“同一法”如何處理更有效*
——談學(xué)科核心素養(yǎng)的基本觀點(diǎn)

☉湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部陳金紅黃克勤☉湖南省常德市安鄉(xiāng)縣蘆林鋪中學(xué)郭作華

“同一法”如何處理更有效*
——談學(xué)科核心素養(yǎng)的基本觀點(diǎn)

☉湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部陳金紅黃克勤
☉湖南省常德市安鄉(xiāng)縣蘆林鋪中學(xué)郭作華

湘教版初中數(shù)學(xué)出現(xiàn)了兩種間接證明方法，一個(gè)是反證法，在七年級(jí)教材中就沒給“名份”的出現(xiàn)過，到九年級(jí)正式署名；還有一種就是同一法，當(dāng)要證明某圖形具有某種性質(zhì)而不易直接證得時(shí)，使用此法有時(shí)可克服這種困難，一般步驟是：（1）不從已知條件入手，而是作出符合結(jié)論特性的圖形；（2）證明所作的圖形符合已知條件；（3）推證出所作圖形與題設(shè)的其實(shí)是同一個(gè)圖形.運(yùn)用此法要求是苛刻的（所證命題的題設(shè)條件是唯一存在的，其結(jié)論也是唯一存在的），但效果是直觀的，思路也是不易想到的！在八（下）教材中開始出現(xiàn)：

案例1第3頁倒數(shù)第一行：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

老教材的處理：放在矩形里學(xué)習(xí)，利用了矩形的對(duì)角線互相平分且相等，現(xiàn)教材的處理：如圖1，如果中線，則有∠DCA=∠A.由此受到啟發(fā)，在圖2的 Rt△ABC中，過直角頂點(diǎn)C作射線CD′交AB于點(diǎn)D′，使∠D′CA=∠A，則CD′=AD′.

圖1

圖2

這種處理是站在逆思維的基礎(chǔ)上啟發(fā)的，確實(shí)符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，但是這個(gè)“如果”前提是測(cè)量出來的，是不確定的，把一個(gè)不確定的結(jié)論作為線索，有兩種可能，當(dāng)它為真，還好不會(huì)引來新的“麻煩”；但當(dāng)它為假時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生系列錯(cuò)誤結(jié)論！這個(gè)結(jié)局是此階段的學(xué)生無法理解的、預(yù)測(cè)的！如果長(zhǎng)期使用，危害是可想而知的！因?yàn)檫@涉及高中要學(xué)習(xí)的條件的充分性、必要性、充要性！那么如何處理呢？這正是老師們“同課異構(gòu)”之處.

我們的觀點(diǎn)：用科學(xué)研究一般探究的方式即“特例理解—一般發(fā)現(xiàn)—總結(jié)方法”的思路展開.

先看等腰直角三角形：思考如何得到直角三角形斜邊上的中線？方法一：定義法，即取斜邊中點(diǎn)與直角頂點(diǎn)連線得到的線段；方法二：運(yùn)用“三線合一”，要么作斜邊上的高，要么作直角頂角的平分線，再引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，此結(jié)論是“偶然”還是“必然”？

再看含30°銳角的直角三角形：思考如何得到直角三角形斜邊上的中線？在以上方法的基礎(chǔ)上，作斜邊上的高，得不出斜邊上的中線，為什么？（因?yàn)椴荒苓\(yùn)用“三線合一”）失靈！作直角頂角的平分線，依然失靈！自然會(huì)思考為什么會(huì)失靈呢？于是回歸第一個(gè)特例去發(fā)現(xiàn)得出中線的本質(zhì)在哪？基本思路：角角關(guān)系?邊邊關(guān)系；具體是∠DCA=∠A=45°?AD=CD，且∠DCB=∠B=45°?BD= CD?AD=CD=BD，即說明取∠DCA=∠A時(shí)，再利用“直角三角形兩銳角互余”可推出CD是斜邊AB上的中線！運(yùn)用此法對(duì)“含30°銳角的直角三角形”試試發(fā)現(xiàn)取∠DCA=∠A=30°?AD=CD，且∠DCB=∠B=60°?BD= CD?AD=CD=BD，成功了！

啟發(fā)：說明取∠DCA=∠A時(shí)，再利用“直角三角形兩銳角互余”可推出CD是斜邊AB上的中線！

最后，一般地，在一般直角三角形中取∠DCA=∠A，立即可得AD=CD；利用“直角三角形兩銳角互余”、“等角的余角相等”還可得∠DCB=∠B?BD=CD?AD=CD= BD，即“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”是一個(gè)必然結(jié)論！

如此看來，不用同一法，依然可行且更符合八年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知心理和思維特質(zhì)，特別是體現(xiàn)了“探究（思維和方法）”這個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)；再讓學(xué)生閱讀書本上的證明方法時(shí)就更好理解了！做到了知其然，更知其所以然！否則給老師和學(xué)生的感覺是：“同一法”從天而降，不可思議，就像是“灌”給學(xué)生的！

因此，教材不如改變?yōu)槲覀兩厦娴姆椒ǎ瓤磶讉€(gè)特例再尋求其方法上的本質(zhì)，最后一般發(fā)現(xiàn)結(jié)論就更好了！既避開了方法上的“高深莫測(cè)”，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一：探究（思維和方法）！

案例2第14頁～15頁：如果三角形的三條邊a，b，c滿足關(guān)系a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.（勾股定理的逆定理）

老教材的處理：先尺規(guī)作圖，已知兩條直角邊，作出滿足條件的直角三角形，作為鋪墊；現(xiàn)教材的處理：出示一段話“如果我們能構(gòu)造一個(gè)直角三角形，然后證明△ABC與所構(gòu)造的直角三角形全等，即可得△ABC是直角三角形”.

這種處理不符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，有點(diǎn)冒冒失失的心理感覺，如何想到的？這亦是老師們“同課異構(gòu)”之處！也是“仿真”還原數(shù)學(xué)家探究歷程的一個(gè)著力點(diǎn)！

我們的觀點(diǎn)：用從科學(xué)研究到一般探究的方式，即“特例理解—一般發(fā)現(xiàn)—總結(jié)方法”的思路展開.

先出示題組：（1）已知Rt△ABC中，∠C=90°，三邊為a，b，c且a=3，b=4，求c；（2）長(zhǎng)度為3、4、5的三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形嗎？若能，是直角三角形嗎？為什么？若不能，請(qǐng)說明理由.通過引導(dǎo)讓學(xué)生自然而然地和第（1）小問聯(lián)系上，和（1）中的直角三角形是同一個(gè)三角形即直角三角形，由全等三角形的判定方法“SSS”可證得！（3）已知Rt△ABC中，∠C=90°，三邊為a，b，c；取線段a，b，能構(gòu)成一個(gè)三角形嗎？若能，是直角三角形嗎？為什么？若不能，請(qǐng)說明理由.借助（1）、（2）積累的基本經(jīng)驗(yàn)，不難得出“取線段a，b，能構(gòu)成一個(gè)△DEF（運(yùn)用三角形三邊不等關(guān)系和不等式的知識(shí)），而且還是直角三角形.

如此看來，由特例入手，兩圖形的比較對(duì)比感悟“同一法”的脈搏，自然接軌于三角形中邊的不等關(guān)系、勾股定理、二次根式、三角形全等的判定等重要基礎(chǔ)知識(shí)和方法，再一般思考更符合八年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知心理和思維特質(zhì)，體現(xiàn)了“探究（思維和方法）”這個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)；再讓學(xué)生閱讀書本上的證明方法時(shí)就更好理解了！做到了知其然，更知其所以然！避免了“同一法”是帽子里突然蹦出了一只兔子的現(xiàn)象！

案例3第57頁，B組5：證明：過三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊.

老教材的處理：使用同一法.取求證邊的中點(diǎn)，運(yùn)用“過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線平行于已知直線”證出它與已知中點(diǎn)連線，即為要找的那條直線.

現(xiàn)教材教參的處理：過求證中點(diǎn)作已知中點(diǎn)所在邊的平行線，過平行邊所對(duì)頂點(diǎn)作平行邊的平行線，證出兩個(gè)平行四邊形，再證一對(duì)三角形全等.

圖3

更簡(jiǎn)單的處理是：已知△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DE∥BC，求證：E是AC的中點(diǎn).方法一：延長(zhǎng)ED到點(diǎn)F，使得FD=DE，連接AF、BF和BE；方法二：過點(diǎn)B作BF∥AC，與ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接AF和BE.都是通過得出平行四邊形AEBF和平行四邊形BCEF，得出AE=EC=BE，如圖3，即E是AC的中點(diǎn)！這樣處理即充分地利用了知識(shí)最近發(fā)展區(qū)（平行四邊形的性質(zhì)和判定或全等三角形的性質(zhì)和判定），也充分利用了基本經(jīng)驗(yàn)（見中點(diǎn)等倍延長(zhǎng)法或平行線法），更符合八年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知心理和思維特質(zhì)，體現(xiàn)了“探究（思維和方法）”這個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).

上面三個(gè)案例是新湘教版八（下）教材整冊(cè)涉及“同一法”的地方，上面所述對(duì)比處理啟示我們：知識(shí)點(diǎn)可不同處理的地方特別是方法不易想到的地方乃是“同課異構(gòu)”創(chuàng)新教與學(xué)方法的關(guān)鍵處！并由此產(chǎn)生不同的教學(xué)指導(dǎo)思想、教學(xué)理念和教學(xué)模式，必映射到數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方式和方法！

眾所周知的觀點(diǎn)是：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).我們以為這是學(xué)術(shù)形態(tài)下的純數(shù)學(xué)角度提出的觀點(diǎn)；而我們中學(xué)數(shù)學(xué)是教育數(shù)學(xué)，即是從“學(xué)術(shù)形態(tài)”化成“教育形態(tài)”下的數(shù)學(xué)，因此，核心素養(yǎng)應(yīng)該結(jié)合我們的教育對(duì)象、符合我們的教學(xué)實(shí)際，當(dāng)然就一定有別于學(xué)術(shù)形態(tài)下的核心素養(yǎng)觀，教育形態(tài)下的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有：嚴(yán)肅性（講道理：有法必依、執(zhí)法必嚴(yán)、違法必究）、靈活性（方法多樣性，條條道路通羅馬）、探究性（試驗(yàn)、猜想、推理、抽象的科學(xué)精神）、關(guān)聯(lián)性（它從來就不是孤單的），這就是我們提出的學(xué)校數(shù)學(xué)教育的核心素養(yǎng)觀！其他學(xué)科亦可仿而效之，得出相應(yīng)的教育形態(tài)下的學(xué)科核心素養(yǎng)！

1.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（初中）［M］.長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2014.

2.陳金紅.你真的看過教材？［J］.湖南教育（C版），2014（12）.

3.陳金紅，郭作華.你真的看過教材上的習(xí)題嗎？［J］.湖南教育（D版），2015（9）.

4.陳金紅，郭作華.問題演繹“活絡(luò)”教材——小議教材解讀的方法［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2015（12）.

5.陳金紅，郭作華.無邊題海題根是岸教材是線［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2016（2）.

6.陳金紅，黃克勤，郭作華.練好常態(tài)下設(shè)計(jì)的基本功：教材解讀［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（1）.H

*本文系全國(guó)教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度教育部規(guī)劃課題《生命課堂視野下的教學(xué)案例研究》（編號(hào)：FHB130512）的階段性成果之一.