例談初中學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力的培養(yǎng)

☉湖北省荊州市荊州區(qū)李埠中學(xué)萬平

例談初中學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力的培養(yǎng)

☉湖北省荊州市荊州區(qū)李埠中學(xué)萬平

邏輯思維具有嚴(yán)格性、程序性、可靠性，但是在教育過程中，證明過程過分的嚴(yán)格化和程序化，學(xué)生只會看到一具具僵硬的邏輯外殼，失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.“邏輯用于論證，直覺用于發(fā)明”.數(shù)學(xué)王子高斯曾經(jīng)反復(fù)強調(diào)，他的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)主要來自經(jīng)驗，“證明只是補行的手續(xù)”.歐幾里得幾何學(xué)的五個公式就是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學(xué)輝煌的大廈；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法.直覺思維具有簡約性、創(chuàng)造性，對數(shù)學(xué)對象（結(jié)構(gòu)及其關(guān)系）的超常把握有利于思考者從整體上駕馭問題.

徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)直覺是可以后天培養(yǎng)的，實際上每個人的數(shù)學(xué)直覺也是不斷提高的.”幫助學(xué)生打好扎實的基礎(chǔ)、重視教具和學(xué)具的鼓勵應(yīng)用、引導(dǎo)學(xué)生敏銳觀察、鼓勵學(xué)生大膽猜想、重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)、注重解題教學(xué)等都是培養(yǎng)學(xué)生直覺力的高效方法.

下面的三個問題如果先讓學(xué)生觀察、想象或大膽猜想一下，那么對學(xué)生直覺思維的培養(yǎng)會有一定的幫助，對問題的解決更有效.

例1△ABC的三條邊長分別是5、12、13，那么它的內(nèi)切圓半徑r是（）.

A.2B.5C.4D.3

分析：從整體上觀察題設(shè)中的三邊之長，可以發(fā)現(xiàn)：52+122=132，即題設(shè)△ABC為直角三角形，憑直覺可知，直角三角形內(nèi)切圓的直徑不可能大于或等于它的任一邊之長，故必有2r＜5，選A.

例2如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分線BE交AC于點E，求BC∶（AE+BE）的值.

圖1

分析：通過觀察或測量可猜想BC=AE+BE，即猜想BC∶（AE+BE）=1.下面只需證明BC=AE+BE即可驗證你的猜想，從而完成這一問題.

例3如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，AF平分∠CAB交CD于點E，交CB于點F，且EG∥AB交CB于點G，則CF與GB的大小關(guān)系是（）.

圖2

A.CF＞GBB.CF=GB

C.CF＜GBD.無法確定

分析：用觀察和作圖法可以猜測CF=GB.下面只要證明CF=GB即可.由條件∠ACB=90°，AF平分∠CAB，想到過F點作FH⊥AB，垂足為H，連接EH，易證菱形CEHF，平行四邊形EHBG，故有CF=EH=GB，從而得證.

在教學(xué)過程中，如果太側(cè)重邏輯思維能力或計算能力和技巧的培養(yǎng)，反而對思維能力的整體發(fā)展有所損害.不用懷疑，學(xué)生的直覺思維能力需要得到足夠重視.筆者在課堂教學(xué)中會經(jīng)常碰到下列情況：一個問題剛出示，就有學(xué)生搶答，他的答案有時是對的，問其原因，回答往往令自己失望.批評他們，不但有損思考者的尊嚴(yán)，而且極易忽視“搶答者”思維的積極性，扼殺創(chuàng)造性思維于萌芽之中.鼓勵這種思維，倡導(dǎo)猜想后的證明，比較與邏輯推理得到的結(jié)果，也許我們將培養(yǎng)出一位優(yōu)秀的學(xué)生.

讓我們再來看以下兩例：

例4把一張0.2mm厚的巨大的白紙對折25下，你能猜想最后的白紙有多厚嗎？會比珠穆朗瑪峰的海拔高度還高嗎？

例5假如把地球看作一個近似的球體，繞著赤道用一根繩子捆緊，然后把繩子放長10米（假如繩子離地球表面均等），中間的空隙能容納下什么物體呢？

上面兩例單憑學(xué)生的想象和直覺很難有正確的結(jié)果，有些同學(xué)甚至?xí)跋肴敕欠恰薄ⅰ昂紒y想”，這時教師應(yīng)以科學(xué)的嚴(yán)密的邏輯推理予以解答，及時矯正.

有一張8cm×8cm的正方形紙片，面積是64cm2.把這張紙片按圖3所示剪開，把剪出的4個小塊按圖4所示重新拼合，這樣就得到了一個長為13cm，寬為5cm的長方形，面積是65cm2.這是可能的嗎？

圖3

圖4

這是一個直覺與邏輯不符的例子，希望學(xué)生通過學(xué)習(xí)體會到：對于數(shù)學(xué)的結(jié)論，完全憑借直覺判斷是不行的，還需要通過演繹推理來驗證.

一般來說，學(xué)生應(yīng)當(dāng)是不會相信圖4中紙片的面積是65cm2，但又無法說明為什么觀察的結(jié)果是錯誤的.進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，如果觀察是錯誤的，那么錯誤可能出在哪里呢？學(xué)生通過邏輯思考，可以推斷只有一個可能：圖4中紙片所示圖形不是長方形，因此不能用長方形的面積計算公式來計算面積.然后，可以引導(dǎo)學(xué)生實際測量圖形左上角或者右下角，發(fā)現(xiàn)確實不像是直角.可以告訴學(xué)生，這個想法是正確的，但最好能夠給出證明，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個由合情推理到演繹推理的過程.

在實際教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生先看圖、再讓學(xué)生分組將圖剪開，動手操作發(fā)現(xiàn)矛盾（64=65？）.然后，找出理由并嘗試證明，最后表達(dá)收獲.

可以采用如下反證法證明，在證明過程中加深對相似圖形的理解.

如圖5，過點D作AC的垂線交AC于點F.假定圖4中的圖形是長方形，那么圖形的右下角就應(yīng)當(dāng)是直角，則在圖5中有∠1+∠3=90°.因為∠2+∠3=90°，則∠1=∠2.由相似三角形的判定定理，兩個Rt△ABC與Rt△DEF相似.由相似三角形對應(yīng)邊成比例，應(yīng)當(dāng)有，這是不可能的，因此圖4中的圖形不可能是長方形.

圖5

教學(xué)中可以鼓勵學(xué)生運用不同的方法對此問題進(jìn)行解釋.

直覺思維閃耀著理性思維的光輝，“含水率”時高時低也讓直覺到的東西不一定可靠，但直覺的重要性顯而易見.“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于推理”，因此我們在教學(xué)過程中應(yīng)該強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和直覺思維能力的兼容.用直覺思維引導(dǎo)邏輯推理，通過邏輯推理檢驗直覺思維的正確性，幫助學(xué)生逐步養(yǎng)成先觀察想象后證明反思的良好習(xí)慣.數(shù)學(xué)并不只是枯燥乏味的證明、推理，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也可以“跟著感覺走”大膽猜測，做一個快樂的思考者.F