例談導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的運用

☉江蘇省南京市高淳區(qū)濱湖高級中學(xué)　何秋霞

例談導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的運用

☉江蘇省南京市高淳區(qū)濱湖高級中學(xué)何秋霞

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一，而利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題，是近幾年高考考查的重點和熱點之一，也是學(xué)生感到比較棘手的一類問題.一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負關(guān)系如下：在某個區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f′（x）>0，那么函數(shù)y=f（x）在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；如果f′（x）=0恒成立，那么函數(shù)y=f（x）在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù).

運用1——討論函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性是高中數(shù)學(xué)非常重要的一種性質(zhì)，也是高考常考的一個知識點，特別是在新課程引入導(dǎo)數(shù)知識以后，它時常在壓軸題中出現(xiàn)，讓學(xué)生去討論函數(shù)的單調(diào)性，或者是求某個區(qū)間上的最值，而此時，往往會涉及到分類討論，這往往是學(xué)生的一個致命弱點：要么不討論、要么討論不完全、或者是標(biāo)準很亂.下面結(jié)合具體的例子，談?wù)勅绾翁幚磉@類問題.

案例1試討論函數(shù)f（x）=-ax3+（a-3）x在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)性.

這類問題的單調(diào)性毫無疑問要用導(dǎo)數(shù)來處理，進而求函數(shù)的零點，再判斷導(dǎo)數(shù)的符號，進而得到函數(shù)的單調(diào)性.

求導(dǎo)得f′（x）=-3ax2+（a-3）.

步驟1：看有沒有零點.

當(dāng)然，我們希望沒有零點，也就是首先討論沒有零點的情況，沒有零點可分為“沒有意義”和“無解兩種情況：

①當(dāng)a=0時，顯然方程f′（x）=0無解，此時f′（x）<0在區(qū)間（-1，1）上恒成立，所以函數(shù)f（x）=-ax3+（a-3）x在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減.

②當(dāng)0

步驟2：看幾個零點.

當(dāng)導(dǎo)函數(shù)有零點時，要關(guān)心導(dǎo)函數(shù)有幾個零點，特別是導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)能因式分解且不能比較大小時，學(xué)生很容易不假思索地看做兩個而出現(xiàn)錯誤.

③當(dāng)a=3時，令f′（x）=0，得x=0，此時f′（x）<0在區(qū)間（-1，1）上恒成立，所以函數(shù)f（x）=-ax3+（a-3）x在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減.

步驟3：判斷零點大小.

當(dāng)導(dǎo)函數(shù)有多個零點時，且不能判斷大小時，要討論零點之間的大小關(guān)系，這也是學(xué)生很容易出錯的一個地方.

由于這個問題中兩個零點之間可以確定大小關(guān)系，因此無須討論.

步驟4：看零點在不在所在區(qū)間.

要判斷所求得的零點是否在所討論的區(qū)間內(nèi)，我們先討論零點不在區(qū)間內(nèi)的情況，再討論零點落在區(qū)間內(nèi)的情況.

④當(dāng)a>3或a<0時，此時導(dǎo)函數(shù)有兩個零點，而單調(diào)性討論的區(qū)間為（0，1），因此，此時要注意零點是否在我們所要討論的范圍內(nèi)，具體的說是：此時還要對參數(shù)a的范圍進行細化：

a.當(dāng)a>3時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，x0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（x0，1）上單調(diào)遞減；

根據(jù)以上規(guī)則制定分類討論標(biāo)準或討論順序可以很順暢地解決問題，也可以不重不漏地討論所有要討論的情況.可以說是用導(dǎo)數(shù)解決含參數(shù)函數(shù)問題在制定分類討論標(biāo)準的萬能法寶.

運用2——在函數(shù)圖像題中的運用

案例2函數(shù)y=f（x）的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，且它的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖像是如圖1所示的一條直線，則函數(shù)y=f（x）的圖像不經(jīng)過第______象限.

運用3——應(yīng)用單調(diào)性求參數(shù)范圍

解決此類問題的依據(jù)是：一般地，可導(dǎo)函數(shù)f（x）在某個區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增（或減）的充要條件是：

（1）?x∈（a，b），都有f′（x）≥0；

（2）在區(qū)間（a，b）的任何子區(qū)間上，f′（x）不恒為0.

案例3已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+x+1（a∈R）在區(qū)間）內(nèi)是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

解析：f′（x）=3x2+2ax+1.

本題還有其他解法，但轉(zhuǎn)化為不等式恒成立更易于理解，且運算量小，但需注意的是要對等號驗證，否則易產(chǎn)生錯解.

變式2已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+x+1（a∈R）在區(qū)間）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍.

解析：f′（x）=3x2+2ax+1.

故g（x）min=

變式3已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+x+1（a∈R）在區(qū)間）內(nèi)不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍.

解析：f′（x）=3x2+2ax+1.

因為函數(shù)f（x）=x3+ax2+x+1（a∈R）在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間

由f′（x）=3x2+2ax+1=0，得

由函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可以利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，將其轉(zhuǎn)化為“不等式恒成立”問題，也可以利用函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想，將其轉(zhuǎn)化為“函數(shù)圖像的交點”問題.

運用4——導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、解析幾何等知識的交匯與綜合作為高考命題的一個方向，充分考查了學(xué)生綜合分析問題、解決問題的能力.

證明：設(shè)h（x）=x3-x2+ln（x+1）（x>0），則h′（x）=3x2-2x+>0在x>0上恒成立.

所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故當(dāng)x∈（0，+∞）時，恒有h（x）>h（0）=0，即x3-x2+ln（x+1）>0，所以ln（x+1）> x2-x3.對任意的正整數(shù)n，取

由此可得求解此類不等式證明題的步驟：

（1）通過審題，關(guān)鍵是構(gòu)造出合理的函數(shù)；

（2）對函數(shù)求導(dǎo)，分析在定義域內(nèi)的單調(diào)性、極值性、最值性，得到與結(jié)論相近或相似的不等式或某結(jié)論；

（3）通過具體數(shù)值代入上式所得結(jié)論即可.