一次函數應用題的教學手記與命題思考

☉江蘇省蘇州工業園區青劍湖學校石亞軍

一次函數應用題的教學手記與命題思考

☉江蘇省蘇州工業園區青劍湖學校石亞軍

近期教學一次函數，幾本練習冊上大量引用各地所謂的中考原題，由于中考原題在全卷中承載著很多考查功能，所以將有些中考題簡單下放到新授期間來直接練習有時并不恰當.近期我們教學過程中遇到兩道較為流行的中考一次函數應用題，教與學過程中引發一些思考，本文先簡述這兩道試題的思路，并對相關考題給出商榷與變式改編，提供研討.

一、兩道一次函數應用題的教學記錄

考題1（2014年黑龍江綏化中考第23題）在一條筆直的公路旁依次有A、B、C三個村莊，甲、乙兩人同時分別從A、B兩村出發，甲騎摩托車、乙騎電動車沿公路勻速駛向C村，最終到達C村.設甲、乙兩人到C村的距離y1、y2（km）與行駛時間x（h）之間的函數關系如圖1所示，請回答下列問題.

（1）A、C兩村間的距離為________km，a＝________；

（2）求出圖中點P的坐標，并解釋該點坐標所表示的實際意義；

（3）乙在行駛過程中，何時距甲10km？

圖1

思路簡述與教學困惑：前兩問沒有什么爭議，答案分別是：（1）120，2（.2）兩人經過1小時相遇，且距離C村為60km.但是第（3）問有學生給出兩個情況，即乙在行駛（h）或（h）時與甲相距10km，有學生認為還應該考慮（h）與甲相距10km的情況，即當甲到達目的地后乙還在行程中，這時也可能與甲相距10km.有些學生認為，甲到達乙地后，會有很多可以想象的情況，比如乙村莊是一個多大的范圍？甲到達乙村后就留在原地靜止不動嗎？面對這些疑問和想象，確實教者無法回答，不知當初預設這道考題的命題組專家是否預見到這類“想象”與可能的思考呢？反正筆者面對學生這樣的質疑，只能是如同“兩小兒辨日”一樣，無法應答.

考題2（2015年浙江麗水市某校初二期末模考題）某電視臺攝制組乘船往返于A、B兩個碼頭，在A、B間設立拍攝中心C，拍攝景色.往返過程中，船在C、B處均不停留，離開碼頭A的距離s（km）與航行的時間t（h）之間的函數關系如圖2所示.根據圖像提供的信息，解答下列問題.

（1）船從碼頭A→B，航行的時間為______h、航行的速度為______km/h；船從碼頭B→A，航行的時間為______h、航行的速度為______km/h.

（2）若拍攝中心C設在離A碼頭25km處，攝制組在拍攝中心C分兩組行動，一組乘橡皮艇漂流而下，另一組乘船到達碼頭B后，立即返回.

①求船往返C、B兩處所用的時間；

②兩組在途中相遇，相遇時船離拍攝中心C的距離為______km.

圖2

思路簡述與教學困惑：第（1）問并不復雜，大多數學生都能順利解答.但是第（1）問掩蓋著問題生活背景之后的一些隱含條件：船在靜水中的速度是20km/h，水流速度是5km/h.而這些隱含條件在后續問題的探究中將成為重要起點.

比如，筆者曾使用如圖3所示的PPT，通過漸次呈現的動畫功能出現各個必要的輔助思想的信息，但效果還是很明顯，包括一些數學優秀的學生仍然認為橡皮艇漂流的速度為什么是一定是5km/h？少數學生在外出旅游時曾參加過一些漂流項目，知道漂流往往是游船在人力劃槳或撐篙情況下的一種漂流項目，這也導致學生理解漂流的情境出現障礙.

圖3

后來，為了追求更多的學生能理解難點，筆者又重新構思了如圖4這樣的簡化圖形，也就是在圖3的基礎上，設點G處為原點，重新設出橫軸、縱軸，船只行駛離開拍攝中心C的距離s（km）與航行的時間t（h）的函數圖像，如圖4，這樣過點G的射線（正比例函數s=5t）可視為漂流的橡皮艇的圖像.

圖4

經過前后兩次解讀、展示不同的思考，不少學生表示理解了，并且他們認為難點不是圖像的理解，而是糾結橡皮艇的速度與水流速度之間沒有對應上去.

二、函數應用問題的命題與教學思考

眾所周知，數學來源于生活，服務于生活.然而如何源于生活，恐怕沒有多少人能說得清，連那么多的數學家在相關著作中，對人類更早期的不同民族的數學探究也沒有精確的描述，缺少必要的史料佐證.再說數學服務于生活，如何服務生活、貼近生活呢？不同的數學家也有不同的表述，再從數學的后續發展來看，作為應用方向會產生很多數學分支.所以，初中階段對函數的應用問題的命題與教學，筆者提出如下思考.

1.問題背景追求簡潔好懂，杜絕歧義理解

當前有些地區對應用問題的考查常常追求貼近本地區生活實際，從報刊、新聞中摘引大段的生活背景，考查學生從繁雜生活背景中解讀出數學信息，并選取相應的數學工具來解決問題，這樣的考查目的對于考查數學建模思想有一定的好處，是其積極的一面.然而對于目前中考高利害的現實背景之下，這樣的大容量的閱讀問題也是值得商榷的，因為學生除了這類應用問題要投入較多的時間成本答題，還有很多題量的考題需要思考，這對于惜時如金的考場上來說，在閱讀量方面做出過多、過高的要求，我們認為值得商榷.從上文中“考題2”來看，熟悉近十年考題的同行應該知道，“考題2”相對于浙江麗水中考原題來說，已“瘦身”不少，然而閱讀量還是很大，且有理解上的障礙與歧義，或者與部分學生生活經驗沖突，使得考題的內容效度不高.對比來看，國際上大學生歷年都會有所謂的數學建模大賽，往往一道生活問題，給大學生團隊（5人左右）一周的時間提交解決方案.這樣來看，考題中的生活問題的命題需要十分慎重，“結構不良”的試題慎用.

2.鉆研教材應用問題表述，倡導變式改編

對于應用問題的考查，我們認為認真鉆研教材上的應用問題的表述，并做適當的變式改編作為各級考試的要求是恰當的.根據教學經驗，學生如果能掌握教學上提供的不同類型的應用問題，則他們在函數應用問題的課標要求也基本達到了.筆者常常見到不少應用問題的考查在結合本地區生活情境的同時，也離開了教材上的規范、恰當的表述和呈現，使得問題的呈現出現背景不公平，不同考生理解偏差現象.這些結構不良的應用問題作為課題學習，可以在平時教學活動開展討論對話，但作為試題考查，需要謹慎打磨.

3.引導學生準確理解情境，防止鉆牛角尖

比如“考題1”問題背景取材于教材，然而人為增設了所謂相距10km的考查要求，本意是想考查分類討論思想，但是卻出現一些思考上的分歧.一方面命題組要盡可能避免這類理解上的分歧，另一方面，平時解題教學時，也要注意引導學生準確理解題意，防止鉆牛角尖，比如考題2對于漂流的理解，考生不能根據自己旅游時參加的一些個性化漂流項目的體驗來對應考題中的理想化的數學問題.

三、命題打磨與改編

作為文末，我們對兩道考題給出自己的打磨意見和改編，提供思考：

考題1（改編第3問）：甲在行駛過程中，何時距乙10km？

考題2：（題干不變，節約篇幅，只給出變式問題）

（1）求圖2中線段DF對應的函數關系式；

（2）水流速度是多少？

（3）若拍攝中心C設在離A碼頭25km處，攝制組在拍攝中心C分兩組行動，一組乘橡皮艇順著水流速度漂流而下，另一組乘船到達碼頭B后，立即返回，返回途中遇到乘橡皮艇小組，此時他們離拍攝中心C的距離是多少？

1.羅增儒.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2008.

2.【美】波利亞，著.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.H