四基為本方法為脈思想為魂
——“有關(guān)矩形的折疊問題”專題復(fù)習(xí)的教學(xué)設(shè)計

☉浙江省寧波市鄞州實驗中學(xué)蔡衛(wèi)兵

四基為本方法為脈思想為魂
——“有關(guān)矩形的折疊問題”專題復(fù)習(xí)的教學(xué)設(shè)計

☉浙江省寧波市鄞州實驗中學(xué)蔡衛(wèi)兵

“專題復(fù)習(xí)”是中考備考過程中教師們普遍采用的復(fù)習(xí)手段，也是中考復(fù)習(xí)備考的重要環(huán)節(jié).其核心教育價值不僅在于促進學(xué)生對數(shù)學(xué)思想認識的深化，更在于促進學(xué)生在數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗中的飛躍生長和發(fā)展.因此，在進入專題復(fù)習(xí)階段，專題的選編要以四基為本，回歸教材，突出重點，滲透考點，實現(xiàn)對知識的重新、有效的整合；要以方法為脈，串聯(lián)考點，變式引申，實現(xiàn)對通性通法的靈活掌握；要以思想為魂，類比聯(lián)想，推理運算，貫穿始終，實現(xiàn)對基本活動經(jīng)驗的積累，從中培養(yǎng)學(xué)生思考問題的靈活性、開拓性、多向性和創(chuàng)造性，收到以少勝多、事半功倍之效.本文以“有關(guān)矩形的折疊問題”專題復(fù)習(xí)的教學(xué)設(shè)計為例，談?wù)勅绾我渣c帶面，一圖多折，展開以一題多解、一題多變?yōu)橹饕问降挠?xùn)練，讓學(xué)生獲得感性知識、情感體驗和應(yīng)用意識等具有發(fā)展性的經(jīng)驗認識.

一、四基為本，揭示折疊本質(zhì)

問題1：如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=8，BC=6，將△ABD沿對角線BD折疊，使點A落在點E處，BE與CD交于點O，AE與BD交于點F，在折疊過程中你能得到什么結(jié)論？

圖1

生1：DE=DA，BE=BA，∠BED=90°，∠EDB=∠ADB，∠EBD=∠ABD.

師：根據(jù)折疊前后的兩個圖形是全等圖形可得到上面的直接結(jié)論.

生2：BD垂直平分AE.

師：很好地抓住折疊前后的對應(yīng)點關(guān)于折痕對稱，折疊的本質(zhì)就是軸對稱變換.

生3：△DOE≌△BOC，OE=OC，OD=OB；△ABF∽△DAF∽△DBA.

師：這是根據(jù)全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)得到的間接結(jié)論，通過簡單的邏輯推理而獲得.那你根據(jù)條件所給出的具體數(shù)據(jù)能計算出哪些量呢？

生4：矩形ABCD的周長和面積，△ABD的周長和面積，∠ABD的三角函數(shù)值，還有利用面積法求出AF=，利用相似三角形或銳角三角函數(shù)或勾股定理求出BF=，應(yīng)該是圖中所有線段的長都可以求出.

師：請說說線段OE的長如何計算？

生5：設(shè)OE=x，根據(jù)△DOE≌△BOC，可得OC=x，則OD=8-x，在Rt△DOE中，由勾股定理得x2+62=（8-x）2，解得x=.

師：很好地運用了方程的思想來解決問題，關(guān)于線段長度的計算經(jīng)常會放在直角三角形中利用勾股定理加以考慮.

生6：根據(jù)生5求得的結(jié)果進一步可求出△DOE、△BOC、△BOD的周長和面積.

師：很好，中考中有關(guān)折疊問題除了線段的計算還經(jīng)常會涉及圖形的周長和面積的計算，做了很好的遷移和推進，如果不求出線段OE的長，那么能否求出△DOE的周長呢？

生7：因為OE+OD=OC+OD=CD=8，所以O(shè)E+OD+DE= 14，即△DOE的周長為14.

師：很好地運用了符號化的換元思想和整體思想來解決問題.

評析：“四基”是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是發(fā)展數(shù)學(xué)能力的保證，沒有扎實的基礎(chǔ)，發(fā)展能力就成為空中樓閣、無源之水、無本之木.此題以對角線為折疊線設(shè)計一個開放性問題，讓學(xué)生體驗折疊前后的兩個圖形是全等的，理解折疊的本質(zhì)就是軸對稱變換.同時在凸顯圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系的過程中，復(fù)習(xí)回顧全等三角形、相似三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)等核心知識，進一步感悟方程思想、整體思想、模型思想等在解決幾何問題中的應(yīng)用.

二、方法為脈，探求通性通法

問題2：在矩形紙片ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD邊上一點，將△ABP沿BP折疊，使點A落在點E處.

師：如果不沿對角線折疊，新圖形中的未知線段是否還可以求出？請大家先思考當點E在CD邊上的情形，求AP的長.

圖2

生9（補充）：借助勾股定理所列方程，解起來比較麻煩.先證明△DEP∽△CBE，所以，即EP=

師：因為∠C=∠D=∠BEP=90°，這是一線三等角模型，很好地運用了模型思想來解決問題，關(guān)于線段長度的計算經(jīng)常會放在兩個相似三角形中利用對應(yīng)邊成比例加以分析.

生10（補充）：通過正弦函數(shù)建立線段之間的關(guān)系，因為∠DPE=∠CEB，所以sin∠DPE=sin∠CEB=，即，所以

師：事實上關(guān)于直角三角形問題，利用相似性質(zhì)得到的對應(yīng)線段成比例與利用三角函數(shù)得到的線段比例關(guān)系本質(zhì)上一樣的，相似與三角函數(shù)是溝通線段之間關(guān)系的重要工具，也是求線段長度的一種常用方法.

圖3

生11（補充）：因為點A與點E關(guān)于直線BP對稱，所以BP垂直平分AE（如圖3），易證∠DAE=∠ABP，所以Rt△ADE∽Rt△BAP，所以，即

生12（補充）：通過正切函數(shù)建立線段之間的關(guān)系，因為∠DAE=∠ABP，所以tan∠DAE=tan∠ABP，即，所以

師：若點E在BD邊上（如圖4），你還能求出AP的長嗎？

生13：（方法一）在Rt△DPE中，由勾股定理列方程可求出AP.

（方法二）借助相似基本圖形，由△DPE∽△DBA的對應(yīng)邊成比例可求出AP.

圖4

生14（補充）：面積法，由S=S+S得

△DAB△DPB△APB2，進而求出AP.

師：若點E在CD的上方（如圖5），PE與CD相交于點O，OE=OD，你還能求出AP的長嗎？

生15：因為OE=OD，∠D=∠E= 90°，∠DOP=∠EOF，所以△DOP≌△EOF，所以O(shè)P=OF，所以O(shè)P+OE=OF+OD，即PE=DF.設(shè)AP=x，則DF=PE=x，CF=8-x；EF=DP=6-x，BF=x+2.在Rt△CBF中，由勾股定理得（8-x）2+62=（2+x）2，解得x=.

圖5

評析：根據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律，以“問題串”的形式引導(dǎo)學(xué)生積極開展數(shù)學(xué)思維活動.從對角線為折疊線到過一頂點所在的直線為折疊線，從折疊后的落點在邊上到對角線上再到一般位置，觀察數(shù)量及數(shù)量間的關(guān)系、圖形及圖形間的關(guān)系，以及數(shù)量和圖形間的關(guān)系，通過“異中求同”或“異中觀同”來抓住本質(zhì)和共性，進一步挖掘折疊問題的內(nèi)在價值.在問題解決過程以尋找等量關(guān)系、滲透方程思想為一條清晰的主線，涉及的知識有勾股定理的應(yīng)用，通過三角函數(shù)值建立比例式，借力一線三等角模型、三垂直模型、母子相似模型尋找相似三角形，利用三角形面積法列方程求解，讓學(xué)生養(yǎng)成多角度去分析問題和解決問題的思維習(xí)慣，不斷提升學(xué)生的思維深度，逐漸形成能力.

三、思想為魂，拓展思維空間

問題3：如圖6，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，M、N分別為邊CD、AB上的點，將四邊形ADMN沿MN翻折至四邊形EFMN，點E在BC邊上，且BE=4，求DM的長.

圖6

圖7

師：這個問題的折疊線有什么特點？與上面有什么不同？

生16：折疊線的兩個端點在對邊上，這時要關(guān)注兩個頂點的落點，前面問題的折疊線的兩個端點在相鄰邊上，往往只需關(guān)注一個頂點的落點.

師：有關(guān)矩形折疊問題，折疊線有兩類，很好地運用了分類思想考慮問題，同時指出了這時應(yīng)要關(guān)注兩個頂點的落點，那你會先分析哪一個呢？

生17：因為點A落在BC邊上的點E處，這個位置比較特殊，而且這種情形上面已解決過，而點D的落點F比較一般，所以先分析點A及其落點E.

師：你是運用了特殊到一般的思想考慮問題，同時又將新的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，運用了轉(zhuǎn)化思想.那你能通過轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想方法解決這個問題嗎？

生18：在Rt△NEB中，根據(jù)勾股定理運用方程思想得NB=3，NE=5.設(shè)EF與CM交于點P（如圖7），根據(jù)一線三等角模型得△PCE∽△EBN，由此求得.再由△PMF∽△PEC，求得，所以DM=2.

師：真的太厲害了，轉(zhuǎn)化、類比思想能靈活運用，同時又結(jié)合方程思想和模型思想加以解決問題.大家繼續(xù)交流探究，還有其他解法嗎？

生19：同上得NB=3，NE=5，連接AM、EM（如圖7），設(shè)DM=x，則CM=8-x，在Rt△DMA中，由勾股定理得AM2= x2+36，在Rt△MCE中，由勾股定理得ME2=（8-x）2+4，根據(jù)MA=ME，得x2+36=（8-x）2+4，解得x=2.

生20：同上得NB=3，NE=5，連接AE，過點M作MH⊥AB于點H（如圖8），由三垂直模型得△MHN∽△ABE，所以，所以NH=3，AH=2，從而由矩形ADMH得 DM=AH=2.

圖8

圖9

生21：連接MA、ME、AE，過點M作MH⊥AB于點H（如圖8），在Rt△ABE中，由勾股定理求得，由三垂直模型得△MHN∽△ABE，所以，所以，NH=3.所以四邊形MANE的面積為MN·，由面積法得30，所以AN=5，AH=2，從而由矩形ADMH得DM=AH=2.

師：若將矩形放置在平面直角坐標系中，如圖9，矩形OBCD置于平面直角坐標系中，M、N分別為CD、AB上的點，將四邊形ODMN沿MN翻折至四邊形EFMN，已知點C（m，6），點E為（8，4），求DM的長.

生（眾）：此題與上題一模一樣，過點P作PQ垂直O(jiān)B，可將此題轉(zhuǎn)化為上題，連數(shù)據(jù)都一樣，所以可得DM=2.

評析：專題復(fù)習(xí)是一個經(jīng)歷從量變到質(zhì)變的快速累計階段，在思想上應(yīng)突出關(guān)注.數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識更抽象，思想方法的教學(xué)是一種數(shù)學(xué)活動的過程，重在領(lǐng)會應(yīng)用，學(xué)生的參與顯得尤其重要.此題的設(shè)計在前面的基礎(chǔ)上，將問題背景復(fù)雜化，折疊線的兩個端點在對邊上，從而將三角形翻折變化到四邊形翻折，從關(guān)注一個落點到考慮兩個落點，在理解題意中體驗折疊線與落點的分類思想，在尋找突破口，確定思維起點中感受轉(zhuǎn)化思想、特殊到一般思想，在明晰思路、解決問題中領(lǐng)悟幾何直觀、模型思想、方程思想、類比思想，在問題變式中運用轉(zhuǎn)化思想，將數(shù)學(xué)思維方式融合到對具體問題的探究之中.

專題復(fù)習(xí)課的難點多、運用的數(shù)學(xué)思想方法多，而如何將解決問題的策略與思想方法讓學(xué)生領(lǐng)悟到，這是教學(xué)的難點；如何做到既能全面系統(tǒng)地復(fù)習(xí)，又能提高學(xué)生的綜合能力是值得探究的問題.所以，在選題設(shè)計上，尋找和挖掘問題內(nèi)涵是關(guān)鍵，注重方法串聯(lián)的題組學(xué)習(xí)，強調(diào)數(shù)學(xué)思想的主體突出；在講題實施上，在特殊處思考，找到解題的切入點，發(fā)展從特殊到一般的歸納思維經(jīng)驗，以及識別基本模型的轉(zhuǎn)換思維，教師應(yīng)注意對問題的結(jié)構(gòu)思考，在問題變式中完善經(jīng)驗.以“四基為本，方法為脈，思想為魂”的專題復(fù)習(xí)，可使學(xué)生在獲得較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識的同時，學(xué)會思維策略，進而培養(yǎng)學(xué)生靈活運用知識去解決綜合問題的能力.

1.劉安清.如何讓中考專題復(fù)習(xí)更“專”［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2015（12）.

2.劉永東.談2015年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2015（12）.

3.朱建良.折在關(guān)鍵疊在本質(zhì)——折紙問題的探究性教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（5）.

4.商慶平.讓數(shù)學(xué)基本思想與基本活動經(jīng)驗生長在學(xué)習(xí)支架上［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2013（3）.H