高速公路改擴建成本預測的灰色-馬爾可夫鏈模型

王軍艷，李玨

（長沙理工大學交通運輸工程學院，湖南長沙 410004）

高速公路改擴建成本預測的灰色-馬爾可夫鏈模型

王軍艷，李玨

（長沙理工大學交通運輸工程學院，湖南長沙 410004）

高速公路改擴建過程中會受到眾多因素的影響。文中結合其特點，在統計高速公路改擴建成本歷史數據的基礎上，建立灰色GM（1，1）預測模型，對高速公路改擴建成本進行預測，同時根據馬爾可夫鏈模型對預測值與實際值之間的殘差幅度進行狀態分類，得出狀態轉移矩陣和預測區間值，最終求得各個序列的修正值，并通過實例說明了灰色-馬爾可夫鏈預測模型的精度。

工程管理；高速公路改擴建；成本預測；灰色-馬爾可夫鏈

高速公路改擴建項目的規劃、設計、招投標、施工等階段都存在影響建設成本的因素，為了有效控制高速公路改擴建成本、合理利用資源，需對高速公路改擴建進行成本預測和分析。目前關于改擴建工程成本預測的研究有：楊敏利用灰色GM（1，1）模型對改擴建項目成本進行預測，以得到的預測值和發展系數作為從實施過程備選方案預測指標結果中選擇利益最優實施方案的衡量標準，使結果的可信度增加；張健等對改擴建項目投資決策問題進行分析，將AHP法和模糊評判法相結合，在價值工程的基礎上建立了改擴建投資決策模型；左光文將一元回歸方法用于工程項目成本預測，解決了在資料不夠詳實、時間較緊迫的情況下無法對工程項目成本進行預測的問題；雷劍從影響高速公路改擴建工程的各項經濟技術指標出發，在模糊重構優化DEA的基礎上建立了高速公路改擴建方案評價指標體系；陸紅梅等運用模糊模式進行識別和選取，通過BP神經網絡對工程項目成本進行預測，經過實例驗證，得出基于這兩種方法的模型可用于工程項目成本預測；劉穎等利用灰色理論方法對高速公路改擴建成本進行了預測，但只預測了未來幾年高速公路擴建成本趨勢，沒有進行精度上的改善。該文運用灰色GM（1，1）模型，通過對某地區2001—2014年高速公路改擴建中四車道改八車道成本數據的處理，預測近4年高速公路改擴建成本，結合馬爾可夫鏈模型得出狀態轉移矩陣，并對GM（1，1）模型得出的預測值進行修正，以得出更加準確的預測成本值。

1　灰色-馬爾可夫鏈模型的基本思想

灰色GM（1，1）預測模型是灰色系統理論的核心內容之一，是灰色預測模型中應用最廣泛的模型，它具有所需樣本少、計算簡單等特點。不像回歸模型和經驗模型那樣需要從影響高速公路改擴建成本的眾多因素中篩選出主要影響因素，更不需要收集主要影響因素的具體數據，而是從高速公路改擴建成本自身出發，在收集成本歷史數據的過程中尋找有用信息和發現其內在規律，建立灰色GM（1，1）模型進行預測。它要求高速公路改擴建成本歷史數據經過處理后具有指數規律，但由于高速公路改擴建項目在實施過程中受環境影響較大，且具有作業面狹小、工點分散、功效低、施工組織和交通組織復雜等特點，利用歷史數據進行累加生成的數據并不一定具有指數規律，可能會產生誤差，通過累加生成的數據也可能增加模型的誤差。

馬爾可夫鏈是一個隨機過程，該過程是從一種狀態轉移到另一種狀態，根據其規律性形成轉移概率，進而預測狀態未來的發展方向。高速公路改擴建是一個工程量大、征地拆遷困難、通行不間斷、工程變更多的動態系統過程，可將改擴建成本作為這一動態系統的特征向量。成本的變化是一個隨機過程，而馬爾可夫鏈可以對該過程進行描述。

根據上述兩種模型的基本思想，可以將高速公路改擴建成本每年的變化看成一個灰色動態系統，在此基礎上建立灰色GM（1，1）預測模型，預測高速公路改擴建成本變化的未來趨勢。但由于高速公路改擴建過程中的隨機波動性較大，灰色GM（l，l）預測模型只能預測數據總體發展趨勢，并不能很好地揭示該過程的波動性。為此，運用馬爾可夫鏈對灰色GM（1，1）模型預測出的高速公路改擴建成本結果進行修正，提高預測精度。

2　灰色-馬爾可夫鏈模型的建立

2.1GM（1，1）模型

（1）設有原始數據序列［見式（1）］，它是一個在限制區間內進行變化，序列長度為n的隨機序列。在獲得原始數據的過程中會受到種種因素的影響，需使用累加、累減、求均值的方法對原始數據進行降噪處理，使其具有一定的規律性，帶有一定的指數規律并呈現整體上升的趨勢。累加公式見式（2）。

（2）根據x（1）（k）的指數增長規律，建立灰微分方程模型［見式（3）］，即灰微分方程的影子方程。

式中：x（1）為時間t的函數；a、b為待估參數。

（3）參數估計。設M=（a，b）T，待定，引入向量記號［見式（4）、式（5）］，將式（3）轉換成離散形式，得Y=BM。通過MATLAB進行矩陣轉換和最小二乘法計算參數M=（a，b）T，得式（6）。

式中：z（1）（k）=［x（1）（k-1）+x（1）（k）］/2，k=2，3，…，n。

（4）預測值的計算。將a、b值代入式（2），得到原微分方程的近似解［見式（7）］和離散響應量x（1）（k）的預測值［見式（8）］，進而得到X（0）的預測值［見式（9）］。

式中：x（0）（1）=x（1）（1）。

將灰色GM（1，1）預測模型的預測值與原始數據進行對比，得到兩者在同一個時刻點的殘差。

2.2馬爾可夫鏈改進模型

鑒于灰色GM（1，1）預測模型的預測結果比較籠統，采用馬爾可夫鏈對GM（1，1）模型預測結果進行修正，將預測結果限制在較小的區間，并通過狀態轉移矩陣使區間中的預測范圍更加準確。

馬爾可夫鏈是一個關于時間X（t）的隨機過程，其基本思路是：在一個時刻T0狀態S0已知的情況下，從狀態S0轉移到下一時刻T1的狀態S1只與狀態S0有關，而與T0之前的狀態無關。運用馬爾可夫鏈將同一時刻的預測結果和原始數據之間的殘差程度進行狀態分類，根據狀態分類得出狀態轉移矩陣。一步狀態轉移矩陣形式為：

式中：Pij為由狀態Si轉移到狀態Sj的概率，0≤。

Pij描述的是n個狀態之間相互轉移的概率。根據狀態轉移矩陣，可以對灰色GM（1，1）預測結果在一定的預測區間內進行修正，從而得出更加可信的預測值，提高預測結果的精度。

3　實例應用

某地區2001—2014年高速公路四車道擴寬為八車道的平均造價見表1。

表1　高速公路四車道改八車道每公里平均造價

3.1模型建立

根據表1所示原始數據，經過數據變換處理后，建立灰色GM（1，1）模型對該地區高速公路四車道擴寬為八車道的平均造價進行預測。

（1）數據處理，建立原始數列：

將原始數據進行一次性累加，得出具有一定規律的數據序列：

（2）由式（4）～（6）求得B、Y；利用MATLAB進行矩陣運算，得a=-0.1099、b=2313.9。

（3）求出預測模型。將參數代入式（8），得到GM（1，1）模型：

利用該灰色GM（1，1）模型對2002—2014年高速公路改擴建成本進行預測，結果見表2。從表2可以看出：預測值與實際值之間的平均誤差為1.28%（絕對值），最大年度誤差為9%（絕對值），預測結果在可接受的范圍內。

3.2狀態劃分

根據實際值與預測值的殘差幅度進行狀態分類，將高速公路四車道改八車道的平均造價劃分為3種狀態：狀態1為高估狀態，殘差幅度為（-10%，-2%），從表2來看，2002、2003、2004、2014年為這種狀態。狀態2為正常狀態，殘差幅度為［-2%，2%］，2005—2010、2012、2013年為這種狀態。狀態3為低估狀態，殘差幅度為（2%，10%），2011年為這種狀態。

根據以上狀態分類結果，獲得2002—2014年馬爾可夫鏈的狀態轉移情況（見表3）。

表2　2002—2014年GM（1，1）預測結果

表3　2002—2014年灰色預測結果馬爾可夫狀態轉移情況

根據表3得出2002—2014年馬爾可夫鏈的狀態轉移矩陣：

根據狀態轉移矩陣得到之后4年（2015—2018年）的預測狀態向量（見表4）。

表4　2015—2018年灰色預測結果馬爾可夫鏈狀態向量

3.3近期高速公路改擴建成本預測

運用馬爾可夫鏈模型對灰色GM（1，1）模型預測結果進行改進，結果見表5。

根據灰色GM（1，1）預測結果，該地區高速公路改擴建工程成本呈現逐年增長的趨勢。采用馬爾可夫鏈對灰色模型預測結果進行修正后，得出該地區高速公路改擴建成本處于高估狀態，低于實際預測值。高速公路改擴建中要做好成本預測，使建設成本得到有效控制。

表5　基于灰色-馬爾可夫鏈模型的高速公路改擴建成本預測結果

4　結語

高速公路改擴建過程屬于一個在灰色系統前提下的隨機過程，該文根據該特點，應用灰色-馬爾可夫鏈模型對其成本進行預測。通過灰色GM（1，1）模型得出較為粗糙的預測值，然后利用馬爾可夫鏈對預測值進行修正，得出狀態轉移矩陣，確定高速公路改擴建成本預測值位于不同區間的可能性，再將區間預測中值與通過狀態轉移矩陣得到的區間發生概率進行結合，更加準確地呈現高速公路改擴建成本發展總體趨勢。灰色系統理論要求系統的影響因素相對穩定，故灰色-馬爾可夫鏈模型適用于近期高速公路改擴建成本預測。

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