例談柯西不等式的實踐運用

☉江蘇省宜興市和橋高級中學　錢　琳

例談柯西不等式的實踐運用

☉江蘇省宜興市和橋高級中學錢琳

不等式是中學數(shù)學的難點，更是競賽數(shù)學的重點.在教材中，基本不等式屬于必須要求掌握的最簡單的不等式，除此之外，如柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等在數(shù)學中有著極為巧妙的運用，利用這些不等式能夠巧妙地解決很多其他相關的知識，體現(xiàn)了不等式的重要價值.

柯西不等式和基本不等式類似，其是不等式初學者必須要掌握的，可以這么說，基本不等式與柯西不等式其本質是一致的，但柯西不等式的形式化程度更高.n維柯西不等式：設a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，則，當且僅當bi=0（i=1，2，…，n）或存在一個數(shù)k，使得ai=kbi（i=1，2，…，n）時，該不等式的等號成立.

它有兩個重要推論：

柯西不等式是選修教材的新增內(nèi)容，對于高考不等式難題有著巧妙的解決，更對競賽中的不等式有著較大的指導作用，是經(jīng)典不等式之一，其實踐運用在很多內(nèi)容中均有體現(xiàn).

一、運用“=”號成立條件巧解不等式

評注：設向量a=（a1，a2，…，an），b=（b1，b2，…，bn），則柯西不等式等號成立的充要條件是向量a與b共線，即b= 0，或當b≠0時，存在唯一實數(shù)k，使得a=kb（特別地，當b1，b2，…，bn都不為0時，該充要條件就是當n=2時，該充要條件就是a1b2=a2b1）.

二、巧求函數(shù)的最值

例3設a，b，c，d，e，f∈R，且a2+b2+c2=1，d2+e2+f2=2，若p≤ad+be+cf≤q恒成立，求實數(shù)p，q的取值范圍.

評注：求解“例3”的關鍵是：發(fā)現(xiàn)運用柯西不等式的“推論①”可求ad+be+cf的最小值和最大值，方能巧妙達到求解參數(shù)的取值范圍之目的.特別注意“例3”的常見錯解為，從而（ad+導致這種錯誤的原因是沒有考查該不等式的等號能否成立.實際上，當且僅當該不等式的等號成立.由于該方程組無解，從而該不等式的等號不能成立，因此

三、巧證不等式

例4設△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其外接圓半徑為R.

評注：求解“例4”的關鍵是：正弦定理與柯西不等式完美結合，柯西不等式使用還需要一定的湊形.

證明：因為a，b，c>0，由柯西不等式可得2（a+b+c）·

b=c時，該不等式的等號成立.

評注：求解“例5”的關鍵是：發(fā)現(xiàn)（a+b）+（b+c）+（c+ a）=2（a+b+c）.

四、巧用柯西不等式求值

例6設a，b，c，x，y，z都是正數(shù)，且a2+b2+c2=10，x2+ y2+z2=40，ax+by+cz=20.則

解析：由柯西不等式得（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+ by+cz）2=202，等號成立當且僅當，即a2+b2+c2=k2（x2+y2+z2），即40k2=10，解得k=.又由等比定理得

評注：從問題條件出發(fā)，顯然具備柯西不等式的湊形，而條件卻以等號的形式出現(xiàn)，這自然是對等號成立條件的判斷使用成為解題關鍵.

五、利用柯西不等式求范圍

例7設x、y、z∈R，若（x-1）2+（y+2）2+z2=4，則3x-y-2z的范圍是多少？又3x-y-2z取最小值時，則x=？

解析：［（x-1）2+（y+2）2+z2］［32+（-1）2+（-2）2］≥（3x-

評注：柯西不等式使用常見步驟需要進行常數(shù)的湊配，這是非常典型的使用技巧，有了常數(shù)的湊配，不等式的使用相對容易找到所需結論.

六、利用柯西不等式巧解幾何問題

例8過△ABC內(nèi)一點O引三邊的平行線，DE∥BC，F(xiàn)G∥CA，HI∥AB，點D、E、F、G、H、I都在△ABC的邊上，S1表示六邊形DEFGHI的面積，S2表示△ABC的面積.求證

圖1　

設BC=a，CA=b，AB=c，IF=x，EH=y，GD=z，那么①式等價于

評注：求解此類問題關鍵在于等價轉化，將平面幾何問題用代數(shù)式子寫出來，再找出柯西不等式所要滿足的條件即可.

總之，柯西不等式是中學數(shù)學教材選修內(nèi)容補充的重要不等式，基本不等式其實可以看成是二維柯西不等式的二維特殊形態(tài).通過上述舉例，我們不難發(fā)現(xiàn)要掌握柯西不等式及其實踐運用，要關注下列幾點要求：（1）關注柯西不等式二維、三維形態(tài)，從簡單形式入手去理解和熟練這一重要不等式，文中例1、例2、例5都是其二維形態(tài)的使用，這是初學柯西不等式的基本要求；（2）從上述實踐問題，我們發(fā)現(xiàn)不等式使用的最終目的是為解決最值，而最值取到的重要條件自然是等號成立的時刻，因此柯西不等式學習的另一關鍵是如何獲取等號成立的條件并時時刻刻注意對其正確性的檢驗，利用等號成立的條件，柯西不等式解決了函數(shù)最值、求值、解方程等一系列其他相關知識，體現(xiàn)了知識使用的廣闊性；（3）從柯西不等式使用的廣闊性，我們不難發(fā)現(xiàn)任何重要的數(shù)學知識都不是孤立的、單一的存在著，其必定與很多相關知識具備著聯(lián)系，教師的作用在于幫助學生挖掘知識的聯(lián)系性，將單一的知識運用到各種不同情境的問題、知識背景中，使知識的使用呈現(xiàn)多樣性.

1.羅增儒.數(shù)學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2002.

2.袁泉潤.柯西不等式教學的淺析［J］.數(shù)學通訊，2013（3）.

3.張玉萍.思想方法對于數(shù)學教學的重要性［J］.中國數(shù)學教育高中版，2013（7）.