of Freedom of Wireless X Networks［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2009，55（9）:3893-3908.

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［5］KOYLUOGLU O，SHAHMOHAMMADI M，EL-GAMAL H.A New Achievable Rate Region for the Discrete Memoryless X Channel［C］//Proceedings of IEEE Intnternational Symposium on Information Theory.Piscataway:IEEE，2009:2427-2431.

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［9］KUMAR V P，BHASHYAM S.MIMO Gaussian X Channel:Noisy Interference Regime［J］.IEEE Communications Letters，2014，18（8）:1295-1298.

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［11］HAJEK B.An Exploration of Random Processes for Engineers［M］.Illinois:University Illinois at Urbana Champaign，2008.

（編輯:齊淑娟）

Sum capacity of Gaussian X channels with noisy interference

LI Jing，GE Jianhua
（State Key Lab.of Integrated Service Networks，Xidian Univ.，Xi’an 710071，China）

If the sum capacity of a channel can be achieved by treating interference as noise，we say that this channel is under noisy interference.By analyzing the sum capacity of Gaussian X channels，sufficient conditions for such channels under noisy interference are proposed.Providing vector genies and auxiliary sets as side information to the receivers，a sum-rate upper bound is obtained.Under the noisy interference sufficient conditions，this sum-rate upper bound can be achieved by operating the original channel as the underlying Gaussian interference channel and treating interference as noise.Therefore，the sum capacity of the Gaussian X channel is determined for noisy interference.

TN911.02

A

1001-2400（2016）01-0071-04

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.01.013

2014-08-21 網(wǎng)絡(luò)出版時間：2015-04-14

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃資助項目（2012CB316100）；國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃（"863"計劃）資助項目（2014AA01A704）；“111”計劃資助項目（B08038）；中國國家留學(xué)基金管理委員會（CSC）資助項目

李 靜（1987-），女，西安電子科技大學(xué)博士研究生，E-mail:jli?8713@hotmail.com.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150414.2046.010.html