基于認知取向的切線長定理教學與思考

☉浙江省溫州市南浦實驗中學陳培培

基于認知取向的切線長定理教學與思考

☉浙江省溫州市南浦實驗中學陳培培

切線長定理是在九年級學習了直線與圓的位置關系以后的后續課，在此之前學生已經學習了切線的定義、判定和性質，并繼續對切線的性質的研究，是在垂徑定理之后對圓的對稱性又一次的認識，體現了圖形的認識、圖形的變換、圖形的證明的有機結合，它既是前面知識的延伸，也是后面學習的基礎，又是今后證明線段相等、角相等、弧相等、線段成比例等的重要工具，因此，本課具有承前啟后的重要地位.對于學生而言，本課始終存在很大的難度.因此，筆者試圖通過認知取向理論來解決和突破這一難點.

一、認知學習理論的基本特征

1.認知學習理論的目標

認知學習理論認為，學習任何一門學科的根本目的是讓學生主動地建構良好的認知結構.就本節課而言，通過對切線長定理的猜想和證明，有助于培養學生嚴密的演繹推理能力和邏輯思維能力，而深入剖析圖形，體現了數形結合的數學思想，有助于發展學生的數學建模能力.

2.認知學習理論的實施

教學過程中，教師應當有效實施教學原則，提倡發現式教學.在學生學習經驗的基礎上，經歷對數學問題進行觀察、猜測、實驗、歸納、驗證等活動過程.同時在以前的數學學習中學生通過合作學習的過程，積累一定的合作學習的經驗，自覺自主地進行探索與合作交流.

二、基于認知取向的教學過程

1.創設問題情境，作為認知生長點

欣賞五糧液酒廠東大門的圖片（如圖1）并提出問題.

問題1：照片中有哪些幾何圖形？

問題2：過圓外一點作已知圓的切線，可以作出幾條？

圖1

學生欣賞圖片，思考、反饋，體會生活中的幾何圖形，并大膽說出自己的看法.從生活中的實例引入新課，體現數學源于生活，吸引學生的注意力，激發學生的興趣，喚起他們的好奇心與求知欲，同時對過圓外一點可以畫圓的兩條切線形成初步的感性認識.

圖2

2.合作學習，探究新知

活動1：畫一畫

問題3：如圖2，在圓外任找一點P并畫出⊙O的兩條切線？

在實際應用中，我們根據需要，經常求點P與切點間的距離，因此，需要給出一個定義.

（1）切線長定義：圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做該點到圓的切線長.

（2）切線與切線長的區別：切線是一條與圓相切的直線，不能度量.切線長是線段的長，可以度量.

學生通過親自動手作圖，不僅鞏固了上節課學習的切線的畫法，還身臨其境地感受切線的定義，從而引出切線長的概念，并將切線與切線長兩個定義加以區分，加深對切線長概念的理解，滲透了從具體到抽象的數學思想方法，為切線長定理的探究打下基礎.

活動2：折一折

問題4：若將這個圖形沿直線OP翻折，你能發現什么結論？猜想：PA____PB，∠APO_____∠BPO.

問題5：過圓外任意一點作圓的兩條切線都有這樣的結論嗎？

利用幾何畫板分別變換點P的位置及圓的大小，觀察線段PA與PB、∠APO與∠BPO是否相等？驗證發現結論，引導學生歸納結論.

學生通過翻折，觀察PA與PB、∠APO與∠BPO之間的關系，進而發現、猜想切線長定理，并用自己的語言表達出來.這樣的設計滲透了從特殊到一般的數學思想，發揮了學生的主體作用，培養學生的類比遷移能力及探索問題的能力，使學生在相互欣賞、爭辯、互助中得到提高；幾何畫板的使用讓靜止的圖形運動起來，使問題變得更加生動形象.

問題6：同學們：試用文字語言敘述剛才的結論？

切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.

剖析定理：（1）指出定理的題設和結論；

（2）結合圖形，用符號語言表示定理：如圖3，若PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，則PA=PB，∠APO=∠BPO.

此環節讓學生熟練掌握定理的三種數學語言（文字語言、符號語言、圖形語言）的表示及相互轉化.

活動3：證一證

問題7：請證明你所發現的結論.

切線長定理證明的教學方式是學生自主探索與合作交流相結合，首先采取多種方式進行探索，等學生猜想出結論后，再明確告知學生，僅憑照片觀察、作圖度量、折疊展示、動態演示，并不足以說明結論的正確性，還需通過嚴格的證明來確保結論的正確性，同時激勵學生尋找證明猜想的途徑.

圖3

問題8：證明命題的步驟有哪些？

第一步，分清命題的題設、結論.

第二步，畫圖.

第三步，結合圖形，寫出已知，求證.

已知：如圖3，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點分別為A、B.

求證：PA=PB，∠OPA=∠OPB.

第四步，寫出證明過程.

讓學生在探究的過程中體驗數學活動充滿著探索性和創造性，感受證明的必要性，證明過程的嚴謹性及結論的確定性，使學生的直觀操作與邏輯推理有機地整合到一起.可以看出，設置探究性的問題，可以引導學生理解已知與未知、簡單與復雜、特殊與一般在一定條件下可以轉化的數學思想方法，培養學生把未知轉化為已知，把復雜問題轉化為簡單問題，把一般問題轉化為特殊問題的能力.

圖4

3.應用環節，體驗成功

已知：如圖4，AC是⊙O的直徑，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點分別為A、B.求：

（1）若OP=10，⊙O的半徑為6，則PA=______，PB=______.

（2）若OA=4，OP=8，則∠APO=____，∠APB=____，∠CAB=___.

問題9：在圖4中連接AB，不難發現∠APO=∠CAB，這個結論是否具有一般性？

在本段的教學中，教師注意突出性質的探究過程，重視學生主體地位的落實，讓學生通過自主學習，合作探究，經歷觀察、猜想、分析、驗證、交流等基本數學活動，探索切線長性質，從而品嘗了發現所帶來的快樂，培養學生思維的完整性和深刻性.

4.小結提煉，反思提升

課堂小結時，讓學生暢所欲言，談談這節課的收獲是什么.教師進行補充、總結，為下節課做好鋪墊.教師引導學生總結：

（1）知識價值：切線長定理；

（2）模型化思想：證明命題的基本步驟及數學建模能力（基本圖形）；

（3）數學思維及思想方法：從具體到抽象，從直觀、合情推理到嚴密邏輯推理的思維過程，使學生體會數學發展的過程及數形結合的數學思想，從特殊到一般、分類與整合等.

接下來可以通過反思和圖示（如圖5）來檢驗目標的達成程度：

圖5

三、對于認知學習取向的再思考

1.認知學習取向的原則和定位

進行認知學習一定要注意原則和標準.在整節課中，學生對教師創設的問題很感興趣，他們積極思考、主動探究，踴躍回答問題.通過分組討論、上臺展示、師生交流、生生交流使思維碰撞出火花，生成了一些新的思路.學生的表現超出了筆者的預期，整節課在輕松愉悅的環境下完成學習目標，這其實就是對認知學習取向的一種肯定.在活動中，教師拋出開放性問題后，學生通過自主探究、小組交流，發現了很多有用的結論，全班同學積極發言，都迫切希望上臺展示，但是由于時間關系，以及本節課重點是探究、證明切線長定理，因此沒能夠讓學生充分展示自己的結論，雖然有所遺憾，但能夠讓學生進一步思考也是一種極大的成功.

2.關于課堂的評價與思考

認知學習理論十分重視對課堂的評價.在教師評價時，首先，關注學生的參與程度和思維水平，關注學生對基本知識的掌握情況，以及解決實際問題的意識和能力；其次，在教學過程中尊重學生的個體差異，對于學生的不同思維方式，只要合理都應給予鼓勵和肯定，幫助學生樹立學習數學的自信，充分發揮學生的評價能力，培養學生的集體榮譽感.同時為學生提供生生評價的平臺，讓學生之間學會質疑，學會互相欣賞、學習和借鑒.從教學設計上看，筆者以生活中熟悉的幾何圖形——五糧液東大門為引入，激發學生的興趣，喚起他們的好奇心與求知欲，激發學生的探究欲望.畫一畫、折一折、證一證等3個活動環環相扣，設置層層深入的問題把學生的思考逐步引向深入.通過“觀察—猜想—探究—證明—應用”五步教學法的形式研究有規律性的這類數學問題的教學，較好地達成教學目標，同時也充分體現新課程的教學理念.在活動2、活動3的交流過程中，學生的思維展現得淋漓盡致，讓學生充分體驗到了學習的成功喜悅.教師采取不斷追問的方式，激起學生思維的火花，潛移默化地培養學生嚴密的邏輯推理能力.與此同時，通過歸納小結和方法提煉環節，讓學生進一步內化了本節課的知識和方法，從而進一步培養了學生的數學建模能力與動手操作能力，讓學生體會數形結合的數學思想，盡而達到培養學生嚴密的演繹推理能力和思維能力的目標.H