例說數學思想在高中數學解題中的運用

☉江蘇省泰興市第四高級中學　肖雪平

例說數學思想在高中數學解題中的運用

☉江蘇省泰興市第四高級中學肖雪平

函數是高中數學中的重要內容，高中數學大部分章節都涉及函數或函數思想方法，是高中數學的一條主線.縱觀中學數學，可謂是以函數為中心，以函數為綱，“綱舉目張”，抓住了函數這個“綱”就帶動起了中學數學的“目”.即使對函數極限、導數的研究，也完全是以函數為對象、為中心的.熟練掌握基本初等函數的圖像和性質，是應用函數與方程思想解題的基礎.善于根據題意構造、抽象出函數關系式是用函數思想解題的關鍵.在教學中，若能根據題設特點，靈活地運用相應的數學思想，往往能化難為易，化繁為簡，從而優化解題過程，達到培養思維的目的.

一、方程思想

方程思想，就是分析數學問題中的變量間的等量關系，從而建立方程或方程組，通過解方程或方程組；或者運用方程的性質分析、轉化，使問題獲得解決.

例1已知數列｛an｝滿足an+2=an+1-an，a1=1，a2=2，求

解：記f（n）=an，則有f（n+2）=f（n+1）-f（n），對于函數f（x），若有f（x+2）=f（x+1）-f（x），則有f（x+3）=f（x+2）-f（x+ 1），將上面兩式相加，則有f（x+3）=-f（x），（*）即有f（x+6）= -f（x+3）=-（-f（x））=f（x），因此可知函數f（x）的周期為6，可知數列｛an｝的周期也為6，而且借助（*）可求得f（x）+ f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）+f（x+4）+f（x+5）=0，所以對于數列｛an｝，也有a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，所以S2013=a1+a2+a3=a1+a2+（a2-a1）=2a2=4.

點評：本題是通過對數列的各項之間的規律的探究，構造函數來發現周期性，并將周期性運用到數列前n項和的求解中，使得求解直觀而且簡便，這體現了函數思想的在數列求解問題中的作用，根據題設條件靈活地構建方程是解決本題的關鍵.

二、化歸與轉化思想

化歸與轉化思想是數學中最基本的思想方法，是指在解決問題時，采用某種手段使之轉化，進而使問題得到解決的一種解題策略，是數學學科的一個特有的思想方法.化歸與轉化思想的核心是把生題轉化為熟題，將復雜問題化歸為簡單問題，達到最終解決問題的目的.

例2若關于x的不等式（2x-1）2

分析：對不等式（2x-1）2

（一）代數法（解一次、二次不等式，研究解的個數）

方法1：由題意可知，a>0，

若a≥4，x有無數解，舍去；

當x=0時，x無解，舍去.

方法2：將不等式（2x-1）2

要使恰有3個整數解，

（二）幾何法（數形結合，用基本函數圖像研究解的個數）

方法3：設f（x）=（2x-1）2，g（x）=ax2.

當a=0時，y=g（x）表示x軸，舍去.

當a<0時，y=g（x）表示開口向下，對稱軸為y軸的二次函數圖像，舍去.

當a>0時，y=g（x）表示開口向上，對稱軸為y軸的二次函數圖像，由ax2>（2x-1）2，得g（x）>f（x），即恰有3個整數x值，使得g（x）的圖像在f（x）圖像的上方，

圖1　

方法4：研究不等式ax2>（2x-1）2.

當x=0時，不滿足，舍去.

圖2　

則g（3）

方法5：研究不等式ax2>（2x-1）2.

當x=0時，不滿足，舍去.

圖3　

方法6：研究不等式ax2>（2x-1）2.

由題意可知，a>0.

當x=0時，不滿足舍去.

圖4　

如圖4，

點評：對于代數法可以通過化歸，避免討論；對于幾何法更要通過化歸轉化為基本函數，并利用函數圖像解決問題.在方法3、4、5、6中，化歸程度層層遞進，化歸得越徹底，得到的基本函數圖像越容易，解答也就越簡單.函數不斷等價轉化的過程，正是數學思維力的體現.

化歸與轉化和數形結合是高中的重要思想方法，我們將陌生的函數轉化為熟悉的函數，將復雜的函數轉化為簡單的函數，然后通過研究基本函數圖像，找到解題的路徑.層層轉化，化繁為簡需要學生有扎實的基本功，敏銳的觀察力和解題時的一絲靈感.

三、分類與整合思想

根據數學本質屬性相同點和不同點，確定劃分標準進行分類，然后對每一類進行求解，科學合理的分類以互質、無漏、最簡為原則.

（1）求f（x）在［0，+∞）內的最小值；

（2）設曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=，求a，b的值.

解：（1）設t=ex（t≥1），

點評：本題是考查函數、導數的基礎知識，需要分類討論、化整為零，各個擊破從而求出答案.

四、數形結合思想

數形結合思想是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，與抽象思維結合起來，實現抽象概念與具體形象聯系和轉化.

例4f（x）為R上的奇函數且x∈［0，2］時，f（x）單調遞增，對x∈R有f（x+4）=-f（x），g（x）=m（m＞0），設f（x）= g（x）在［-8，8］上有四個根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4= ______.

解：作出f（x）在［-2，2］上的圖像，再由f（x+4）=-f（x）知，T=8.由f（x+2）=f（2-x）知，對稱軸x=2，作出f（x）在［2，6］上圖像，則得到f（x）在［-2，6］（在一個周期）內的圖

像，左、右平移得［-8，8］上的圖像如圖5所示.

圖5　

整個問題置于圖像中即為整體觀的運用，雖然x1，x2，x3，x4隨直線g（x）=m的移動存在變化性，但x1+x2=2×（-6），x3+x4=2×2則始終不變，故x1+x2+x3+x4=-8.

點評：本題若利用代數法是不可能求出α與β的值，從而不能求出α+β的值，而運用數形結合思想可以間接巧妙地求出α+β的值.

五、特殊與一般的思想

特殊性寓于普遍性之中，具體問題、具體分析，通過特例分析，往往能獲得解題的重要信息，達到減縮思維過程，降低推算難度的目的.

點評：考慮本題是選擇題，a、b是用字母表示的數，我們不妨用特殊值來研究，答案來得簡單.

總之，數學思想是從數學內容提煉出來的數學知識精髓.只有運用數學思想方法，考查函數概念、性質及導數等基礎知識，考查函數極值、函數單調性、零點，考查數形結合、分類討論等思想方法，才能使數學知識轉化為分析問題，解決問題的能力，才能體現數學學科特點，才能形成優秀數學素養.