精心設計下的“別有洞天”
——江蘇省初中數學優質課的親歷及感悟

☉南師大附中新城初中怡康街校區李明順☉南師大附中新城初中何君青

精心設計下的“別有洞天”
——江蘇省初中數學優質課的親歷及感悟

☉南師大附中新城初中怡康街校區李明順
☉南師大附中新城初中何君青

2015年11月，江蘇省中小學教學研究室在淮安清江中學舉辦了江蘇省2015年初中數學優質課評比活動，筆者有幸代表南京市參加比賽，榮獲一等獎，在此過程中有頗多感悟和收獲，故撰文與同行交流.

一、教學分析

本節教學內容選自江蘇科學技術出版社義務教育教科書《數學（八年級上冊）》第五章第一節“平面直角坐標系”.平面直角坐標系是在數軸的基礎上發展起來的，它使點與數的關系從一維過渡到二維，使有序實數對與平面內的點建立了一一對應的關系，架起了“數”與“形”之間聯系的橋梁.

在平面直角坐標系的相關概念得出時，很多教師這樣操作：通過生活情境中的十字路口直接抽象出平面直角坐標系的模型，或者通過用實數表示數軸上的點過渡到平面內的點的表示方式.此處的做法，確實可以抽象出平面直角坐標系的概念，但教師“拋”的痕跡過重，學生的體會不深，更多的是一種感性的認識、粗淺的了解，不會真正理解建立平面直角坐標系的必要性.

在歸納坐標平面內的點與有序實數對一一對應的關系時，大部分教師都直接問兩個問題：“在平面直角坐標系中，用有序實數對（a，b）描述一個點的位置，如果將這點記為點P，那么它的位置如何確定？”和“如果Q是平面直角坐標系中的一點，你能確定與它相對應的有序實數對嗎？”，稍微好一點的老師會作一些鋪墊，通過特殊到一般的過程讓學生慢慢理解.此處的做法生硬、難懂，機械的訓練，不會讓學生感受到學習的樂趣，不會讓學生認識到探索問題時的方法和策略，更不會讓學生真正理解一一對應所蘊含的本質特征.

在得到象限的概念和歸納象限內的點的坐標的特點時，很多教師都會直接給出象限的概念，再通過幾何畫板拖動平面上一點的位置，讓學生觀察該點的坐標的變化后問：每個象限內的點的坐標的特點是什么？此處的做法真的是多媒體輔助教學好的例子嗎？難道就不會限制學生思維的發展嗎？難道在學生每次自主探索數學問題時都有幾何畫板作為工具嗎？

基于上述考慮，筆者在設計本節課時，情境從學生熟悉的問題入手，讓學生一開始“摸得到，看得著”，接著通過描述點P的位置體會建立平面直角坐標系的必要性，接著對其進行深入研究，通過從特殊到一般、具體到抽象的過程，體會建立平面直角坐標系后平面內的點與有序實數對一一對應的關系，繼而將例題、活動中研究的所有點放在一起再次研究得出象限的概念及每個象限內的點的坐標的特點，最終達到經驗的遷移、能力的提升.

二、教學片段

片段1：開篇情境，滲透對應

師：同學們，今天老師第一次給大家上課，對大家并不熟悉，如果課堂上我想有針對性地請某位同學回答問題，你能幫老師設計一個簡單、可行的辦法嗎？例如我想請這位帥氣的男生回答問題.

生1：可以說他的位置，例如第三列第二排.

師：（轉向那個帥氣的男生）你同意我這樣叫你嗎？

生2：同意.

師：能用一種簡單的方式記錄嗎？

生3：（3，2）.

師：其實，這樣的形式小學時就學過，當時稱為數對，逗號能省略不寫嗎？

眾生：不能.

師：兩個數的順序能交換嗎？

眾生：也不能.

師：為什么？

生4：因為交換位置，就表示第二列第三排了.

師：確實，它是有順序的，數學上將這樣有順序的數對稱為有序實數對.現在我報一對有序實數，能有一個同學站起來嗎？（5，4）.

生5：是我！

師：（3，5）.

生6：是我！

師：看來，教室里有一個對應的關系！

分析：一改慣用的復習舊知識、引入新課的手法，從學生熟悉的生活實際出發，設計一個引人入勝的生活情境，讓學生獲得成功的經驗，消除剛上課的不適應感，并對小學曾經學過的數對加深認識，提出有序實數對的概念，通過報數對讓學生站起來的過程，使學生感受教室里存在著一個對應的關系，但生活情境又不過多地加以研究，適可而止，不讓生活沖淡數學，為接下來建立平面直角坐標系、發現平面內的點與有序實數對一一對應作鋪墊.

片段2：連貫活動，體會對應

活動一

師：將具體問題抽象成數學問題，你能描述點P所在的位置嗎？（如圖1，為了讓同學看得更直觀，老師在黑板上制作一個類似的模型）

圖1

生7：右上方.

師：能理解這3個字的請舉手.（部分學生舉手）能幫我解釋一下，所謂的右是什么？所謂的上是什么？

生8：要在黑板上先畫兩條直線，一條水平直線，一條垂直直線.

師：（根據學生的描述畫出兩條相互垂直的直線）有了這兩條線作為參照，右上方好理解了，但右上方的點只有這一個嗎？

生：不是.

師：你能更精確地描述點P所在的位置嗎？

生9：在兩條直線上標上刻度，再過點P作兩條直線的垂線，是有序實數對表示.

師：（根據學生的描述進行相應的操作）能描述點P所在的精確位置嗎？

生10：（3，2）.

師：再給你一點Q（課前在黑板上確定好大概位置，使P、Q兩點關于鉛直直線對稱），你能精確地描述點Q所在的位置嗎？

生11：和之前一樣的方法，（教師操作完成后）可以記為（-3，2）.

師：（繼續追問）（-3，2）？這里的-3從何而來？

生11：將左邊記為負數，不就是-3了？

師：（繼續追問）靈感從何而來？

生11：數軸.

師：非常好，有了這個參照物，就能精確地描述點P和Q的位置了，觀察一下，說說你對這個參照物的認識.

生12：它由兩條數軸組成，而且是垂直的.

師：觀察的很仔細，有了它就可以統一管理平面內的所有點了，數學上將其稱為平面直角坐標系，今天就來學習它.（之后介紹平面直角坐標系相關概念）

分析：將具體問題抽象成數學問題，生活的經驗讓學生能很快地回答，通過教師一步一步的追問，讓學生體會到建立參照物（平面直角坐標系）描述點P的位置的必要性，再通過點Q的追問，構建出平面直角坐標系的雛形，通過“提出問題—構建參照物—說一說對參照物的認識”的過程，讓學生親身經歷概念形成的全過程，感受數學概念形成的自然性與合理性，加深學生對平面直角坐標系概念的理解.

活動二

師：現在給你一點A（在黑板上任意點出一點），你能精確地描述它所在的位置嗎？

生13：（-2，-3）.

師：（繼續追問）為什么？

生13：過點A分別作x軸、y軸的垂線，將垂足對應的實數組合起來形成一對有序實數，所以是（-2，-3）.

師：再給出一點B，請你精確地描述它所在的位置.

生14：（1，-2）.類似地，過點B分別作x軸、y軸的垂線，將垂足對應的實數組合起來形成一對有序實數，所以是（1，-2）.

師：若我殘忍地將平面直角坐標系擦掉，請看幻燈片（幻燈片和黑板上的點的位置一樣，但瞬間幻燈片上的平面直角坐標系消失了），對于這四個點，還能像之前一樣精確地描述它們所在的位置嗎？

生：不能.

師：看來，平面直角坐標系真的很偉大，沒有它，點只不過是一個普通的點，有了它就不一樣了，還是將它復原回來吧，想一想，平面直角坐標系到底起到了什么作用？

生15：有平面直角坐標系就好描述位置了.

師：（繼續追問）描述什么的位置？

生15：點.

師：（繼續追問）用什么描述的？

生15：有序實數對.

師：也就是說，有平面直角坐標系平面內的點就能用有序實數對表示了（將其記錄在黑板上）.

分析：第一個點的作用：既可幫助學生鞏固之前的描述方法，又是用有序實數對表示點的開始，第二個點的作用是讓學生鞏固用有序實數對來表示點.教師配合幽默的語言，擦掉平面直角坐標系和復原平面直角坐標系的過程，讓學生迅速感知到建立平面直角坐標系后，平面內的點可以用有序實數對來表示.

師：再給出一點C，你能寫出與它相對應的有序實數對嗎？

生16：（3，-1）.

師：更一般地，如果Q是平面直角坐標系中的一點，你能確定與它相對應的有序實數對嗎？

生17：過點Q分別作x軸、y軸的垂線，將垂足對應的實數組合起來形成一對有序實數.

分析：此處的問法和之前不同，從“你能精確地描述它的位置嗎？”轉換成“寫出與它相對應的有序實數對”，上升到規范的語言，進一步讓學生掌握在平面直角坐標系中由點的位置寫出與它相對應的有序實數對的方法.

師：反過來，又會怎么樣呢？帶著疑問一起研究.若給出一對有序實數（3，2），你能在平面直角坐標系中，確定一個與它相對應的點D嗎？

生18：（上黑板畫好后再回答）過x軸上表示3的點畫x軸的垂線，再過y軸上表示2的點畫y軸的垂線，兩條垂線的交點即為點D.

師：看一看，是不是和P點重合了（學生點頭），看來數對（3，2）確定了，畫出的點是一樣的.再給出一對有序實數（-2，4），你能在平面直角坐標系中，確定一個與它相對應的點E嗎？

生19：過x軸上表示-2的點畫x軸的垂線，再過y軸上表示4的點畫y軸的垂線，兩條垂線的交點即為點E.

師：通過這個活動，你發現了什么問題？

生20：有了平面直角坐標系后，一對有序實數可以確定一個點的位置.

師：看來之前的疑問解決了，更一般地，在平面直角坐標系中，用有序實數對（a，b）描述一個點的位置，如果將這點記為點P，那么它的位置如何確定？

生21：過x軸上表示實數a的點畫x軸的垂線，再過y軸上表示實數b的點畫y軸的垂線，兩條垂線的交點即為點P.

分析：話鋒一轉，研究新問題，由于學生首次接觸在平面直角坐標系中根據有序實數對畫點，故需進行適當的鋪墊，讓學生經歷由特殊到一般、具體到抽象的過程，使學生初步感知到建立平面直角坐標系后，一對有序實數可以確定一個點的位置.

活動三

師：回顧整個過程，一共總結出了兩句話，你能合起來說一遍嗎？

生22：在平面直角坐標系中，一對有序實數可以確定一個點的位置；反過來，任意一點的位置都可以用一對有序實數來表示.簡單點說就是建立平面直角坐標系后，平面內的點與有序實數對一一對應.

師：非常好.（介紹坐標的概念）

【設計意圖】通過之前環環相扣的聯系，快速讓學生歸納出一一對應的概念，而且十分自然，學生也有很深刻的理解，徹底攻破本節課的難點.

片段3：活動串聯，產生新知

師：運用一下，做個例題：在平面直角坐標系中，

（1）畫出點F（3，1）、G（0，-4）；

（2）寫出點M、N的坐標.

圖2

師：將活動和例題中的11個點放在一起來研究（活動和例題的點都在研究的過程中在黑板上呈現出來），你可以給這些點分分類嗎？

生23：可以按照右上方的點、右下方的點、左上方的點、左下方的點、坐標軸上的點將其分類.

師：看來需要給這幾個區域起個名稱了，叫起來才更方便.兩條坐標軸將平面分成的4個區域稱為象限，按逆時針順序分別記為第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.由于坐標軸是象限與象限之間的分界，因此坐標軸不屬于任何象限.

師：現在，我報幾個點的坐標，你能迅速判斷出它所在的位置嗎？（5，6），（-3，1），（-2，-3），（0，5），（-2，0）.（學生快速回答）

師：同學們真聰明，你們是怎么這么快回答出我的問題的？

分析：通過這個環節，讓學生從另一個視角再認識前面的問題，初步培養學生規范化的表達，讓學生感受不同象限內的點的坐標的不同之處，之后通過幾個快速回答，“逼”出學生模糊的認識：平面直角坐標系各象限內的點的坐標的符號特點及坐標軸上點的坐標的特點.

片段4：篇末呼應，精彩生成

師：通過今天的學習和研究，你對平面直角坐標系有了哪些認識？（喊2-3名同學回答）

師：看來，今天著重研究了平面內的點，若讓你繼續研究，你還有什么想研究的嗎？

生24：空間內的點怎么研究？

生25：有了平面直角坐標系，點可以用有序實數對表示，那么線怎么表示呢？

生26：如果平面坐標系不是直角，還能精確地描述點的位置嗎？

分析：建立平面直角坐標系的初步目的是將平面內的“形”與“數”結合起來，但最終目的是用它的思想方法解決更多的問題，達到經驗的遷移、能力的提升，從而學以致用、學有所用.故此處也是拓展延伸處：“你還有想研究的問題嗎？”讓學生主動地提出問題、發現問題、分析問題、解決問題.此處不僅僅是單純的知識羅列，應該是畫龍點睛之筆，承前啟后，適當外延，是對整堂課學習的一個提升.

三、教學反思

本節課的授課內容屬于規則下的概念課教學，與其他概念課不同的是本節課的概念可以看作是一個概念群，多而細，所以教學時要逐步讓學生理解相應概念，不能操之過急.

本節課的亮點有3處：其一注重設計問題串，引領學生思考探究，促進數學理解，典型的是一一對應的教學處，環環相扣，擦掉平面直角坐標系的過程更是“逼”出了學生思維中對平面直角坐標系的認識；其二在注重一節課的連貫性，首尾呼應，讓學生幫忙設計的喊學生的方法貫穿整節課，活動中的點和例題中的點最后歸為一處又成為一個新探究；其三在最后的小結處，讓一節課的精彩升華到最高點，大膽鼓勵學生自己提問題，而且個個問題堪稱經典.

縱觀本節課精心設計下可謂“別有洞天”.

1.以活動為主線

本節課的教學中，以學生作為活動的主體，注重知識的發生、發展，讓學生通過一個個活動感受到了學習新知識的必要性和迫切性.

片段1從學生熟悉的生活情境入手，貫穿一節課.片段2活動一從數學背景切入，凸顯出建立平面直角坐標系的必要性，活動二環環相扣，通過從特殊到一般、具體到抽象的過程，讓學生歸納出在給定的平面直角坐標系中，根據點的坐標描出點的位置，由點的位置寫出點的坐標的方法，初步感受建立平面直角坐標系后，平面內的點與有序實數對一一對應的關系，活動三是對難點的再認識，進一步感受建立平面直角坐標系后，平面內的點與有序實數對一一對應的關系，最終與例題結合再次研究每個象限內的點的坐標的特點.3個活動可謂用“足”、用“透”，以活動開始，以活動結束，貫穿整堂課.

2.以方法為支撐

課堂上，只有讓學生真正“動”起來、“活”起來，才能讓學生成為課堂學習的主角，學生的學習熱情才會高漲，創造力才會加強.所以在教學本節課時，筆者語言精煉，個個問題都簡潔、精煉，盡可能讓學生多說、多做、多悟，讓學生充分體會概念的形成過程，力求達到“概念的得出是水到渠成的、自然的，而不是強加于人的”的教學境界.

3.以思想為靈魂

本節課最主要的數學思想就是數形結合思想，而在整節課的教學中，筆者很少提及抽象的“數”、“形”二字，取而代之的是用通俗的語言與學生交流，慢慢滲透“數”與“形”的關系，尊重了學生的認知規律.

4.以能力為歸宿

荷蘭數學家弗萊登塔爾提出：學習數學唯一正確的方法是實行“再創造”，也就是由學生本人把要學的東西自己發現或創造出來.本節課中筆者多次給予學生發現、創造的機會，如片段2描述點P的位置，讓學生體會構建參照物描述點P位置的必要性，創造出平面直角坐標系的雛形，在片段4中，讓學生盡情地說，提出一個又一個精彩的問題，如“空間內的點如何描述”，充分給予學生思考、比較、類比、抽象、概括等一系列能力提升的機會.Z